电力系统暂态稳定 数值分析
电力系统暂态稳定 数值分析
第1节数值分析的基本概念
第1节 数值分析的基本概念
一、常微分方程的数值解法 设某系统的常微分方程为 d少=ft,y) dt y(to)=Yo 式中：f(t,y):包含有时间t和函数y的表达式； yo:函数y在初始时刻to时的对应初值。 通常将求解上述方程中函数y(t)的问题称为常微分方程数 值求解问题
一、常微分方程的数值解法 设某系统的常微分方程为 0 0 ( ) ( , ) y t y f t y dt dy 式中：f(t,y)：包含有时间t和函数y的表达式； y0：函数y在初始时刻t0时的对应初值。 通常将求解上述方程中函数y(t)的问题称为常微分方程数 值求解问题
所谓数值求解就是要在时间区间[a,b]中取若干离散点 t(k=0,1,2,,N),且 a=to<t1<…<tN=b 设法求出常微分方程的解函数y(t)在这些时刻上的近似值 yo:y1,...yN, 即求取 yk≈(t)k=0,1,2,…,N ■通常取求解区间[a,b的等分点作为离散点比较方便，即设 h=(b-a)N,称为等间隔时间计算步长。 ■常微分方程数值解法的基本出发点就是将连续时间的求解 区间[a,b]分成若干离散时刻点tk,然后直接求出各离散点 上的解函数y(tk)的近似值yk,而不必求出解函数y()的解 析表达式
所谓数值求解就是要在时间区间[a,b]中取若干离散点 tk(k=0,1,2,…,N)，且 a t 0 t 1 t N b 设法求出常微分方程的解函数y(t)在这些时刻上的近似值 y0,y1,…,yN，即求取 yk y(t k )k 0,1,2, ,N 通常取求解区间[a,b]的等分点作为离散点比较方便，即设 h=(b-a)/N，称为等间隔时间计算步长。 常微分方程数值解法的基本出发点就是将连续时间的求解 区间[a,b]分成若干离散时刻点tk，然后直接求出各离散点 上的解函数y(tk )的近似值yk，而不必求出解函数y(t)的解 析表达式
二、 数字仿真与解析法 解析法是应用数学推导、演绎去求解数学模型的方法 数字仿真是通过计算机在数学模型上进行一系列试验 来研究问题的方法。 1、解析法求解问题得出对问题的通解，而数字仿真的每 一次运行只能给出在特定条件的数值解（特解） ■数字仿真每次得到的结果只是在给定参数条件下的数 值解特解)，为了研究参数变化对系统特性的影响， 需要多次反复运行不同参数条件下的仿真运算，因此 所得的结论不容易获得对系统性能的一般解（通解）。 ■从数学模型形式来看，解析法是比较成熟的公式，而 数字仿真是一个特殊形式下的公式
二、数字仿真与解析法 解析法是应用数学推导、演绎去求解数学模型的方法 数字仿真是通过计算机在数学模型上进行一系列试验 来研究问题的方法。 1、解析法求解问题得出对问题的通解，而数字仿真的每 一次运行只能给出在特定条件的数值解(特解) 数字仿真每次得到的结果只是在给定参数条件下的数 值解(特解)，为了研究参数变化对系统特性的影响， 需要多次反复运行不同参数条件下的仿真运算，因此 所得的结论不容易获得对系统性能的一般解(通解)。 从数学模型形式来看，解析法是比较成熟的公式，而 数字仿真是一个特殊形式下的公式
2、用解析法所能求解的问题是有限的，而仿真适应范围广 实际中的许多问题，用解析法是不能或难以解决的，因为用解析法求解问题， 要求将系统的数学模型用一些特殊形式的数学公式表示，如代数方程、微分方 程。 ■为了能用较成熟的解析法求解，数学模型不能太复杂、阶次也不能太高，这往 往需要对系统进行抽象或近似，尽可能的简化数学模型，但模型的过度简化使 系统可能失去实际意义，以至使系统无法得到完整的、特殊形式的、并可用解 析法求解的数学模型。 ■由于大多数实际系统是非线性、分布参数的或高阶的复杂系统，其数学模型是 不易或不能用解析法求解的、非线性因素不能略去、高阶的复杂系统，就必须 使用仿真技术。 原则上仿真对于系统的数学模型的形式及复杂程度是没有限制的，但由于仿真 是通过一系列试验来进行研究的，当增加模型的复杂程度时，计算量也会迅速 增加
2、用解析法所能求解的问题是有限的，而仿真适应范围广 实际中的许多问题，用解析法是不能或难以解决的，因为用解析法求解问题， 要求将系统的数学模型用一些特殊形式的数学公式表示，如代数方程、微分方 程。 为了能用较成熟的解析法求解，数学模型不能太复杂、阶次也不能太高，这往 往需要对系统进行抽象或近似，尽可能的简化数学模型，但模型的过度简化使 系统可能失去实际意义，以至使系统无法得到完整的、特殊形式的、并可用解 析法求解的数学模型。 由于大多数实际系统是非线性、分布参数的或高阶的复杂系统，其数学模型是 不易或不能用解析法求解的、非线性因素不能略去、高阶的复杂系统，就必须 使用仿真技术。 原则上仿真对于系统的数学模型的形式及复杂程度是没有限制的，但由于仿真 是通过一系列试验来进行研究的，当增加模型的复杂程度时，计算量也会迅速 增加
■系统求解时，应先考虑采用解析法，当系统比较复杂， 采用解析法相对较困难时，则采用仿真方法。 ■在某情况下，可先将模型抽象、简化成能用解析法求 解的、较方便的形式，而后逐步考虑到实际或更复杂 情况，再采用仿真方法进行研究。此时是将仿真作为 一种补充手段来应用的。 ■如果系统太复杂，完全不能采用解析法时，仿真将是 唯一的方法
系统求解时，应先考虑采用解析法，当系统比较复杂， 采用解析法相对较困难时，则采用仿真方法。 在某情况下，可先将模型抽象、简化成能用解析法求 解的、较方便的形式，而后逐步考虑到实际或更复杂 情况，再采用仿真方法进行研究。此时是将仿真作为 一种补充手段来应用的。 如果系统太复杂，完全不能采用解析法时，仿真将是 唯一的方法
三、数字仿真与数值求解 ■数字仿真是指建立系统的数学模型并在计算机上运行和分 析的整个过程；数值求解则是仿真所采用的在计算机上求 解数学模型的方法。 ■确切地说，仿真是运行模型而不是求解模型。 对于连续系统常常利用数值解法将其数学模型转换成适合 于计算机编程的仿真模型 数值求解一般只是对数学模型在特定条件下进行一次数值 解算，并不构成仿真，而仿真是一种试验方法，一般需要 在不同条件下多次运行模型，通过在全过程运行时间内对 所观测的试验结果进行分析来求解问题
三、数字仿真与数值求解 数字仿真是指建立系统的数学模型并在计算机上运行和分 析的整个过程；数值求解则是仿真所采用的在计算机上求 解数学模型的方法。 确切地说，仿真是运行模型而不是求解模型。 对于连续系统常常利用数值解法将其数学模型转换成适合 于计算机编程的仿真模型。 数值求解一般只是对数学模型在特定条件下进行一次数值 解算，并不构成仿真，而仿真是一种试验方法，一般需要 在不同条件下多次运行模型，通过在全过程运行时间内对 所观测的试验结果进行分析来求解问题
数值求解每次运行只完成仿真的一次“解算”，只是整个 仿真过程的一环，所给出的解答只是一组特定条件下的特 殊解，只说明系统在这个特定条件下的性能。而要研究系 统中各种因素及它们之间的关系发生变化对系统性质的变 化，只能通过仿真用多次试验的方法进行分析，而不是由 仅获得一次特定参数条件的数值得出。 ■在某种意义上说，数字仿真与数值求解关系如森林与树木 之间的关系。 从数学模型的形式来看，数值求解是将整个系统的数学模 型整理成一组方程式的形式，这对于实际的复杂的系统是 难以做到的；仿真则用建立各子系统或环节的“模块化模 型”，以及确定各模块之间的连接关系来进行仿真
数值求解每次运行只完成仿真的一次“解算”，只是整个 仿真过程的一环，所给出的解答只是一组特定条件下的特 殊解，只说明系统在这个特定条件下的性能。而要研究系 统中各种因素及它们之间的关系发生变化对系统性质的变 化，只能通过仿真用多次试验的方法进行分析，而不是由 仅获得一次特定参数条件的数值得出。 在某种意义上说，数字仿真与数值求解关系如森林与树木 之间的关系。 从数学模型的形式来看，数值求解是将整个系统的数学模 型整理成一组方程式的形式，这对于实际的复杂的系统是 难以做到的；仿真则用建立各子系统或环节的“模块化模 型”，以及确定各模块之间的连接关系来进行仿真
四、解析解与数值解 ■在许多科学技术问题中，都需要解常微分方程初值问题。 这类问题最简单的数学形式是求函数y(x),适合一阶方程： (x)=f(x,y) X≥X0和初值条件(x0)=% ■在微分方程理论中，主要是研究诸如在什么条件下解存在且唯一 以及它的光滑性质，还讨论各种获得准确解（解析解）的方法。但这 种数学分析方法只能解决少数比较简单和典型的微分方程问题， 一般只能胜任常系数线性方程，对于变系数线性方程就有很大困 难，更不用说一般的非线性方程了
四、解析解与数值解 在许多科学技术问题中，都需要解常微分方程初值问题。 这类问题最简单的数学形式是求函数y(x)，适合一阶方程： y (x) f (x, y) 0 x x 和初值条件 0 0 y(x ) y 在微分方程理论中，主要是研究诸如在什么条件下解存在且唯一 以及它的光滑性质，还讨论各种获得准确解(解析解)的方法。但这 种数学分析方法只能解决少数比较简单和典型的微分方程问题， 一般只能胜任常系数线性方程，对于变系数线性方程就有很大困 难，更不用说一般的非线性方程了