六、平面弯曲内力 1概念 11基本概念 般来说,当杆件受到垂直于杆轴的外力或在杆轴平面内受到外力偶作用 时,杆的轴线将由直线变为曲线,这样的变形形式称为弯曲变形 ※凡以弯曲为主要变形的构件,通常称为梁 ※工程中大多数梁的横截面都具有对称轴。梁的轴线和截面纵向对称轴构成的平 面称为纵向对称面。 若梁上的外力都作用在纵向对称面内,而且各力都与梁的轴线垂直,则梁的 轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线,这种弯曲变形称为平面弯曲 12梁的计算简图及分类 工程上梁的截面形状、载荷及支承情况一般都比较复杂,为了便于分析和 计算,必须对梁进行简化,包括梁本身的简化、载荷的简化以及支座的简化等 不管直梁的截面形状多么复杂,都简化为一直杆并用梁的轴线来表 作用于梁上的外力,包括载荷和支座反力,可以简化为集中力、分布载荷和 集中力偶三种形式。当载荷的作用范围较小时,简化为集中力;若载荷连续作用 于梁上,则简化为分布裁荷。沿梁轴线单位长度上所受的力即载荷集度,以gN /m)表示。集中力偶可理解为力偶的两力分布在很短的一段梁上。 根据支座对梁约束的不同特点,支座可简化为静力学中的三种形式:活动铰 链支座、固定铰链支座和固定端支座,因而简单的梁有三种类型: 1.简支梁 荔 定铰链支座的梁 2.外伸梁一端或两端伸出支座之外的简支梁
1 六、平面弯曲内力 1 概念 1.1 基本概念 一般来说，当杆件受到垂直于杆轴的外力或在杆轴平面内受到外力偶作用 时，杆的轴线将由直线变为曲线，这样的变形形式称为弯曲变形。 ※凡以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。 ※工程中大多数梁的横截面都具有对称轴。梁的轴线和截面纵向对称轴构成的平 面称为纵向对称面。 若梁上的外力都作用在纵向对称面内，而且各力都与梁的轴线垂直，则梁的 轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。 1.2 梁的计算简图及分类 工程上梁的截面形状、载荷及支承情况一般都比较复杂，为了便于分析和 计算，必须对梁进行简化，包括梁本身的简化、载荷的简化以及支座的简化等。 不管直梁的截面形状多么复杂，都简化为一直杆并用梁的轴线来表示。 作用于梁上的外力，包括载荷和支座反力，可以简化为集中力、分布载荷和 集中力偶三种形式。当载荷的作用范围较小时，简化为集中力；若载荷连续作用 于梁上，则简化为分布裁荷。沿梁轴线单位长度上所受的力即载荷集度，以 g(N ／m)表示。集中力偶可理解为力偶的两力分布在很短的一段梁上。 根据支座对梁约束的不同特点，支座可简化为静力学中的三种形式：活动铰 链支座、固定铰链支座和固定端支座，因而简单的梁有三种类型： 1．简支梁 一端是活动铰链支座、另一端为固定铰链支座的梁。 2．外伸梁 一端或两端伸出支座之外的简支梁
办奶 由的梁 上述三种类型的粱在承受载荷后,其支座反力均可由静力平衡方程完全确 定,这些梁称为静定梁。如梁的支座反力的数目大于静力平衡方程的数目,应用 静力平衡方程无法确定全部支座反力,这种梁称为超静定梁 2剪力与弯矩 平面弯 E计算的基础 21截面氵 1 现欲求 的静力平衡条件,先 求出梁在载 求横截面1-1上的内 力。假想在 取左段为研究对象 FI 由平衡条件 横向力Fs以及力偶 M。按平衡 以截面形心C1为钜小.右 ∑Mc=0 FAL+Fx-a)+M=0
2 3．悬臂梁 一端为固定端支座、另一端自由的梁 上述三种类型的粱在承受载荷后，其支座反力均可由静力平衡方程完全确 定，这些梁称为静定梁。如梁的支座反力的数目大于静力平衡方程的数目，应用 静力平衡方程无法确定全部支座反力，这种梁称为超静定梁。 2 剪力与弯矩 平面弯曲梁横截面上的内力分析是对梁进行强度和刚度计算的基础。 2.1 截面法求内力 现欲求图所示简支梁任意横截回 l—l 上的内力。根据梁的静力平衡条件，先 求出梁在载荷作用下的支座反力 FA 和 FB，然后采用截面法求横截面 1—l 上的内 力。假想在横截面 l—1 处将梁截开，梁分成左、右两段。若取左段为研究对象， 由平衡条件可知，在横截面 l—1 上必定有维持左段梁平衡的横向力 Fs 以及力偶 M。按平衡条件，有 以截面形心 Cl 为矩心，有
M=FAr-FIcx-a 如取右段为研究对象,同样可以求得横截面-1上的内力Fs和M,两者数 值相等,方向相反(图c) 22剪力与弯矩 Fs是横截面上切向分布内力分量的合力,称为横截面1-1上的剪力。M是 横截面上法向分布内力分量的合力偶矩,称为横截面l1上的弯矩。 ※为了使按截面法求左、右两侧的剪力和弯矩不但数值相等,而且还具有相同的 正负号,通常对剪力和弯矩的正、负作如下规定 (1)剪力正、负的规定:研究截面左上右下为正。 (2)弯矩正、负的规定:使梁变形后凹面向上为正 ※在应用时假设内力都为正,然后列式求解。 例题7-1(P127) 1剪力方程和弯矩方程 在一般情况下,梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的。 如果把梁轴线作为x轴,截面的位置可用x表示,则Q、M都是x的函数, Q=Q(x)——剪力方程 M=M(x)——弯矩方程 上述两式即为梁的剪力方程和弯矩方程。在列剪力方程和弯矩方程时,应根 据梁上载荷的分布情况分段进行,集中力包括支座反力)集中力偶的作用点和 分布载荷的起、止点均为分段点
3 如取右段为研究对象，同样可以求得横截面 l—1 上的内力 FS 和 M，两者数 值相等，方向相反(图 c)。 2.2 剪力与弯矩 Fs 是横截面上切向分布内力分量的合力，称为横截面 1—1 上的剪力。M 是 横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，称为横截面 l—1 上的弯矩。 ※为了使按截面法求左、右两侧的剪力和弯矩不但数值相等，而且还具有相同的 正负号，通常对剪力和弯矩的正、负作如下规定： (1)剪力正、负的规定：研究截面左上右下为正。 (2)弯矩正、负的规定：使梁变形后凹面向上为正。 ※在应用时假设内力都为正，然后列式求解。 例题 7-1 （P127） 1 剪力方程和弯矩方程 在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的。 如果把梁轴线作为 x 轴，截面的位置可用 x 表示，则 Q、M 都是 x 的函数， 即： Q = Q(x) ——剪力方程 M = M (x)——弯矩方程 上述两式即为梁的剪力方程和弯矩方程。在列剪力方程和弯矩方程时，应根 据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力(包括支座反力)、集中力偶的作用点和 分布载荷的起、止点均为分段点
2剪力图与弯矩图 为了清楚地看出梁各截面上和M的大小、正负以及最大值所在的截面位 置,把剪力和弯矩方程用其函数图像表示,分别称为剪力图和弯矩图 绘 ,然后按方程作图 利 找出梁危险截面 的位置A恒重H x十算的基础。 下 F 图和弯矩田的方法。 例 试列出梁的剪力方 程和弯 解1)求古威后力由的对称关系,可得 g 2)冽列剪力方程和弯矩方程取图所示坐标系,假想在距A端ⅹ处将梁截开, 取左E” q Fs(r)=FA-qe"2q(o<I<i Mx)=Fx-gx·号=号x-20≤x≤
4 2 剪力图与弯矩图 为了清楚地看出梁各截面上 Q 和 M 的大小、正负以及最大值所在的截面位 置，把剪力和弯矩方程用其函数图像表示，分别称为剪力图和弯矩图。 绘制剪力图和弯矩图的基本方法是先建立剪力、弯矩方程，然后按方程作图。 利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，找出梁危险截面 的位置。所以，正确绘制剪力图和弯矩图是梁的强度和刚度计算的基础。 下面举例说明如何列剪力方程和弯矩方程以及绘制剪力图和弯矩田的方法。 例 7．2 图所示简支梁 AB，受向下均布载荷 q 作用。试列出梁的剪力方 程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。 解 1)求支座反力 由梁的对称关系，可得 2)列剪力方程和弯矩方程 取图所示坐标系，假想在距A端x处将梁截开， 取左段梁为研究对象，可得剪力方程和弯矩方程分别为
3)绘制剪力图和弯矩图式(a)表示剪力图为一条斜直线, 斜率为-q,向右下倾斜。根据x=0时,F=号;x=1时,F5 g即可绘出剪力图(图713b) 式(b表示弯矩图为一条开口向下的抛物线。为了求得抛物 线极值点的位置,令 dM(x=y-gz=0得x2°可见在剪 dx 力图上Fs=0的横截面上弯矩取得极值。由三点x=0,x=2和 x=的弯矩值M0)=0,M(2)=g和M()=0即可给出弯 矩图(图713c)。 由F3图和M图可知最大剪力发生在两端支座的内侧截 面其绝对值为F=g;最大弯矩发生在梁的跨度中点截面 上,其值为Mm 例7.3图所示简支梁AB,在C点受集中力罗作用试列出梁的剪力方程和弯矩方程, 并画出剪力图和弯矩图。 Halle i M Fab
5 例 7．3 图所示简支梁 AB，在 C 点受集中力罗作用试列出梁的剪力方程和弯矩方程， 并画出剪力图和弯矩图
解1)求支座反力由静力平衡方程得 FR= Fa 2)列剪力方程和弯矩方程由于C点受集中力F作用,引 AC,CB两段的剪力方程和弯矩方程各不相同,故必须分段列 方程。建立图714a坐标系。对AC段,取x1截面的左段梁为研 究对象,可得剪力方程和弯矩方程分别为 Fs(I1)=FA P(0b时,CB段内任意截面上的剪 力值为最大,F5==2;当a<b时,AC段内任意截面上的剪力 值为最大,F、m=P。最大弯矩值发生在集中力F作用的C截 面上,其值为M=Em。 从Fs图上可明显看出,在集中力F作用处,剪力图上发生突 变,突变的值即等于集中力的大小 例7.4图所示简支梁AB,在C截面处受集中力偶"作用。试列出梁的剪力方程和 弯矩方程,并画出剪力图和弯矩
6 例 7．4 图所示简支梁 AB ，在 C 截面处受集中力偶 MC 作用。试列出梁的剪力方程和 弯矩方程，并画出剪力图和弯矩
(P131) 习题讨论:利用q、Q与M之间的关系,画出下列各题的Q、M图,并标出|Q|mmx与 M 1、已知F=lkN,m=1.5kNm
7 （P131） 习题讨论：利用 q、Q 与 M 之间的关系，画出下列各题的 Q、M 图，并标出∣Q∣max 与∣ M∣max。 1、已知 F=1kN，m＝1.5kN.m