第五章导数和微分 §1导数的概念 一、导数的概念 二、导函数 三、导数的几何意义 平凉电大崇信工作站 制作：关永强 1首页X
第五章 导数和微分 §1 导数的概念 一、导数的概念 首页 × 二、导函数 三、导数的几何意义 平凉电大崇信工作站 制作：关永强
一、 导数的概念 1.引言 问题1切线的斜率 如图5-1所示，曲线=f(x)在其上一点P(xo,o)处的 切线PT是割线P2当动点2沿此曲线无限接近于点P时 的极限位置，由于割线P2的斜率为 E=I(x)-f(x) (1) x-xo Q(xy) 因此当x→x,时如果的极限存 y-f(x) 在，则极限 K=lim f(x)-f) P(xoyo) x→x0 x-xo 即为切线PT的斜率. 图5-1
0 0 f x f x ( ) ( ) k x x − = − 首页 × 问题1 切线的斜率 如图5-1所示,曲线y=f(x)在其上一点P(x0,y0)处的 切线PT是割线PQ当动点Q沿此曲线无限接近于点P时 的极限位置，由于割线PQ的斜率为 （1） 因此当x→x0 时如果的极限存 在，则极限 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x k → x x − = − 即为切线PT的斜率. 1.引言 一、导数的概念
问题2瞬时速度 设一质点和直线运动，其运动规律为s=s(), 若为某一确定的时刻，t为邻近于的时刻，则 6=s()-5(t) t-to 是质点在时间段[t(或[to)上的平均速度， 若t时平均速度v的极限存在，则称极限 v=lim s(t)-s(to) t->to t一to 为质点在时刻的瞬时速度· >首页X
为质点在时刻t0的瞬时速度 . 0 0 s t s t ( ) ( ) t t − = − 0 0 0 ( ) ( ) lim t t s t s t t t → − = − 首页 × 问题2 瞬时速度 设一质点和直线运动,其运动规律为s=s(t), 若t 0为某一确定的时刻,t为邻近于t 0的时刻,则 是质点在时间段[t0 , t](或[t ,t0 ])上的平均速度, 若t→t0时平均速度v的极限存在,则称极限
以后我们将会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、 线密度等问题中，尽管它们的物理背景各不相 同，但最终都归结于讨论形如(2)式的极限： 上述两个问题中，前一个是几何学已知曲线求 它的切线的问题，后一个是运动学已知运动规律求 速度的问题，这两个问题与导数概念直接相联系的， 它们是由德国数学家莱布尼茨(Leibniz）☑和英国数 年室生把采的冒定等者鞋瑟牧学琴 这种类型的极限。 >首页X
首页 × 以后我们将会发现,在计算诸如物质比热、电流强度、 线密度等问题中, 尽管它们的物理背景各不相 同,但最终都归结于讨论形如(2)式的极限. 上述两个问题中，前一个是几何学已知曲线求 它的切线的问题，后一个是运动学已知运动规律求 速度的问题，这两个问题与导数概念直接相联系的， 它们是由德国数学家莱布尼茨(Leibniz) 和英国数 学家牛顿(Newton)分别在研究几何学和物理学过程 中建立起来的，但是都可以归结为形如（1）、（2） 这种类型的极限
2.定义 定义1设函数yf(x)在点的某邻域内有定义，若极限 lim f(x)-f(x) (3) x→x0 x-xo 存在，则称函数f在点x处可导，并称该限为 函数在点x处的导数，记作f'(x)· >首页.火
若极限 （3） 函数f在点x0处的导数，记作 . 0 f x ( ) 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x → x x − − 首页 × 存在，则称函数f在点x0处可导，并称该限为 定义1 设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义， 2.定义
若令x=x+△x,Ay=f(x+△x)-f(),则(3)式可 改写为 im Ay=lim-f()()(4) Ax-0△xAr-→0 △x 所以，导数表示的是函数增量△y与自变量增量△ 比值的极限，我们称A为函数关于自变量的 △0 平均变化率（又称差商)，导数f'(x)为在x处关于 x的变化率.若(3)（或（4）)式极限不存在，则 称在点x处不可导. 首页X
导数 为在x0处关于 x的变化率. 比值 的极限， ,则（3）式可 改写为 我们称 为函数关于自变量的 所以，导数表示的是函数增量 若（3）（或（4））式极限不存在，则 称在点x0处不可导. 0 0 0 x x x y f x x f x = + = + − , ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim ( ) x x y f x x f x f x → → x x + − = = y x 0 f x ( ) y x 首页 × y x 若令 与自变量增量 平均变化率（又称差商）， （4）
问题若函数fx)在点x可导，试问f'(x)与（f(x)' 有何区别？ 解答'(x)是函数f(x)在点的导数值，而 (f(x)是常数f(x)的导数. D首页。X
试问 与 而 是常数 的导数. 若函数 f x( ) 在点 x0 可导， 0 f x ( ) 0 f x ( ) 0 ( ( )) f x 0 ( ( )) f x f x( ) 0 f x( ) 首页 × 有何区别？ 解答 是函数 在点的导数值， 问题
3.导数应用例题 例1求函数f(x)=x2在点x=1处的导数，并求曲线在 点（1,1)处的切线方程 分析根据前面讨论可知，我们可以通过导数的意 义先求出切线斜利用点斜式直线方程给出切线方程。 解由定义求得∫'=im+A)-f-m+-」 △x→0 △x △x→0 ,2△x+x2 lim- -=lim(2+△x)=2 Ax-0△x △x-0 由此知道抛物线y=x在点（1,1)的切线斜率为 k=f”()=2,所以切线方程为 y-1=2(x-1)即y=2x-1 D>首页.X
由此知道抛物线 在点（1，1）的切线斜率为 ， 例1 求函数 在点x=1处的导数，并求曲线在 点（1，1）处的切线方程. 所以切线方程为 2 0 0 (1 ) ( ) (1 ) 1 (1) lim lim x x f x f x x f → → x x + − + − = = 2 0 0 2 lim lim (2 ) 2 x x x x x → → x + = + = 2 y x = k f = = (1) 2 y x y x − = − = − 1 2( 1) 2 1 即 首页 × 2 f x x ( ) = 3. 导数应用例题 分析 根据前面讨论可知，我们可以通过导数的意 义先求出切线斜率， 解 由定义求得 再利用点斜式直线方程给出切线方程
例2证明函数f(x)=x在点x。=0处不可导. 分析要求证函数在一点处不可导，根据定义只要 能够说明二)或架-代+A-f x-xo △r-→0△X△r→0 △x 不存在即可. 证因为 f元f0=s_1,x>0 x-0 1-1,x<0 当x→0时极限不存在， 所以f在点都=0处不可导. 首页X
例2 证明函数 f x x ( ) = 在点 处不可导. x0 = 0 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x → x x − − 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x → → x x + − = 首页 × 分析 要求证函数在一点处不可导，根据定义只要 能够说明 不存在即可. 证 因为 ( ) (0) 1, 0 0 1, 0 f x f x x x x x − = = − − 当 x →0 时极限不存在， 所以f 在点x = 0 处不可导. 或
,可导写续的关 首先，我们介绍有限增量公式 设在点x可导，令e=f化，)- △x ,由f)在 点可导，可知是=x,即四-f川=0， △x-0X 于是当△x→0时，是无穷小量，则E·△x=(△x), 即 △y=f'(x)△x+(△x)(5) 我们称(5)式为f(x)在点x的有限增量公式， 此公式对△x=0仍旧成立. 由公式(5)立即推得如下定理. 首页X
此公式对 仍旧成立. 我们称（5）式为 在点 的有限增量公式, 即 (5) 于是当 时， 是无穷小量， 则 ， 由 在 点 可导，可知 ，即 ， 设 f x( ) 在点 可导，令 ， 0 x x0 0 '( ) y f x x = − f x( ) 0 0 lim ( ) x y f x → x = 0 0 lim[ ( )] 0 x y f x → x − = →x 0 = x x ( ) 0 = + y f x x x '( ) ( ) = x 0 f x( ) 0 x 首页 × 4. 可导与连续的关系 首先，我们介绍有限增量公式. 由公式（5）立即推得如下定理