§32刚体转动的动能定理 、力矩的功 1力矩的定义 若作用的质点上的力为F,则将rXF定义为力F对0点的力矩,记为M。 M=rxF M、F、r三者的方向构成右手螺旋关系。 M= Frsin a= e 大小 方向:右手法则 2力矩的功 设:;转盘上的微小质量元Δm在力F作用下以R 为半径绕0轴转动,在dt时间内转过角度dθ, 对应位移dr,路程ds,此时F所做的元功为 da= fdr= eds erde dA= mde 则总功为 F Mde 二、转动惯量 设初速为零,质量元△m的动能为 Ek=mv 转盘的总动能 E=∑E=∑2m0=22 △mr;2)o 定义: =∑△m2为物体的转动惯量
§ 3.2 刚体转动的动能定理 一、力矩的功 1 力矩的定义 若作用的质点上的力为 F,则将 r×F 定义为力 F 对 O 点的力矩，记为 M。 M r F = M、F、r 三者的方向构成右手螺旋关系。 M 大小： 方向：右手法则 2 力矩的功 设：；转盘上的微小质量元Δm 在力 F 作用下以 R 为半径绕 O 轴转动，在 dt 时间内转过角度 d， 对应位移 dr,路程 ds,此时 F 所做的元功为 则总功为 二、转动惯量 设初速为零，质量元Δm 的动能为 转盘的总动能 1 定义： 为物体的转动惯量。 o z F Ft Fn Ft o r d dr t t d d d d A F r F s F r = = = d d A M= 2 1 A Md = sin r M Fr Fr = = t d F Ft o r dr 1 2 E m v ki i i = 1 2 2 k ki i i i i E E m = = v 1 2 2 ( ) 2 i i i = m r 2 i i i I m r =
意义:由质量和质量对于转轴的分 布情况决定。描述转动的惯性。 例:一头粗,一头细的杆以不同端作 轴转动是,其转动惯量不同。 单位:SI制kgm2 2定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系:转动惯量 定义为各个质点对该定轴的转动惯X 量之和 =∑m2 质量连续分布的刚体:转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。 I=[rdm 转动惯量的大小不仅取决于物体的质量,还与质量的分布和轴线的位置有关。 例1求小球m的转动惯量。 解:m看作质点 R 例2质量为m的细圆环,求 解:把环分成无限多个质量为dm的小段,对每个dm有 d/=R 对整个环有 dm I=「dm=m/2 R 例3质量m,半径R的薄圆盘,求I。 解:把盘分成无限多个环。取其中的一个环(半径r,宽dr,质量dm)
意义：由质量和质量对于转轴的分 布情况决定。描述转动的惯性。 例：一头粗，一头细的杆以不同端作 轴转动是，其转动惯量不同。 单位：SI 制 kg m2 2 定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系：转动惯量 定义为各个质点对该定轴的转动惯 量之和 2 i i i I m r = 质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。 2 m I r dm = 转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。 例 1 求小球 m 的转动惯量。 解：m 看作质点 I = m R 2 例 2 质量为 m 的细圆环，求 I。 解：把环分成无限多个质量为 dm 的小段，对每个 dm 有 dJ = R 2 对整个环有 I = R 2 dm = mR 2 例 3 质量 m，半径 R 的薄圆盘，求 I。 解：把盘分成无限多个环。取其中的一个环(半径 r，宽 dr，质量 dm)， dm R • R • m
其转动惯量 dⅠ=rdm xR2<动 dm R d 整个盘的转动惯量 2m I=dI 例4长为L、质量为m的细长直杆,转轴垂直于细杆且通过杆中心 解:杆长为L,质量为m,则密度为p=m/L。 以杆中心O点为转轴,在距o点为r处取微小质量元dm=pd,杆的转动惯量为 例5转轴垂直于细杆且通过杆的一端 以杆中心O点为转轴,同上
其转动惯量 dI = r 2 dm 2 2 m dm rdr R = 整个盘的转动惯量 2 2 3 2 2 2 0 0 0 0 2 1 2 2 R R R R m m I dI r dm r rdr r dr mR R R = = = = = 例4 长为L、质量为m的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为 L,质量为 m, 则密度为 ＝m / L。 以杆中心 O 点为转轴，在距 o 点为 r 处取微小质量元 dm =dr, 杆的转动惯量为 例5 转轴垂直于细杆且通过杆的一端 以杆中心 O/点为转轴，同上 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 3 l l l l l l I r dm r dr r − − − = = = m L O O’ 1 2 12 I mL = 1 2 3 I mL = 2 0 2 0 1 3 3 l l l o I r dm r dr r = = = dr dm dS r R
3几种典型的匀质刚体的转动惯量 刚体 转轴位置 转动惯量J 细棒(质量为皿,长为1) 过中心与棒垂直 m/2/2 细棒(质量为皿,长为1) 过一点与棒垂直 细环(质量为m,半径为R)过中心对称轴与环面垂直 R 细环(质量为m,半径为R) 直径 mR2/2 圆盘(质量为m,半径为R)过中心与盘面垂直 mR2/2 圆盘(质量为m,半径为R) 直径 mR2 /4 球体(质量为皿,半径为R) 过球心 2mR /5 薄球壳(质量为皿,半径为R) 过球心 2mR 4影响转动惯量的三个因素 (1)刚体自身的性质如质量、大小和形状 (2)质量的分布;(质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。(同一个刚体对不同的轴转动惯量不同) 5平行轴定理和转动惯量的可加性 1)平行轴定理 设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic,相对于与之平行的另一轴的转动 惯量为I,则可以证明I与Ic之间有下列关系 I=I+md2 l=I+md 2)转动惯量的可加性 对同一转轴而言,物体各部分转动惯量之和 等于整个物体的转动惯量。 例6质量m,长为1的均匀细棒,求对于通过质心的垂直轴的转动惯量Jc和通
3 几种典型的匀质刚体的转动惯量 刚体 转轴位置 转动惯量 J 细棒（质量为 m，长为 l） 过中心与棒垂直 2 ml 12 细棒（质量为 m，长为 l） 过一点与棒垂直 2 ml 3 细环（质量为 m，半径为 R） 过中心对称轴与环面垂直 2 mR 细环（质量为 m，半径为 R） 直径 2 mR 2 圆盘（质量为 m，半径为 R） 过中心与盘面垂直 2 mR 2 圆盘（质量为 m，半径为 R） 直径 2 mR 4 球体（质量为 m，半径为 R） 过球心 2 2 5 mR 薄球壳（质量为 m，半径为 R） 过球心 2 2 3 mR 4 影响转动惯量的三个因素 (1)刚体自身的性质如质量、大小和形状； (2)质量的分布； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。（同一个刚体对不同的轴转动惯量不同） 5 平行轴定理和转动惯量的可加性 1） 平行轴定理 设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为 Ic，相对于与之平行的另一轴的转动 惯量为 I，则可以证明 I 与 Ic 之间有下列关系 2 c I I md = + 2）转动惯量的可加性 对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和 等于整个物体的转动惯量。 例 6 质量 m，长为 l 的均匀细棒，求对于通过质心的垂直轴的转动惯量 Jc 和通 o z • mi d c rci ri o 2 c I I md = +
过端点a的垂直轴的转动惯量J 解:建立如图坐标0x,在棒上取一小段dx,则 Je=xdm=rdx=iml 由平行轴定理有 J nm/+m 例3-2如图所示,一圆盘状刚体的半径为R,质量为m,且均匀分布 它对过质心并且垂直于盘面的转轴的转动惯量用Ic表示,1.22e 如果刚体偏心转动,转轴通过半径的中点且垂直于盘面。求盘对此轴的转动惯 里l。 解:题给两平行轴之间的距离 Rf。 d 由平行轴定理 +ma 得刚体绕偏心轴的转动惯量 R 例3-3如图所示,某装置由均质细杆和均质圆盘构成。杆的质量为,长"y。 杆对O轴的转动惯量 1=mL2 圆盘质量是",半径为R,得知它对过质心C且垂直于盘面的转轴的转动 惯量为2=m2R 求此装置对轴O的转动惯量l
过端点 a 的垂直轴的转动惯量 J. 解：建立如图坐标 Ox，在棒上取一小段 dx，则 2 2 2 2 2 2 2 1 12 l l c l l m J x dm x dx ml l + + − − = = = 由平行轴定理有 2 1 1 2 2 12 2 3 a l J ml m ml = + = 2 c 1 2 I mR = 2 c 1 2 I mR = 如果刚体偏心转动，转轴通过半径的中点且垂直于盘面。求盘对此轴的转动惯 量I。 解：题给两平行轴之间的距离 1 2 d R = 2 c I I md = + 得刚体绕偏心轴的转动惯量 1 3 2 2 2 ( ) 2 2 4 R I mR m mR = + = 由平行轴定理 O C d 例 3-2 如图所示，一圆盘状刚体的半径为 R，质量为 m ，且均匀分布。 它对过质心并且垂直于盘面的转轴的转动惯量用Ic表示。 例3-3 如图所示，某装置由均质细杆和均质圆盘构成。杆的质量为 ，长 L。 杆对O 轴的转动惯量 2 1 1 1 3 I m L = m1 圆盘质量是 ，半径为R。，得知它对过质心C 且垂直于盘面的转轴的转动 惯量为 m2 2 2c 2 1 2 I m R = 求此装置对轴O的转动惯量I。 A O dx c x A O dx c x
解:已知杆对轴O的转动惯量 盘对轴C的转动惯量 2 由平行轴定理得盘对轴O的转动惯量 12=l2+m2(R+L)2 m,R+m,(R+L) 由转动惯量的可加性,得整个装置对轴O的转动惯量 =l1+l2=m1B2+m2R2+m2(R+L) 三、刚体绕定轴转动的动能定理 1刚体绕定轴转动的转动动能 E=∑ m 2动能定理 由于刚体的大小、形状不变,其上任何两质点间没有相对位移。即 刚体作为一个特殊的质点系,此质点系的动能定理为 A=EK -EK 刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量
三、刚体绕定轴转动的动能定理 1 刚体绕定轴转动的转动动能 2 动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。 刚体作为一个特殊的质点系，此质点系的动能定理为 2 1 A E E e k k = − 2 1 2 2 2 1 1 1 dθ ω ω 2 2 θ M I I = − θ 刚体定轴转动的动能定理 解：已知杆对轴O的转动惯量 R C O L m1 m2 盘对轴C的转动惯量 2 2c 2 1 2 I m R = 由平行轴定理得盘对轴O的转动惯量 2 2 2c 2 I I m R L = + + ( ) 2 2 2 2 1 ( ) 2 = + + m R m R L 由转动惯量的可加性，得整个装置对轴 O 的转动惯量 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ( ) 3 2 I I I m L m R m R L = + = + + + 2 1 1 1 3 I m L = 2 2 2 2 k 1 1 1 2 2 2 i i i i i i E m v m r I = = = 由于刚体的大小、形状不变，其上任何两质点间没有相对位移。即： Ai = 0
