§95驻波 驻波( (stand ing wave)}:波形不传播,媒质质元的一种集体振动形态。 、驻波的形成 驻波是由两列频率相同、振动方向相同、且振幅相等,但传播方向相反的 行波叠加而成的。 t=0 t=T/8 t=T/4 3T/8 I t= T/h2 驻波的形成 图中红线即驻波的波形曲线。可见,驻波波形原地起伏变化。 即驻波波形不传播 这是“驻”字的第一层含义 驻浪表达式 两列行波的表达式
1 § 9.5 驻波 驻波(standing wave)：波形不传播，媒质质元的一种集体振动形态。 一、驻波的形成 驻波是由两列 频率相同、振动方向相同、且振幅相等，但传播方向相反的 行波叠加而成的。 图中红线即驻波的波形曲线。可见，驻波波形原地起伏变化。 即驻波波形不传播 这是“驻”字的第一层含义。 二、驻波表达式 两列行波的表达式 2 1 x x x x x t = 0 t = T/8 t = T/4 t = 3T/8 t = T/2 o o o o o 驻波的形成
正向 A9s2(Wx-,+) 反向 y3 适当选择坐标原点和时间零点,使φ、四均等于零,则表达式变为 2r(+ x VI= 两行波叠加 y=y,+ y2 得驻波表达式: Acos 2I(VT-)+Acos 2I(vt+ =2Acos2丌cos2丌vt 三、驻浪的特点 1频率特点:由图及式知,各质元以同一频率作简谐振动 振幅特点: (1)各点的振幅2 cos hr和位置x有关,振幅在空间按余弦规律分布 (2)波节:有些点始终静止,这些点称作波节(node)。波节处,由两列波引起的两 振动恰好反相,相互抵消,故波节处静止不动。 由cos2/x=0得波节位置, ±(2k+1 两相邻波节间的距离为λ/2 (3波腹:有些点振幅最大,这些点称作波腹 antinode) 波腹处,由两列波引起的两振动恰好同相,相互加强,故波腹处振幅最大。 由 cos hr=1得波腹位置, ±kk=0,1,…A"N=2A 两相邻波腹间的距离亦为λ/。 3相位特点 驻波波形曲线分为很多“分段”(每段长/2),同一分段中的各质元振动相位相 同:相邻分段中的质元振动相位相反
2 正向 反向 适当选择坐标原点和时间零点，使 1、2 均等于零，则表达式变为 两行波叠加 得驻波表达式： 三、驻波的特点 1 频率特点：由图及式知，各质元以同一频率作简谐振动。 2 振幅特点： (1)各点的振幅|2Acos kx|和位置 x 有关，振幅在空间按余弦规律分布。 (2)波节：有些点始终静止，这些点称作波节(node)。波节处，由两列波引起的两 振动恰好反相，相互抵消，故波节处静止不动。 由 cos 2π/x＝0 得波节位置， 两相邻波节间的距离为 /2。 (3)波腹：有些点振幅最大，这些点称作波腹(antinode)。 波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，相互加强，故波腹处振幅最大。 由|cos kx|＝1 得波腹位置， 两相邻波腹间的距离亦为 /2。 3 相位特点 驻波波形曲线分为很多“分段”(每段长/2)，同一分段中的各质元振动相位相 同；相邻分段中的质元振动相位相反。 (2 1 0,1, 0 ) m 2 im x k k A = + = = 2 2 cos 2π( ) x y A t = − + 2 cos 2π( ) x y A t = + 2 cos 2π cos 2π x A t = 1 2 y y y = +cos 2π( ) cos 2π( ) x x A t A t = − + + 1 cos 2π( ) x y A t = + 1 1 cos 2π( ) x y A t = − + 0,1, 2 max 2 x k k A A = = =
驻波相位不传播 这是“驻”字的第二层含义。 例:x=±2为波节 /21 y= 2Acos 2 T cos 2Ivt cos2π-<0 Acos2πcos2rvt 结论 I 2Ac0s2 T cos(2Ivt+r 相邻波节间的各点同相波节两边的各点振动反相 4能量特点 驻波的能量被“封闭”在相邻波节和波腹间 波腹 波节 /4 的4的范围内,在此范围内有能量的反复 流动,但能量不能越过波腹和波节传播 即:驻波没有单向的能量传输。 能量流动 驻波不传播能量 驻波能量只能在相邻波腹波节间 这是“驻”字的第三层含义。 反复流动 四、弦的振动 由于弦的两端是固定的,所以只要形成驻波,两端必是波节 L=n l,2
3 驻波相位不传播 这是“驻”字的第二层含义。 例： 为波节 结论 相邻波节间的各点同相 ,波节两边的各点振动反相 4 能量特点 驻波的能量被“封闭”在相邻波节和波腹间 的/4 的范围内，在此范围内有能量的反复 流动，但能量不能越过波腹和波节传播。 即：驻波没有单向的能量传输。 驻波不传播能量 这是“驻”字的第三层含义。 四、弦的振动 由于弦的两端是固定的，所以只要形成驻波，两端必是波节。 A A o − 2 2 4 x = 4 4 x − cos 2 π 0 x 2 cos 2 π cos 2π x y A t = 3 4 4 x cos 2 π 0 x 2 cos 2 π cos 2π 2 cos 2 π cos 2π x y A t x A t = − = + （ ） 2 n l n = 1, 2, 2 n u n n l = = · 波腹 波节 /4 能量流动 · 驻波能量只能在相邻波腹波节间 反复流动
1弦的固有频率 在弦上可以形成驻波的振动称为弦的固有振动,它们的频率称为弦的固有频率 (1)基频:当n=1时,频率最低,这一频率称为基频,其对应的波称为基波。 (2)谐频:当n=2,3,…时,频率均为基频的整数倍,称为谐频,它们对应的波 称为谐波 两端固定的弦(有界弦)上的驻波 简正模式:两端固定的弦(如琴弦)在被激励后,其上存在一些特定的振动模称作 简正模式( normal mode)。简正模式弦上只存在一些特定的振动频率,n(基频)、 12(二次谐频)、B(三次谐频) L n=1 =2L(基频) 2v(二次谐频) v=3w(三次谐频 两端固定的弦上的简正模式(前三个) 凡是有边界的振动物体,其上都存在驻波,如振动的鼓皮,被敲响的大钟,及各
4 1 弦的固有频率 在弦上可以形成驻波的振动称为弦的固有振动，它们的频率称为弦的固有频率。 (1)基频：当 n =1 时，频率最低，这一频率称为基频，其对应的波称为基波。 (2)谐频：当 n = 2，3，…时，频率均为基频的整数倍，称为谐频，它们对应的波 称为谐波 两端固定的弦(有界弦)上的驻波 简正模式：两端固定的弦(如琴弦)在被激励后，其上存在一些特定的振动模称作 简正模式(normal mode)。简正模式弦上只存在一些特定的振动频率，1(基频) 、 2(二次谐频)、3(三次谐频)、 凡是有边界的振动物体，其上都存在驻波，如振动的鼓皮，被敲响的大钟，及各 3 3 2 l = 3 3 2 l = 1 2 l = L n = 1 n = 2 n = 3 1 = (基频) 2L 2 = 21 (二次谐频) 3 = 31 (三次谐频) 两端固定的弦上的简正模式(前三个)
种正在发声的乐器等
5 种正在发声的乐器等
