小干扰法分析简单系统静态稳定 一、小干扰法的理论基础 小干扰法的理论基础是19世纪俄国学者李雅普诺夫奠定的。 对于一个非线性动力系统，其运动特性可以用一阶非线性微分方程组来描述， 即 (=F[x(] dt 式中X表示系统状态变量的向量， F是非线性函数向量
小干扰法分析简单系统静态稳定
如果X。是系统的一个初始平衡状态的向量，即F[X。]=0; 系统受到小干扰后，状态变量发生微小改变，即X=X。+△X: 代入非线性方程得：a(X,+A=F[X,+△x]: dt 将右侧用泰勒级数展开后忽略△X的高次项，可得： aN-Px+AFxyax dt 因为X。是系统的一个初始平衡状态的向量， 即2-F-0.上试简化.国为 d(△X)aF[X] dt ax Ax=Y一偏移量线性化的状态方程 其中A称为雅克比矩阵
根据李雅普诺夫(Lyapunov)小干扰稳定性判断原则： ● 若A矩阵所有特征值的实部均为负值，则系统是稳定的： 若改变系统的初始平衡状态或者参数，使得A的特征值中 出现一个零根或实部为零的一对虚根，则系统处于稳定的边界； ●只要特征值出现一个正实根或一对具有正实部的复根， 则系统是不稳定的，前者对应于非周期性地失稳， 后者对应于周期性地振荡失稳
小干扰法的应用过程： 列出描述系统的非线性微分方程组 线性化 ↓ 得出近似的线性微分方程组 1 求特征方程，特征根 ↓ 根据其特征方程式的性质判断系统的稳定性
二、小干扰法分析简单系统的静态稳定 (一)列写系统状态变量偏移量的线性状态方程 发电机的初始运行状态为：X。=[⊙，1，F(X。)=0 假设发电机E恒定，发电机转子运动方程为： =(0-1)0
2-(w-1）o k非线性状态方程，X=[6,,FD- (o-1)4 d(x) 空-别 2-) [6=6,+△8 0=1+△o ←状态发生微小变化X=X。+△X ↓ 0 7 A= 长线性化， d(Ax)_oF[x] T,dols- 0 dt aN4A=a,A- 0 K得到4) A△X dt dAδ dt =△00 器 d△o1 ←得出近似的线性微分方程组 dt
d△ dt L-△000 d△o 1 dPE dt T,dδ9 6Aδ 就是系统状态变量偏移量的线性微分方程组
d△δ =△000 dt d△o -1 △8 dt 由状态方程就可以根据自动控制理论的知识， 绘制出简单系统发电机的控制框图。 积分环节 积分环节 机械功率 变化量 △P 1 △0 Aδ △P=0 「功率 T,P 角速度 P △PB 变化量 变化量 角度 电磁功率 变化量 变化量 do 发电机的控制框图 线性环节
(二)根据特征值判断系统的稳定性 对于线性系统，其微分方程的特征方程的根，也 就是其状态方程系数矩阵的特征值，可决定暂态 过程的变化规律。 。但是电力系统是非线性系统，经过线性化之后的 状态方程，用系数矩阵（雅克比矩阵）的特征值 来决定偏移量的变化规律是不可取的，但可以用 这种方法来判定系统是否稳定
（二）根据特征值判断系统的稳定性 对于线性系统，其微分方程的特征方程的根，也 就是其状态方程系数矩阵的特征值，可决定暂态 过程的变化规律。 但是电力系统是非线性系统，经过线性化之后的 状态方程，用系数矩阵（雅克比矩阵）的特征值 来决定偏移量的变化规律是不可取的，但可以用 这种方法来判定系统是否稳定
● 稳定： 所有特征值入∈（负实数U负实部的复数） ●】 边界： 所有特征值2c(负实数U负实部的复数)U(零U纯虚数) 不稳定： 只要出现一个正实数或一个具有正实部的复数的特征根
