
马尔柯夫分析预测法 在预测分析中,常常需要根据当前的状态和发展趋向预测未来的状态发生的可能性,也 就是状态实现的概率,马尔柯夫分析法就是这样一种预测方法。它是以俄国数学家A.A Markov命名的一种方法。 马尔柯夫分析预测法是利用概率中马尔柯夫链的基本原理和方法来研究分析经济现象 的现状和变化规律,并藉此预测未来现状的预测方法。在生产实践中,应用马尔柯夫分析法 可以对企业的规模、市场占有率、服务网点的选择、设备更新等问题进行预测。 马尔柯夫将时间序列看作一个随机过程,通过对事物不同状态的初始状态和状态之间转 移概率的研究,确定状态变化趋势,以预测事物的未来。 一、基本摄念: 1.马尔柯夫过程与马尔科夫链 马尔柯夫过程是一类重要的随机过程。它的特点是,当过程在时刻所处的状态为已知 时,过程在时刻t(Po)所处的状态与过程在。时刻之前的状态无关。马尔柯夫过程的这个 特性称为无后效性,又称马尔柯夫性。 无后效性举例:假设一部电梯是由进入电梯内的人自行操纵的那么电梯下一步会运行到 何处只依糗于当前在电梯内的人的意图而与过去电梯从何而来是无关的:荷花池中一只青 蛙:研究一个商店的累计销售额,如果现在时刻的累计销售额己知,则未来某一时刻的 累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。 如果马尔柯夫过程的状态和时间参数都是离散的,则这样的过程称为马尔柯夫链,这里 “链”的含义是指,只有在顺序相邻的两个随机变量之间具有相关关系。 若随机变量序列红,=,2,m的参数为非负整数,且具有马尔柯夫性,则称这一随机 过程为马尔柯夫链。 2.状态与状态转移 所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状况。如产品在市场上可能是畅销,也可能是 沛销:机器运行可能正常或有故障:对于某地区每年的气候按一定的指标可分为早、涝两种 状态等等。不同的事物,不同的预测目的,由不同的状态划分。在预测中,对预测对象状态 的划分通常有两大类。一类是预测对象本身有明显的状态界限,则以其界限划分。如:机器 有事故状态和正常运行状态:天气有晴、阴、雨状态等等。另一类是根据实际情况人为划分 如产品在市场上畅销或滞销的状态可以其市场获利大小划分,获利2000元以下为滞销
马尔柯夫分析预测法 在预测分析中,常常需要根据当前的状态和发展趋向预测未来的状态发生的可能性,也 就是状态实现的概率,马尔柯夫分析法就是这样一种预测方法。它是以俄国数学家 A. A. Markov 命名的一种方法。 马尔柯夫分析预测法是利用概率中马尔柯夫链的基本原理和方法来研究分析经济现象 的现状和变化规律,并藉此预测未来现状的预测方法。在生产实践中,应用马尔柯夫分析法 可以对企业的规模、市场占有率、服务网点的选择、设备更新等问题进行预测。 马尔柯夫将时间序列看作一个随机过程,通过对事物不同状态的初始状态和状态之间转 移概率的研究,确定状态变化趋势,以预测事物的未来。 一、 基本概念: 1.马尔柯夫过程与马尔科夫链 马尔柯夫过程是一类重要的随机过程。它的特点是,当过程在时刻 t0 所处的状态为已知 时,过程在时刻 t(t>t0)所处的状态与过程在 t0 时刻之前的状态无关。马尔柯夫过程的这个 特性称为无后效性,又称马尔柯夫性。 无后效性举例:假设一部电梯是由进入电梯内的人自行操纵的那么电梯下一步会运行到 何处只依赖于当前在电梯内的人的意图而与过去电梯从何而来是无关的;荷花池中一只青 蛙.;研究一个商店的累计销售额,如果现在时刻的累计销售额已知,则未来某一时刻的 累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。 如果马尔柯夫过程的状态和时间参数都是离散的,则这样的过程称为马尔柯夫链,这里 “链”的含义是指,只有在顺序相邻的两个随机变量之间具有相关关系。 若随机变量序列{xn,n=1,2,.,n}的参数为非负整数,且具有马尔柯夫性,则称这一随机 过程为马尔柯夫链。 2.状态与状态转移 所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状况。如产品在市场上可能是畅销,也可能是 滞销;机器运行可能正常或有故障;对于某地区每年的气候按一定的指标可分为旱、涝两种 状态等等。不同的事物,不同的预测目的,由不同的状态划分。在预测中,对预测对象状态 的划分通常有两大类。一类是预测对象本身有明显的状态界限,则以其界限划分。如:机器 有事故状态和正常运行状态;天气有晴、阴、雨状态等等。另一类是根据实际情况人为划分。 如产品在市场上畅销或滞销的状态可以其市场获利大小划分,获利 2000 元以下为滞销

2000-5000元为中等,获利5000元以上为畅销。这种划分的数量界限依产品不同而不同 也与决策者的决策素质(保守或乐观)有关。 状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。客观事物的状态不是固定不 变的,它可能处于这种状态,也可能处于那种状态,往往条件变化,状态也会发生改变。如 某种产品在市场上本来滞销,但由于销售渠道的畅通或消费者心理的变化,可能使其变为畅 销。某产品的销售情况有畅销、滞销两种状态,则状态转移就有4种情形:即由畅销到畅销、 由畅销到滞销、由滞销到畅销以及由滞销到滞销。究竞在某时刻发生哪一种状态转移,这完 全是随机的。这种过程可用下图所示的状态转移图来表示。 (畅销 既然状态的转移是一种随机现象,那么为了对状态转移过程进行定量描述,必须引入状 态转移概率的概念。 3.状态转移概率与转移概率矩阵 (回顾:概率论中的条件概率P(B/A),当A、B为两个事件时,它表示事件A出现的 情况下,事件B出现的条件概率。当B为事件,A为某种状态时,它反映A状态下事件B 出现的概率。当A、B为两种不同状态,且AB=中,它反映事物有状态A转向状态B的概 率) 客观事物可能有1,2,.,n共n种状态,其每次只能处于一种状态,则每一状态都具 有个转向(包括转向自身),将这种转移的可能性用概率描述,就是状态转移概率。状态 转移概率中最基本的是一步转移概率P(1),它表示由状态1经过一步转移到状态j的概 率,也记作P,所以有P(1一)=P1i)=P 所谓状态转移概率,是指从一种状态1转移到另一种状态j的概率,记为P 将事物n个状态的转移概率依次排列,可得一个n×n阶的方阵,称为转移概率矩阵, 简称为概率矩阵。 PiP12.P1n 0sm,s1吃n, 概率矩阵的每一行都是概率向量
2000-5000 元为中等,获利 5000 元以上为畅销。这种划分的数量界限依产品不同而不同, 也与决策者的决策素质(保守或乐观)有关。 状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。 客观事物的状态不是固定不 变的,它可能处于这种状态,也可能处于那种状态,往往条件变化,状态也会发生改变。如 某种产品在市场上本来滞销,但由于销售渠道的畅通或消费者心理的变化,可能使其变为畅 销。某产品的销售情况有畅销、滞销两种状态,则状态转移就有 4 种情形:即由畅销到畅销、 由畅销到滞销、由滞销到畅销以及由滞销到滞销。究竟在某时刻发生哪一种状态转移,这完 全是随机的。这种过程可用下图所示的状态转移图来表示。 畅销 滞销 既然状态的转移是一种随机现象,那么为了对状态转移过程进行定量描述,必须引入状 态转移概率的概念。 3.状态转移概率与转移概率矩阵 (回顾:概率论中的条件概率 P(B/A),当 A、B 为两个事件时,它表示事件 A 出现的 情况下,事件 B 出现的条件概率。当 B 为事件,A 为某种状态时,它反映 A 状态下事件 B 出现的概率。当 A、B 为两种不同状态,且 AB=Φ,它反映事物有状态 A 转向状态 B 的概 率) 客观事物可能有 1,2,.,n 共 n 种状态,其每次只能处于一种状态,则每一状态都具 有 n 个转向(包括转向自身),将这种转移的可能性用概率描述,就是状态转移概率。状态 转移概率中最基本的是一步转移概率 P(j | i),它表示由状态 i 经过一步转移到状态 j 的概 率,也记作 Pij,所以有 P(i→j)= P(j | i)= Pij 所谓状态转移概率,是指从一种状态 i 转移到另一种状态 j 的概率,记为 Pij。 将事物 n 个状态的转移概率依次排列,可得一个 n×n 阶的方阵,称为转移概率矩阵, 简称为概率矩阵。 = n n nn n n p p p p p p p p p P . . . . . . . 1 2 21 22 2 11 12 1 = = n j pij pij 1 0 1 且 1 概率矩阵的每一行都是概率向量

概率矩阵的两个基本性质: 性质1 若u=(4,4,4,)是一个n维概率向量,P=[p,为一个n阶概率在矩阵, 则uP也是一个n维概率向量。 如:设=04.06,P=0307 「011 -p4od-01soa 显然,P为一概率向量。 性质2若A=[an]nm,B=[b]nn都是n阶概率矩阵,则AB也是一个n阶的概率矩 阵。 如:设A=02087 0.50.5 -64 则有B=052048 0.700.30 显然,AB为一概率矩阵。 4。k步状态转移概率矩阵 马尔柯夫链是一个离散的随机状态时间序列,序列中的每个状态可以认为是过程的一个 阶段,第k个阶段发生的概率可以根据第1个阶段状态发生的概奉来确定。因此,可以根 据概率论中条件概率的运算法则,由第k1阶段的状态概率去推算第k阶段的状态概率,然 后可由第k阶段的状态概率推算第+1阶段的状态概率,依次类推。这样的过程称为马尔柯 夫链分析。因此,马尔柯夫链分析的关键在于确定从第1个状态,中间经过k个阶段(即k 步转移)后,到达第/个状态的概率p侧。于是马尔柯夫链的第k步状态转移概率矩阵可 表示为 p限p.p p=pp唱.p pp嗯.p图 下面通过一个具体的实例说明k步状态转移概率矩阵的具体求法。 例如某机床的使用情况有正常和不正常两种状态。根据以往资料,若该机床当天运转 正常,则下一天运转正常的概率为0.8,变为不正常的概率为0.2:若该机床当天运转不正常 则下一天转为正常的概率为0.6,仍为不正常的概率为0.4
概率矩阵的两个基本性质: 性质 1 则 也是一个 维概率向量。 若 是一个 维概率向量, 为一个 阶概率在矩阵, uP n u = (u1 ,u2 ,.,un ) n P = [pi j] n 如: 设 u =(0.4,0.6), = 0.3 0.7 0 1 P 则有 ( ) (0.18 0.82) 0.3 0.7 0 1 0.4 0.6 = uP = 显然,uP 为一概率向量。 性质 2 若 A = aij nn B = bij nn [ ] , [ ] 都是 n 阶概率矩阵,则 AB 也是一个 n 阶的概率矩 阵。 如:设 = = 0.4 0.6 1 0 0.5 0.5 0.2 0.8 A ,B ,则有 = 0.70 0.30 0.52 0.48 AB 显然,AB 为一概率矩阵。 4.k 步状态转移概率矩阵 马尔柯夫链是一个离散的随机状态时间序列,序列中的每个状态可以认为是过程的一个 阶段,第 k 个阶段发生的概率可以根据第 k-1 个阶段状态发生的概率来确定。因此,可以根 据概率论中条件概率的运算法则,由第 k-1 阶段的状态概率去推算第 k 阶段的状态概率,然 后可由第 k 阶段的状态概率推算第 k+1 阶段的状态概率,依次类推。这样的过程称为马尔柯 夫链分析。因此,马尔柯夫链分析的关键在于确定从第 i 个状态,中间经过 k 个阶段(即 k 步转移)后,到达第 j 个状态的概率 (k ) pij 。于是马尔柯夫链的第 k 步状态转移概率矩阵可 表示为 = ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 1 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 1 ( ) k n n k n k n k n k k k n k k k p p p p p p p p p P 下面通过一个具体的实例说明 k 步状态转移概率矩阵的具体求法。 例如 某机床的使用情况有正常和不正常两种状态。根据以往资料,若该机床当天运转 正常,则下一天运转正常的概率为 0.8,变为不正常的概率为 0.2;若该机床当天运转不正常, 则下一天转为正常的概率为 0.6,仍为不正常的概率为 0.4

根据题意,可得到该问题的概率矩阵为 p-08 p1=0.8P=0.2 P21=0.6P2=0.4 若用C,N,i=1,2,)分别表示机床第i天运转正常和不正常两种状态,则由第i天 到第什1天的1步状态转移概率矩阵为 pw=P=0802 0.60.4 现在计算由第一天到第三天的2步状态转移概率矩阵。欲由第一天的状态概率推算出第 三天的状态概率,必须先求出第二天的状态概率。由前面的公式知,在C,和N,分别发生的 条件下,C2和N2发生的概率分别为 pC2C1)=0.8 pN2C1)=0.2 pC2N1)=0.6 pW2W)=0.4 同样地,在C2和N2分别发生的条件下,C3和N,发生的概率分别为 pC3lC2)=0.8 pN3C2)=0.2 pC3lN2)=0.6 pNW,)=0.4 根据条件概率的运算法则,在C和N分别发生的条件下,C,和N,分别发生的概率为 p(C3C1)=p=p(C2C)p(C3C2)+p(N2 C)p(C2 N2) =0.8×08+0.2×06=0.76 p(N3C)=p=p(C2C)p(N3C2)+p(N2C)p(N3 N2) =0.8×0.2+0.2×0.4=0.24 p(C3 N)=p=p(C2N)p(C3C2)+P(N2N)p(C3IN2) =-0.6×0.8+0.4×0.6=0.72 P(N:IN)=p=p(C2 IN )p(NaC)+P(N2 IN )p(NaN2) =0.6×0.2+0.4×0.4=0.28 于是可得第一天到第三天的2步状态转移概率矩阵为 pe=p p81「0.760.24 p2p20.7n0.28 事实上,2步状态转移概率矩阵p②)可以通过概率矩阵P的二次方得到,这是因为
根据题意,可得到该问题的概率矩阵为 = 0.6 0.4 0.8 0.2 P 0.6 0.4 0.8 0.2 21 22 11 12 = = = = p p p p 若用 C ,N (i =1,2, ) i i 分别表示机床第 i 天运转正常和不正常两种状态,则由第 i 天 到第 i+1 天的 1 步状态转移概率矩阵为 = = 0.6 0.4 0.8 0.2 (1) P P 现在计算由第一天到第三天的 2 步状态转移概率矩阵。欲由第一天的状态概率推算出第 三天的状态概率,必须先求出第二天的状态概率。由前面的公式知,在 C1 和 N1 分别发生的 条件下, C2 和 N2 发生的概率分别为 ( ) 0.4 ( ) 0.6 ( ) 0.2 ( ) 0.8 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = = p N N p C N p N C p C C 同样地,在 C2 和 N2 分别发生的条件下, C3 和 N3 发生的概率分别为 ( ) 0.4 ( ) 0.6 ( ) 0.2 ( ) 0.8 3 2 3 2 3 2 3 2 = = = = p N N p C N p N C p C C 根据条件概率的运算法则,在 C1 和 N1 分别发生的条件下, C3 和 N3 分别发生的概率为 0.8 0.2 0.2 0.4 0.24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.8 0.8 0.2 0.6 0.76 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 2 1 3 2 (2) 3 1 1 2 2 1 3 2 2 1 2 2 (2) 3 1 1 1 = + = = = + = + = = = + p N C p p C C p N C p N C p N N p C C p p C C p C C p N C p C N 0.6 0.2 0.4 0.4 0.28 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.6 0.8 0.4 0.6 0.72 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 2 1 3 2 (2) 3 1 2 2 2 1 3 2 2 1 3 2 (2) 3 1 2 1 = + = = = + = + = = = + p N N p p C N p N C p N N p N N p C N p p C N p C C p N N p C N 于是可得第一天到第三天的 2 步状态转移概率矩阵为 = = 0.72 0.28 0.76 0.24 (2) 2 2 (2) 2 1 (2) 1 2 (2) (2) 1 1 p p p p P 事实上,2 步状态转移概率矩阵 (2) p 可以通过概率矩阵 P 的二次方得到,这是因为

-86820889-8a8 一般地,有 [p=p4 p=pk-P,k=1,2,. 例如,上面的问题中由第一天到第四天的3步状态转移概率矩阵为 p=P户-pap-02028人06040740256 0.760.240.80.2_0.7520.248 由此可见,只要己知系统的概率矩阵P,则从某一状态经k步后的状态转移概率矩阵 P)即可求得,由此便可对系统状态的发展趋势作出预测。 5.稳定状态概率向量 马尔柯夫k步状态转移概率矩阵有一个重要的特征,即就是当转移步数k逐步增高时, 状态转移概率矩阵逐步趋于稳定。例如上面的问题中 0604p8=06024 pw=0.802) -68829m-m8网 p=07520248Y0.80207504024961 0.7440.2560.60.40.74880.2512 pm-0383088q-8782 显然,经过四步转移之后已大致趋于稳定,也就是说,状态转移次数再增大,状态转移 概率矩阵的变化很小,并逐渐趋于稳定状态转移概率矩阵。 5=lim p-075025) 0.750.25 由此可见,稳定状态转移矩阵的概率向量相同。我们把这样的概率向量称为稳定状态概 率向量。上面的结果表明,不管初始状态如何,经过若干阶段以后,各状态发生的概率趋于 稳定,即机床正常运转的概率为0.75,不正常的概率为0.25。 为了确定状态概率向量,现引入正规概率矩阵的概念。 设P=(Py)n是一个概率矩阵,且存在一个正数k使矩阵P中的每个元素均是正数。 则称P为一个正规概率矩阵。 例如设有概率矩阵
(2) (2) 2 2 (2) 2 1 (2) 1 2 (2) 1 1 2 0.72 0.28 0.76 0.24 0.6 0.4 0.8 0.2 0.6 0.4 0.8 0.2 P p p p p P = = = = 一般地,有 = = = ( ) ( −1) , 1,2, ( ) P P P k P P k k k k 例如,上面的问题中由第一天到第四天的 3 步状态转移概率矩阵为 = = = = 0.744 0.256 0.752 0.248 0.6 0.4 0.8 0.2 0.72 0.28 0.76 0.24 (3) 3 (2) P P P P 由此可见,只要已知系统的概率矩阵 P,则从某一状态经 k 步后的状态转移概率矩阵 (k ) P 即可求得,由此便可对系统状态的发展趋势作出预测。 5.稳定状态概率向量 马尔柯夫 k 步状态转移概率矩阵有一个重要的特征,即就是当转移步数 k 逐步增高时, 状态转移概率矩阵逐步趋于稳定。例如上面的问题中 = 0.6 0.4 0.8 0.2 (1) P , = 0.72 0.28 0.76 0.24 (2) P , = 0.744 0.256 0.752 0.248 (3) P = = = = 0.74976 0.25024 0.75008 0.24992 0.6 0.4 0.8 0.2 0.7488 0.2512 0.7504 0.2496 0.7488 0.2512 0.7504 0.2496 0.6 0.4 0.8 0.2 0.744 0.256 0.752 0.248 (5) (4) P P 显然,经过四步转移之后已大致趋于稳定,也就是说,状态转移次数再增大,状态转移 概率矩阵的变化很小,并逐渐趋于稳定状态转移概率矩阵。 = = →+ 0.75 0.25 0.75 0.25 lim (k ) k S P 且为整数 由此可见,稳定状态转移矩阵的概率向量相同。我们把这样的概率向量称为稳定状态概 率向量。上面的结果表明,不管初始状态如何,经过若干阶段以后,各状态发生的概率趋于 稳定,即机床正常运转的概率为 0.75,不正常的概率为 0.25。 为了确定状态概率向量,现引入正规概率矩阵的概念。 设 P = pij nn ( ) 是一个概率矩阵,且存在一个正数 k 使矩阵 k P 中的每个元素均是正数, 则称 P 为一个正规概率矩阵。 例如 设有概率矩阵

则有 A21V27 根据上述定义,矩阵A是正规概率矩阵,而矩阵B不是正规概率矩阵。 在马尔柯夫链分析中,要用到下列重要结论。 设P为一正规概率矩阵, 1)一定存在一个概率向量X=(1,x2,xn)使得P=X,且有x,0,户l,2,n 2)当k→+0,且为整数时,P*→S,且S的每一行向量相同,均等于向量X. 3)对于任一n维向量U=(41,42,.,4n),当n一∞,且为整数时,总有UP*→X。 上述结论可以用上面的机床运转正常与不正常这个例子加以验证。 设概率向量X=(31,x2)满足XP=X,则有 0.802 0604=x) 即 0.8x1+0.6x32=x1 10.2x1+0.4x2=x2 可以看出,这两个方程不是相互独立的。事实上,两方程相加可得到如下恒等式 X1+X2=X1+X2 同样地,对于一般的n阶概率矩阵P,方程XP=X中的n个方程也不是相互独立的。然而我 们可以用概率向量X应满足的条件 1+x2+.+xn= 来取代方程组XP=X中的任一个方程,组成另一个方程组,即可从中解出x1,X2,.,xn。 于是,用x+x2=1,取代上面方程组中的第二个方程,有 0.8x1+0.6x2= x1+x,=1 解之得x 另一方面,设U=(41,42)为任一概率向量,由P→S(k→0,且为整数)可得 Up*→US 即 0.750.25 5=.4675025-D74+.0254+4】075.02 二、马尔柯夫链分析的预测 下面结合几个具体实例说明马尔柯夫链分析在预测中的应用。 例1设某商品的月销售情况按一定的指数可分为畅销和滞销两种状态,且知过去20个 月份的销售状况如 月份:1 2 3 4 567 8910 状态:畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞
= 1 2 1 2 0 1 A , = 1 2 1 2 1 0 B 则有 = − = = = k k k k A B B B 2 1 2 2 1 1 0 , , 15/16 1/16 1 0 , 3/ 4 1/ 4 1 0 , 1/ 4 3/ 4 1/ 2 1/ 2 2 2 3 根据上述定义,矩阵 A 是正规概率矩阵,而矩阵 B 不是正规概率矩阵。 在马尔柯夫链分析中,要用到下列重要结论。 设 P 为一正规概率矩阵,则 1)一定存在一个概率向量 ( , , , ) 1 2 n X = x x x 使得 XP = X ,且有 j x >0,j=1, 2, ., n。 2)当 k →+ ,且为整数时, P S k → ,且 S 的每一行向量相同,均等于向量 X。 3)对于任一 n 维向量 ( , , , ) U = u1 u2 un ,当 n→∞,且为整数时,总有 UP X k → 。 上述结论可以用上面的机床运转正常与不正常这个例子加以验证。 设概率向量 ( , ) 1 2 X = x x 满足 XP=X,则有 ( , ) 0.6 0.4 0.8 0.2 ( , ) 1 2 1 2 x x = x x 即 + = + = 1 2 2 1 2 1 0.2 0.4 0.8 0.6 x x x x x x 可以看出,这两个方程不是相互独立的。事实上,两方程相加可得到如下恒等式 1 2 1 2 x + x = x + x 同样地,对于一般的 n 阶概率矩阵 P,方程 XP=X 中的 n 个方程也不是相互独立的。然而我 们可以用概率向量 X 应满足的条件 x1 + x2 ++ xn =1 来取代方程组 XP=X 中的任一个方程,组成另一个方程组,即可从中解出 n x , x , , x 1 2 。 于是,用 x1 + x2 =1,取代上面方程组中的第二个方程,有 + = + = 1 0.8 0.6 1 2 1 2 1 x x x x x 解之得 x1 = 0.75, x2 = 0.25 ,故 X = (0.75,0.25) 。 显然 X=(0.75, 0.25)与 P 的稳定状态概率矩阵的每一行向量相同。 另一方面,设 ( , ) U = u1 u2 为任一概率向量,由 P S k → ( k → ,且为整数)可得 UP US k → 即 0.75( ),0.25( ) (0.75,0.25) 0.75 0.25 0.75 0.25 ( , ) 1 2 = 1 + 2 1 + 2 = US = u u u u u u 二、马尔柯夫链分析的预测 下面结合几个具体实例说明马尔柯夫链分析在预测中的应用。 例 1 设某商品的月销售情况按一定的指数可分为畅销和滞销两种状态,且知过去 20 个 月份的销售状况如下 月份: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 状态: 畅 畅 滞 畅 滞 滞 畅 畅 畅 滞

状态:畅 畅畅 滞滞畅畅滞畅 解:从每月统计结果知道,畅销状态共出现了11次(除去第20月份的状态),其中由畅销 到畅销出现了5次,由畅销到滞销出现了6次。设畅销为状态1,滞销为状态2,于是可求 得由畅销到畅销和由畅销到滞销的状态转移概率分别为 P1=5/11=0.4545 D,=6/11=0.5455 同理可求得由滞销到畅销和由滞销到滞销的状态转移概率分别为 P21=6/8=0.75 p22=2/8=0.25 于是得到该问题的状态转移概率矩阵为 P-A 075 0.25 根据P即可对系统状态发展的趋势进行预测。第20月份商品正处于畅销状态,无滞 可言,于是第20月份的状态概率向量为 P(20)=(1,0) 则第21月份的状态概率向量为 P2)=P20P=0,0yf0454s0545 0.750.25 -(0.4545,0.5455 由此可见,经过一步转移后,商品继续保持畅销的概率为0.4545,而转入滞销的概率为 0.5455。同样还可对第21月份后各个月份的状态概率向量进行预测 下面计算稳定状态概率向量X。设X=(:1,x2),则有 XP=X 5/116/11 a6828=) 即 后+= += 6 考虑到x1+x2=1,得x1=11/19=0.5790,x32=8/19=0.4210。就是说,该商品 将来畅销的概率为0.5790,滞销的概率为0.4210。 例2颐和园游船出租部门决定设立三个租船点,即知春亭、石舫、龙王庙。游人可在任 意租船点上租船和还船。根据统计资料,游人在各点上租船后,在不同点上还船的概率如表 1所示。租船部门想了解经过长期租船活动以后,船只在各点上的分布情况。 表1还船概率统计表 知春亭 石舫 龙王庙 租 (1) (2) (3) 知春亭(1】 0.80 010 0.10 0.20 070 Q10 龙王庙(3) 0.30 0.05 0.65
月份: 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 状态: 畅 滞 畅 畅 滞 滞 畅 畅 滞 畅 解:从每月统计结果知道,畅销状态共出现了 11 次(除去第 20 月份的状态),其中由畅销 到畅销出现了 5 次,由畅销到滞销出现了 6 次。设畅销为状态 1,滞销为状态 2,于是可求 得由畅销到畅销和由畅销到滞销的状态转移概率分别为 6 /11 0.5455 5/11 0.4545 12 11 = = = = p p 同理可求得由滞销到畅销和由滞销到滞销的状态转移概率分别为 2 / 8 0.25 6 / 8 0.75 22 21 = = = = p p 于是得到该问题的状态转移概率矩阵为 = = 0.75 0.25 0.4545 0.5455 21 22 11 12 p p p p P 根据 P 即可对系统状态发展的趋势进行预测。第 20 月份商品正处于畅销状态,无滞销 可言,于是第 20 月份的状态概率向量为 P(20) = (1,0) 则第 21 月份的状态概率向量为 (0.4545,0.5455) 0.75 0.25 0.4545 0.5455 (21) (20) (1,0) = P = P P = 由此可见,经过一步转移后,商品继续保持畅销的概率为 0.4545,而转入滞销的概率为 0.5455。同样还可对第 21 月份后各个月份的状态概率向量进行预测。 下面计算稳定状态概率向量 X。设 ( , ) 1 2 X = x x ,则有 XP=X ( , ) 6 8 2 8 5 11 6 11 ( , ) 1 2 1 2 x x = x x 即 + = + = 1 2 2 1 2 1 8 2 11 6 8 6 11 5 x x x x x x 考虑到 x1 + x2 =1 ,得 x1 =11/19 = 0.5790,x2 = 8/19 = 0.4210 。就是说,该商品 将来畅销的概率为 0.5790,滞销的概率为 0.4210。 例 2 颐和园游船出租部门决定设立三个租船点,即知春亭、石舫、龙王庙。游人可在任 意租船点上租船和还船。根据统计资料,游人在各点上租船后,在不同点上还船的概率如表 1 所示。租船部门想了解经过长期租船活动以后,船只在各点上的分布情况。 表 1 还船概率统计表 还 租 知春亭 (1) 石舫 (2) 龙王庙 (3) 知春亭(1) 0.80 0.10 0.10 石 舫(2) 0.20 0.70 0.10 龙王庙(3) 0.30 0.05 0.65

解:根据题意,可得到该问题的状态转移概率矩阵为 P11 P12 P13 0.800.100.10 =0.200.700.10 (P31P32P330.300.050.65 根据P即可对系统状态也就是船只在各点上的分布情况进行预测。下面计算船只的分 布情况即稳定状态概率向量 设稳定状 态概率向量为,X=(x,2,x3),则有 0.800.100.10 (31,x2,x30.200.700.10=(x1,x2,3) (0.300.050.65 考虑到x1+x2+x3=1,得x1=0.556,x2=0.222,x3=0.222,即经过长年租还活动 以后,将有55.6%的船在知春亭,而在石舫和龙王庙各有222%的游船。 三、总结 1.马尔科夫过程是一类重要的随机过程,它的原始模型是马尔可夫链。由俄国 数学家AA马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程: 在已知它目前的状态(现在)的条件下,它未来的演变(将来)不依赖于它以往的演变 (过去)。这种已知“现在"的条件下,“将来"与“过去"独立的特性称为马尔可夫性,具 有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程 的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上, 因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置己知时,它下一步跳往何处和它以往走过的 路径无关。如果将荷叶编号并用XX1X2,分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、 第二次、.跳跃后所处的荷叶号码,那么化,心0}就是马尔可夫过程。液体中微 粒所作的布朗运动,传染病受感染的人数,原子核中一自由电子在电子层中的跳跃, 人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程(例如某些遗传过程)在一定 条件下可以用马尔可夫过程来近似。 2.马尔科夫分析模型实际分析中,往往需要知道经过一段时间后,市场趋势分析对 象可能处于的状态,这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科夫市场趋势分析 模型是利用概率建立一种随机型的时序模型,并用于进行市场趋势分析的方法。马尔科夫分 析法的基本模型为:1=*×P式中:*表示趋势分析与预测对象在k时刻的状态向量 P表示一步转移概率矩阵,1表示趋势分析与预测对象在k+1时刻的状态向量。必须指 出的是,上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列,并且各时刻的状态转移概率保持稳 定。若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化,不宜用此方法。由于实际的客观事物 很难长期保持同一状态的转移概率,故此法一般适用于短期的趋势分析与预测
解:根据题意,可得到该问题的状态转移概率矩阵为 = = 0.30 0.05 0.65 0.20 0.70 0.10 0.80 0.10 0.10 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 p p p p p p p p p P 根据 P 即可对系统状态也就是船只在各点上的分布情况进行预测。下面计算船只的分 布情况即稳定状态概率向量。 设稳定状态概率向量为 X, ( , , ) 1 2 3 X = x x x ,则有 ( , , ) 0.30 0.05 0.65 0.20 0.70 0.10 0.80 0.10 0.10 ( , , ) 1 2 3 1 2 3 x x x = x x x 考虑到 x1 + x2 + x3 =1 ,得 x1 = 0.556,x2 = 0.222,x3 = 0.222 ,即经过长年租还活动 以后,将有 55.6%的船在知春亭,而在石舫和龙王庙各有 22.2%的游船。 三、总结 1. 马尔科夫过程是一类重要的随机过程,它的原始模型是马尔可夫链。由俄国 数学家 Α.Α.马尔可夫于 1907 年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程: 在已知它目前的状态(现在)的条件下,它未来的演变(将来)不依赖于它以往的演变 (过去)。这种已知“现在”的条件下,“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性,具 有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程 的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上, 因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的 路径无关。如果将荷叶编号并用 X0,X1,X2,.分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、 第二次、.跳跃后所处的荷叶号码,那么{Xn,n≥0} 就是马尔可夫过程。液体中微 粒所作的布朗运动,传染病受感染的人数,原子核中一自由电子在电子层中的跳跃, 人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程(例如某些遗传过程)在一定 条件下可以用马尔可夫过程来近似。 2. 马尔科夫分析模型实际分析中,往往需要知道经过一段时间后,市场趋势分析对 象可能处于的状态,这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科夫市场趋势分析 模型是利用概率建立一种随机型的时序模型,并用于进行市场趋势分析的方法。马尔科夫分 析法的基本模型为:X k+1 = X k×P 式中:X k表示趋势分析与预测对象在 t=k 时刻的状态向量, P 表示一步转移概率矩阵,X k+1 表示趋势分析与预测对象在 t=k+1 时刻的状态向量。必须指 出的是,上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列,并且各时刻的状态转移概率保持稳 定。若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化,不宜用此方法。由于实际的客观事物 很难长期保持同一状态的转移概率,故此法一般适用于短期的趋势分析与预测

3.马尔科夫过程的稳定状态在较长时间后,马尔科夫过程逐渐处于稳定状态,且与初 始状态无关。马尔科夫链达到稳定状态的概率就是稳定状态概率,也称稳定概率。市场趋势 分析中,要设法求解得到市场趋势分析对象的稳态概率,并以此做市场趋势分析。在马尔科 夫分析法的基本模型中,当X=XP时,称X是P的稳定概率,即系统达到稳定状态时的概 率向量,也称X是P的固有向量或特征向量,而且它具有唯一性
3. 马尔科夫过程的稳定状态在较长时间后,马尔科夫过程逐渐处于稳定状态,且与初 始状态无关。马尔科夫链达到稳定状态的概率就是稳定状态概率,也称稳定概率。市场趋势 分析中,要设法求解得到市场趋势分析对象的稳态概率,并以此做市场趋势分析。在马尔科 夫分析法的基本模型中,当 X = XP 时,称 X 是 P 的稳定概率,即系统达到稳定状态时的概 率向量,也称 X 是 P 的固有向量或特征向量,而且它具有唯一性