513加速度 平均加速度和瞬时加速度 1平均加速度 定义:设t时刻质点位于P1点,速度为v,t△t时刻质点位于P2点,速度 为v2,于是质点在△t时间内速度增量为△V=V2-V1,我们把速度的增量△v 与其所经历的时间Δt之比,成为质点在这段时间内的平均加速度。表以a 2瞬时加速度 定义:平均加速度的极限矢量称为质点在t时刻的瞬时加速度,简称加速度 即加速度是速度的一阶微分。 Z 单位:SI制m/s2 3直角坐标系中加速度的分量表示式 平均加速度 △ △,△ k 瞬时加速度 dt dt dt
§1.3 加速度 一 平均加速度和瞬时加速度 1 平均加速度 定义： 设 t 时刻质点位于 P1点，速度为 v1，t+Δt 时刻质点位于 P2点，速度 为 v2，于是质点在Δt 时间内速度增量为ΔV= V2－V1，我们把速度的增量ΔV 与其所经历的时间Δt 之比，成为质点在这段时间内的平均加速度。表以 a v a t = 2 瞬时加速度 定义： 平均加速度的极限矢量称为质点在 t 时刻的瞬时加速度，简称加速度。 2 2 0 lim t v dv d r a t dt dt ⎯⎯→ = = = 即加速度是速度的一阶微分。 单位：SI 制 m/s2 3 直角坐标系中加速度的分量表示式 平均加速度 x y z v v v a i j k t t t = + + 瞬时加速度 x y z dv dv dv a i j k dt dt dt = + +
dx dyr.dz dt 加速度在三个坐标轴上的分量分别为 d'x dv, day dv. d2= dt du dt dt dt dt 加速度的大小a= d a+a dt 注意:加速度的大小并不等于速率的时间变化率,后者等于 dIvl +v-+1 平面坐标系中加速度的表示式 do dr dx-d 一 dt dt- d du d dt dt du d2 tan d 二法向加速度和切向加速度 对于曲线运动,常用自然坐标系。以圆周运动为例引入切向加速度和法向加速 度 例:匀速圆周运动法向加速度 (1)加速度的大小v1
2 2 2 2 2 2 dx dy dz i j k dt dt dt = + + 加速度在三个坐标轴上的分量分别为 2 2 2 2 2 2 , , x y z x y z dv d x d y d z dv dv a a a dt dt dt dt dt dt = = = = = = 加速度的大小 2 2 2 x y z 2 2 2 x y z dv dv dv a a a a dt dt dt = + + = + + 注意：加速度的大小并不等于速率 v 的时间变化率，后者等于 2 2 2 x y z d v v v v dt dt + + = 二 法向加速度和切向加速度 对于曲线运动，常用自然坐标系。以圆周运动为例引入切向加速度和法向加速 度。 例：匀速圆周运动法向加速度 （1）加速度的大小 V1 平面坐标系中加速度的表示式： 2 2 2 2 2 2 d d d d d d d d r x y a i j t t t t = = = + 2 2 d d d d x x x a t t = = 2 2 d d d d y y y a t t = = 2 2 x y a a a = + tan y x a a = 0 x y a y a x a o R A B V1 V2 V2 V1 Δv A
a=lim =lim"2 若以A为起点作出v1,v2,则v1,v2和△v=v,-v2组成一个等腰三角形。 1⊥OA,2⊥OB v与v的夹角△0等于O4和OB的夹角△0 v与v和△v组成的等腰三角形与等腰三角形AOB相似 AB R 即:=AB 同除以:="4B y AB AB lir lim 0△ 当△t-0时,弧AB趋近于弦AB,而 AB lim at R :不变,R不变 a的大小是一个常量,不随时间变化。 (2)加速度的方向 B t时刻,质点在A点,其速度矢量v=AD, t△t时刻,质点在B点,其速度矢量v2移到A点,v2=AF 则:△v=DF
若以 A 为起点作出 v1,v2 ，则 v1,v2 和Δv＝v1,－v2 组成一个等腰三角形。 当Δt－0 时，弧 AB 趋近于弦 AB，而 （2）加速度的方向 t 时刻，质点在 A 点，其速度矢量 v1=AD, t+Δt 时刻，质点在 B 点，其速度矢量 v2移到 A 点，v2=AF 则：Δv=DF 1 2 0 0 lim lim t t v v v a → → t t − = = 1 2 1 2 1 2 0 0 0 , : lim lim lim t t t v OA v OB v v OA OB v v v AOB v v AB R v v AB R v v AB t t R t v v AB v AB a t R t R t → → → ⊥ ⊥ = = = 与 的夹角 等于 和 的夹角 与 和 组成的等腰三角形与等腰三角形 相似 即： ＝ 同除以 ＝ ＝ 0 2 limt AB v t v a R v a → = = 不变，R不变 的大小是一个常量，不随时间变化。 A B R O V1 V2 D F
可见,匀速圆周运动的v大小不变,v的方向随时间时刻变化;Δv也是 个矢量,具有大小和方向,且随t和t△t而改变。 AD=AF ∴AADF是等腰三角形,△v是底边,与顶角的角平分线垂直,即△v的 方向指向圆心一边。 又 DE a=lim lim一 △∈0△ 当Δt-0时,∠DAF=△θ也趋于零,△的角平分线趋于A点的切线,DF 的方向趋近于A点的半径指向圆心,因而称 a=lim at 为向心加速度或法向加速度。 结论:匀速圆周运动中,速度的数值恒定不变,只是方向变化,因而“法向加 速度描述速度矢量方向的变化” 例:变速圆周运动的加速度 变速圆周运动中,和v2不相等,将v移到点,得AE AE对应于△时间内速度矢量的增量△ 在AE上取一点F,使AD=AF=V1,将DE分成两个分矢量DF和FEDF段与前 相同,描述速度矢量方向的变化;另一个FE的方向与v2相同,数值等于 =△ a=lim+lim FE R △【→0 r dt a ta
可见，匀速圆周运动的 v 大小不变，v 的方向随时间时刻变化；Δv 也是一 个矢量，具有大小和方向，且随 t 和 t+Δt 而改变。 ∵ AD=AF ∴ ⊿ADF 是等腰三角形，Δv 是底边，与顶角的角平分线垂直，即Δv 的 方向指向圆心一边。 又： 当Δt－0 时，∠DAF＝Δθ也趋于零，Δθ的角平分线趋于 A 点的切线，DF 的方向趋近于 A 点的半径指向圆心，因而称 为向心加速度或法向加速度。 结论：匀速圆周运动中，速度的数值恒定不变，只是方向变化，因而“法向加 速度描述速度矢量方向的变化”。 例：变速圆周运动的加速度 DF 和 FE。DF 段与前 相同，描述速度矢量方向的变化；另一个 FE 的方向与 v2相同，数值等于 0 0 lim lim t t v DF a t t = = 0 lim t DF a t = F E v 1 v 2 v D o 1 2 2 ; . v v v A AE AE t v 变速圆周运动中， 和 不相等，将 移到 点，得 对应于 时间内速度矢量的增量 1 在AE F AD AF v DE 上取一点 ，使 = = ,将 分成两个分矢量 2 1 v v v − = 2 2 lim lim lim t o t o t o n t DF FE a t t v v R t v dv R dt a a → → → = + = + = + = +
描述△t时间内速度矢量数值变化 则: 的方向 当△t-0时,B点趋于A点,V2的方向趋于的方向,因而FE的方向趋于 A点的切线,则a=lmad 表示的是t时刻加速度矢量在切线是的分矢量 是因速度大小变化所引起的加速度,沿切线方向,称为切向加速度。 法向加速度:an=F=OR 1加谏度 切向加速度:a=dU dt a=ata =ae+ 加速度的大小a 2法向加速度和切向加速度的物理意义 (1)法向加速度描述速度方向变化快慢nRa=0 (2)切向加速度描述速度大小变化快慢 匀速圆周运 减速圆周运 问题讨论: a0加速圆周运动 分析抛体运动的加速度。 当a1为正时,切向加速度 沿速度方向,a指向凹侧前方, 当a为负正时,切向加速at 度沿速度反方向,a指向凹侧后 方 加速度的方向恒指向曲线凹的一侧
描述Δt 时间内速度矢量数值变化。 则： t a 的方向： 当Δt－0 时，B 点趋于 A 点，v2 的方向趋于的方向，因而 FE 的方向趋于 A 点的切线，则 0 t lim t FE dv a → t dt = = 表示的是 t 时刻加速度矢量在切线是的分矢量， 是因速度大小变化所引起的加速度，沿切线方向，称为切向加速度。 t n t n n a a a a e a e = + = + 加速度的大小 2 2 t n a a a = + （2）切向加速度描述速度大小变化快慢 问题讨论： 1、 分析抛体运动的加速度。 当 t a 为正时，切向加速度 沿速度方向， a 指向凹侧前方， 当 t a 为负正时，切向加速 度沿速度反方向， a 指向凹侧后 方。 加速度的方向恒指向曲线凹的一侧。 1 加速度 2 2 a R n R 法向加速度： = = 切向加速度： d d a t = 2 法向加速度和切向加速度的物理意义 （1）法向加速度描述速度方向变化快慢 1 an R R a → =n 0 a = 0 匀速圆周运 a 0 动 减 速 圆 周 运 动 a 0 加速圆周运动
2、若a恒为零,质点作直线运动;若a不恒为零,质点作曲线运动;若a恒为 零,质点作匀速率运动;若a不恒为零,质点作变速率运动 例1-3一质点在Ox轴上作直线运动,它的运动方程为x4.5t2-2t3 式中x以m为单位,t以s为单位。求:(1)质点在任意时刻的速度和加速度; (2)质点在2秒末的速度和加速度 解:(1)此质点在O轴上运动,它的速度 dx 加速度0s dn=9-121质点作变加速直线运动 (2)t=2s Ua1=(×26×2)ms=6my ax(2)=(9-12×2)ms2=-15ms2
2、 若 a 恒为零，质点作直线运动；若 a 不恒为零，质点作曲线运动；若 t a 恒为 零，质点作匀速率运动；若 t a 不恒为零，质点作变速率运动； 例1-3 一质点在Ox轴上作直线运动，它的运动方程为x=4.5t 2 -2t 3 式中x以m为单位，t以s为单位。求：(1)质点在任意时刻的速度和加速度； (2)质点在2秒末的速度和加速度。 解:(1)此质点在Ox轴上运动，它的速度 d 2 9 6 d x x t t t = = − 加速度 d 9 12 d x x a t t = = − 质点作变加速直线运动 （2）t = 2s (2) = (9×2-6×2 2 )m·s-1= -6m·s-1 ax(2) = (9-12×2)m·s-2= -15m·s-2 x
例:一质点作曲线运动,其运动方程是 x= Coset Rsinot 求:(1)质点运动的轨迹(2)质点运动的速度(3)加速度 解:(1)质点运动的轨迹为: r =-Rosinct (2 dt U=√u2+u2=Ro 速度的方向:沿圆周的切线方向 du Ro-cosot dt a-a+a,Ro R 加速度的方向:指向圆心。 0
求:（1）质点运动的轨迹（2）质点运动的速度（3）加速度。 2 2 2 x y R + = 解：（1）质点运动的轨迹为： 例：一质点作曲线运动，其运动方程是： x R t = cos y R t = sin R 0 x y d sin t d x x R t = = − （2） d cos t d y y R t = = 2 2 = + = x y R 速度的方向：沿圆周的切线方向 d x 2 cos d a R t x t = = − （3） d x 2 sin d y y a R t t = = − 2 2 2 x y a a a R = + = 加速度的方向：指向圆心。 a 0 = 2 a R n =