定积分 电大泾川县工作站 吴慧敏
定积分 电大泾川县工作站 吴慧敏
教学内容： 1)定积分概念的引入 2)“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 4)定积分的几何意义及简单应用 重点：定积分的数学定义 难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想 的建立
教学内容： 1) 定积分概念的引入 2)“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 4)定积分的几何意义及简单应用 重 点： 定积分的数学定义 难 点： “分割、近似求和、取极限”变量数学思想 的建立
一、1 问题提出 y=f(x) 1.曲边梯形的面积 设y=fx)为区间[a,上连 A=? 续函数，且fx)20,由曲线 0 y=fx),直线x=a,x=b y=0所围成的图形称为曲边梯形。 一般的平面图形的面积，可化为曲边梯形的面积计算 下面讨论曲边梯形的面积
3 一、问题提出 1. 曲边梯形的面积 设 y = f (x)为区间[a, b] 上连 续函数，且f (x)≥ 0，由曲线 y = f (x)，直线 x = a， x = b y = 0 所围成的图形称为曲边梯形。 一般的平面图形的面积，可化为曲边梯形的面积计算 下面讨论曲边梯形的面积
对于多边形的面积，我们在 中学就已经会计算了，例如 y=f(x) 矩形的面积=底×高 A=? 显然，曲边梯形的面积不能 用这个公式来计算。 直与曲 不变与变
对于多边形的面积，我们在 中学就已经会计算了，例如 矩形的面积 = 底×高 显然，曲边梯形的面积不能 用这个公式来计算。 直与曲 不变与变
砖是直边 的长方体 烟囱的横截面 是弯曲的圆 “直的砖”砌 成了“弯的圆” 局部以直代曲
砖是直边 的长方体 烟囱的横截面 是弯曲的圆 “直的砖”砌 成了“弯的圆” 局部以直代曲
用矩形面积近似取代曲边梯形面积 b xo a (四个小矩形) (九个小矩形) 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积
a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）
小曲边梯形的面积 f(5) ≈底X高 y=f(x) 小曲边梯形的底： △x,=X-X-1 小曲边梯形的高： a X-15x,bX f(5) 小曲边梯形的面积： △S,≈f(5,)(x,-x-)
x y O a b y f (x) i xi1 x ( ) i f 小曲边梯形的底： i i i1 x x x 小曲边梯形的高： ( )i f ( )( ) i i i i1 S f x x 小曲边梯形的面积： 小曲边梯形的面积 ≈ 底 × 高
解决步骤： 1)分割： 在区间[a,b]中任意插入n-1个分点 a=x0<为<x2<…<xn-1<xn=b 用直线x=x:将曲边梯形分成n个小曲边梯形； 2)近似：在第i个窄曲边梯形上任取5：∈[x-1,x] 作以[x-1,x]为底，f(5) 为高的小矩形，并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积△4，得 a -1 bx 5 △M,≈f(5:)△x,(x;=x-x1i=1,2,-m
解决步骤 : 1) 分割: 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似: 在第i 个窄曲边梯形上任取 并以此小 得 为高的小矩形, 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 作以 为底
3)求和： 4=2A4,≈2fG)Ax i-l i=l 4)取极限：令元=max{△x;}, 则曲边梯形面积 <i<n A=∑M, =lim∑f(5)△x:
令 3) 求和: 4) 取极限: 则曲边梯形面积
曲边梯形的面积 f(5) y=f(x) 1化整为零 2以直代曲 (以常代变) △4≈f(5,)△x 3积零为整 A≈2f(传△x 分法越细，越接近精确值 a X1 X2 Xixi+ Xn-1 b
x i i1 x1 x i 2 x 1 化整为零 2 以直代曲 (以常代变) i i i A f ( )x 3 积零为整 y x o y=f (x) n1 x n i i i A f x 1 ( ) a b . . 分法越细，越接近精确值 曲边梯形的面积 . f ( )