《高职高专物理》第十二章（12.4）不确定关系

512-4不确定关系 经典力学的成功之处在于,若已知初始状态,既可以知道物体的运动规律 如已知t=0时粒子坐标、动量,既可以求任意t时粒子坐标、动量和粒子的运 动轨道。既经典力学给物体的运动状态给出了决定性的规律。 最初人们很自然地用描写宏观粒子的方法(坐标、动量)去描述微观粒子。但 波动性使微观粒子的坐标和动量(或时间和能量)不能同时取确定值。1927年海 森伯首先提出了不确定关系,反映微观粒子的基本规律,是物理学中的重要关系。 、坐标和动量的不确定的关系 1导出 坐标和动量的不确定的关系可以由电子的单缝衍射实验简单导出。 第一极小 P 电子沿Oy向入射缝宽为a的狭缝,电子动量P;当电子通过宽为a的单缝时, 无法准确说出电子的坐标ⅹ是多少,只能说电子在0x轴上的坐标的不确定度 缝前:P=P P= 缝后:电子在屏上出现衍射图形,有一几率分布。出现了x向分动量 若衍射角为O的电子动量为 △P=Psin 对于落在衍射第一极小处的电子 △P≈ P sing 由单缝衍射公式 sinp=±2k 有 A sin 0=-=

1 §12－4 不确定关系 经典力学的成功之处在于，若已知初始状态，既可以知道物体的运动规律。 如已知 t = 0 时粒子坐标、动量，既可以求任意 t 时粒子坐标、动量和粒子的运 动轨道。既经典力学给物体的运动状态给出了决定性的规律。 最初人们很自然地用描写宏观粒子的方法(坐标、动量)去描述微观粒子。但 波动性使微观粒子的坐标和动量(或时间和能量) 不能同时取确定值。1927 年海 森伯首先提出了不确定关系，反映微观粒子的基本规律，是物理学中的重要关系。 一、坐标和动量的不确定的关系 1 导出 坐标和动量的不确定的关系可以由电子的单缝衍射实验简单导出。 电子沿 Oy 向入射缝宽为 a 的狭缝，电子动量 P；当电子通过宽为 a 的单缝时， 无法准确说出电子的坐标 x 是多少，只能说电子在 Ox 轴上的坐标的不确定度 Δx= a 缝前： Py = P ， Px= 0 缝后：电子在屏上出现衍射图形，有一几率分布。出现了 x 向分动量； 若衍射角为  的电子动量为 ΔPx=P sin 对于落在衍射第一极小处的电子 ΔPx  P sin1 ① 由单缝衍射公式 有 P a y px py P  1 x 第一极小 sin 2 2 a k   =  1 sin a x    = = 

又有德布罗意公式 代入①式 h一 AxAp. = h 考虑衍射图样的次级条纹, sin e,=k=k)2 △x△r Ap, =k △x△x △xAp≥h 大部分电子落在中央亮纹范围内,其x方动量在0~ba范围内,例如, 维自由运动粒子,其动量确定,但其坐标完全不确定 更一般的理论给出 4 引入布朗克常量五=2 上面公式写为 h △yAp,22 h 2讨论 1)不确定关系使微观粒子运动失去了“轨道”概念。不确定关系说明微观粒子的 坐标和动量不能同时确定,其根源在于二象性。微观粒子本应用几率概念描述, 不确定关系指明经典力学概念在微观世界的适用程度 2)不确定关系中h的重要性 由于h0,使得不确定关系在微观世界成为一个重要的规律;但h很小,使不 确定关系在宏观世界不能得到直接体现。不确定关系在宏观世界的效果,好象是 微观世界里当h>0时的效果,当h→0时,量子物理→经典物理 二、其他形式的不确定关系

2 又有德布罗意公式 代入①式 考虑衍射图样的次级条纹， 大部分电子落在中央亮纹范围内，其 x 方向动量在 0  h/a 范围内，例如，一 维自由运动粒子，其动量确定，但其坐标完全不确定。 更一般的理论给出 引入布朗克常量 h = 上面公式写为 2 讨论 1)不确定关系使微观粒子运动失去了“轨道”概念。不确定关系说明微观粒子的 坐标和动量不能同时确定，其根源在于二象性。微观粒子本应用几率概念描述， 不确定关系指明经典力学概念在微观世界的适用程度 2)不确定关系中 h 的重要性 由于 h0 ，使得不确定关系在微观世界成为一个重要的规律； 但 h 很小，使不 确定关系在宏观世界不能得到直接体现。不确定关系在宏观世界的效果，好象是 微观世界里当 h→0 时的效果，当 h → 0 时,量子物理→经典物理。 二、其他形式的不确定关系 h p  = x x h p x x p h    =    = sin k k k a x x     = =    x x h h p k x x x p h      =       2 2 2 x y z h x p h y p h z p          4 x h x p     2 h 

1时间与能量的不确定关系 △EM≥h/2 如果测量光子的时间精确到Δt,则测得的光子能量就不确定到△E 若粒子在能量状态E只能停留△t时间,则在这段时间内,粒子的能量状态 并非完全确定。 2能级宽度和能级寿命 设体系状态的寿命为τ,因测量只能在时间范围τ内进行,则测得的能量必有 宽度为厂的不确定程度。满足关系 ·I~h -能级宽度,τ-能级寿命 理论上,计算平均寿命→估计能量的范围 实验上,测量能级宽度→估计不稳态的寿命 三、不确定关系的应用 1用不确定关系作数量级估算 [例1估算被约束粒子的能量。氢原子半径~0.5×10m,求其中电子动能。 解:△x约为0.5×10-m 动量△P=b/(2x·2·△x) =1.05×1024kg·m/ 能量E=p/2m≈6×10°J或4eV 同法可确定,原子核内不可能有电子。 原子核线度~10m,若核内有电子,可算出核内电子动能高达10GeV,这 样大的动能足以击碎原子核,电子不可能得到这么大的能量。电子不能禁锢在核 中。质子、中子在核内的动能只是上面计算值的约百万分之一,可以禁锢在核中。 历史上曾用此法否定了氦原子核是由4个质子和2个电子组成的 2波动性的判据 若P>AP,粒子可看成经典粒子,轨道概念仍可使用,这可看作是否需要考 虑粒子波动性的判据 [例2]威尔逊云室是一个充满过饱和蒸气的容器。射入的高速电子使气体分子 原子电离成离子。以离子为中心过饱和蒸气凝结成小液滴,在强光照射下,可看

3 1 时间与能量的不确定关系 Et ≥h/2 如果测量光子的时间精确到 t，则测得的光子能量就不确定到 E； 若粒子在能量状态 E 只能停留 t 时间，则在这段时间内，粒子的能量状态 并非完全确定。 2 能级宽度和能级寿命 设体系状态的寿命为 ，因测量只能在时间范围  内进行，则测得的能量必有 宽度为  的不确定程度。满足关系    ～h --能级宽度， --能级寿命 理论上，计算平均寿命 → 估计能量的范围 实验上，测量能级宽度 → 估计不稳态的寿命 三、不确定关系的应用 1 用不确定关系作数量级估算 [例 1] 估算被约束粒子的能量。氢原子半径  0.510-10 m，求其中电子动能。 解： x 约为 0.510-10 m 动量 P = h/(2·2·x) = 1.0510-24 kg·m/s 能量 Ek = p 2 /2m  610-9 J 或 4 eV 同法可确定，原子核内不可能有电子。 原子核线度  10-15 m，若核内有电子，可算出核内电子动能高达 10 GeV，这 样大的动能足以击碎原子核，电子不可能得到这么大的能量。电子不能禁锢在核 中。质子、中子在核内的动能只是上面计算值的约百万分之一，可以禁锢在核中。 历史上曾用此法否定了氦原子核是由 4 个质子和 2 个电子组成的。 2 波动性的判据 若 P >>P ，粒子可看成经典粒子，轨道概念仍可使用，这可看作是否需要考 虑粒子波动性的判据。 [例 2] 威尔逊云室是一个充满过饱和蒸气的容器。射入的高速电子使气体分子 原子电离成离子。以离子为中心过饱和蒸气凝结成小液滴，在强光照射下，可看

到一条白亮的带状的痕迹一粒子的径迹。 径迹的线度~10cm,电子位置的不确定程度:△x≈10cm 动量的不确定程度 △P≥-m2△x≈10-kgm/s 云室中的电子动能: E~10°eV, 因此电子动量 P=(2mE)/≈1.8×1072kgm/s 显然p△D,此情形下,坐标和动量基本上可以认为是确定的,可以使用“轨 道”概念。 例12-3一电子具有300ms-的速率,动量的不确范围为动量的0.01%(这也 是足够精确的了),求该电子的位置不确定范围。 解:电子的动量 p=m=91×1031×300kg.ms p=27×10kgms 动量的不确定范围4=001%Xp=27×1032kgm 位置的不确定量范围 h663×10 △x之 4p27×10m=24×102m 例12-4一颗质量为50g的子弹,具有300ms的速率。若其动量的不确定范围 为动量的0.01%(这在宏观范围是十分精确的),求该子弹位置的不确定量范围。 解:子弹的动量 P=m=15kgm·s-1 动量的不确定范围=001%Xp=15×10-kgms 位置的不确定量范围 Ax2b=63×10m=44×10-m

4 到一条白亮的带状的痕迹—粒子的径迹。 径迹的线度～10-4 cm，电子位置的不确定程度： x≈10-4 cm。 动量的不确定程度： Px  h/2x  10-28 kgm/s 云室中的电子动能： Ek～108 eV， 因此电子动量： P = (2m Ek) 1/2  1.810-23 kgm/s 显然 p >> px ，此情形下，坐标和动量基本上可以认为是确定的，可以使用“轨 道”概念。 例 12－3 一电子具有 300ms-1的速率, 动量的不确范围为动量的 0.01% (这也 是足够精确的了) ,求该电子的位置不确定范围。 解： 电子的动量 动量的不确定范围 位置的不确定量范围 例 12-4 一颗质量为 50g 的子弹，具有 300ms-1的速率。若其动量的不确定范围 为动量的 0.01% (这在宏观范围是十分精确的),求该子弹位置的不确定量范围。 解：子弹的动量 动量的不确定范围 位置的不确定量范围 31 1 p m 9.1 10 300kg m s − − = =     v 28 1 p 2.7 10 kg m s − − =    32 1 p p 0.01% 2.7 10 kg m s − −  =  =    34 2 32 6.63 10 m 2.4 10 m 2.7 10 h x p − − −    = =    1 p m 15kg m s− = =   v 3 1 p p 0.01% 1.5 10 kg m s − −  =  =    34 31 3 6.63 10 m 4.4 10 m 1.5 10 h x p − − −    = =   