§9.2平面简谐波的波动方程 、平面简谐波波动方程 简谐波:如果波源和介质中的各质点都持续地作简谐振动,这种波称为简谐 平面简谐波:波面为平面的简谐波。平面简谐波也称为一维简谐波,其表达 式也称波函数( wave function) 沿+x方向传播的一维简谐波(波速u,振动角频率为ω),假设媒质无吸收(质 元振幅均为A) 波速l 参考点a 任一点p 介质中任 质点(坐标为x)相对其平衡位置的位移(坐标为y) 随时间的变化(x)关系,即 称为波动方程。 设O点处质点的振动方程为 A cos ot 波线上坐标为x的任意点P处质点的振动方程 ye=f(x, t=? 振动从O点传到P点所需的时间为 △t t时刻点P的振动与txa时刻点O的振动状态相同,只是落后了Δt 点P振动方程 yp=Acos o(t--) v 式中 =2πv 称上式为沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
1 § 9.2 平面简谐波的波动方程 一、平面简谐波波动方程 简谐波：如果波源和介质中的各质点都持续地作简谐振动，这种波称为简谐 波。 平面简谐波：波面为平面的简谐波。平面简谐波也称为一维简谐波，其表达 式也称波函数(wave function) 沿+x 方向传播的一维简谐波 (波速 u，振动角频率为)，假设媒质无吸收(质 元振幅均为 A) 介质中任 一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y） 随时间的变化 关系，即 称为波动方程。 设 O 点处质点的振动方程为 波线上坐标为 x 的任意点 P 处质点的振动方程 振动从 O 点传到 P 点所需的时间为 t 时刻点 P 的振动与 t-x/u 时刻点 O 的振动状态相同，只是落后了Δt 点 P 振动方程 式中 称上式为沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程 y x t ( , ) cos y A t O = ( , ) P y f x t = =？ x t u =cos ( ) P x y A t u = − = 2π u = x · · · d o x 参考点 a 任一点 p 波速 u
波方程的其它表示式 y=Acos 2I(Vt- y=AcoS(ot 讨论:(1)如果原点的初相位不为零 设:点O振动方程 yo=Acos [at+ol 则:波动方程为 y=Acoso(t-x)+o y=AcoS[2T(VT-)+I (2)如果平面简谐波沿x轴负方向传播 则P点处质点相位比O点处质点的相位超前 波动方程为 y=AcoS o(t+-)+P y=Acos[2π(vt+)+q] 二、波动方程的物理意义 从几方面讨论 1当x一定时(设x=x0,即考察波线上某一点x)给出x=x0处质点的振动方程 y=y(1) y=Acos[2I(VT-)+o 即x处质元的振动表达式,表示x处的质点在各个不同的时刻位移随时间的变 化情况,由它画出的曲线是x处质元的振动曲线。 2当t一定时(设t=b,即在某一时刻b),给出to时刻各质点的位移y分布情 y=Acos[2π(v0-)+]
2 波方程的其它表示式 讨论：（1）如果原点的初相位不为零 设：点 O 振动方程 则：波动方程为 （2） 如果平面简谐波沿 x 轴负方向传播 则 P 点处质点相位比 O 点处质点的相位超前 波动方程为 二、波动方程的物理意义 由 从几方面讨论 1 当 x 一定时(设 x =x0，即考察波线上某一点 x0) 给出 x =x0 处质点的振动方程 即 x0 处质元的振动表达式，表示 x 处的质点在各个不同的时刻位移随时间的变 化情况，由它画出的曲线是 x0处质元的振动曲线。 2 当 t 一定时(设 t = t0，即在某一时刻 t0)，给出 t= t0 时刻各质点的位移 y 分布情 况 cos 2π( ) x y A t = − y A t O = + cos 0 cos[2π( ) ] x y A t = − + cos[2π( ) ] x y A t = + +0 cos[2π( ) ] x y A t = − + y y t = ( ) y y x = ( ) 0 cos[2π( ) ] x y A t = − + 2 y A t x cos( ) = − 0 cos ( ) x y A t u = − + 0 cos ( ) x y A t u = + + 0 cos ( ) x y A t u = − +
反映L时刻各不同x处质元的 位移状况,即同一时刻x轴上各个质点 离开它们平 衡-2xx位置的位移分布,由它画出的曲线即 时刻的波形曲线 在当x为正时 为负 相位差4=-=(2x2 2 x|=-2(x2-x) 即波若沿x正方向传播,原点右侧各质点的振动相位都落后于原点的相位,x越 大,相位落后越多。故 在波的传播方向上,各质点的振动相位依次落后。 4表达式还反映了波的时间、空间双重周期性 (1)周期T代表了时间周期性 若t=t+T y=Acos o(t-)+o = Acos a(+7)-)+9 Acos oT+o(t-)+o Acos 2T +o(t-=)+o 即t+T时刻的波形与t时刻的波形相同。 由质元运动看:每个质元振动周期为T。 由波形看:t时刻和t+T时刻的波形曲线完全重合。 (2波长代表了空间周期性 若x=A+x y=Acoso(t-3)+o Acos-0-+o(t-=)+ 2 (t--)+φo Acos 2x +o(t-x)+o
3 反映 t0时刻各不同 x 处质元的 位移状况，即同一时刻 x 轴上各个质点 离开它们平 衡 位置的位移分布，由它画出的曲线即 t0 时刻的波形曲线。 3 在当 x 为正时 为负， 相位差 即波若沿 x 正方向传播，原点右侧各质点的振动相位都落后于原点的相位，x 越 大，相位落后越多。故 在波的传播方向上，各质点的振动相位依次落后。 4 表达式还反映了波的时间、空间双重周期性。 (1)周期 T 代表了时间周期性 若 t=t+T, 即 t+T 时刻的波形与 t 时刻的波形相同。 由质元运动看：每个质元振动周期为 T。 由波形看：t 时刻和 t +T 时刻的波形曲线完全重合。 (2)波长代表了空间周期性 若 x=λ＋x 2 x − 2 x − 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 2 2 x x x x = − = − − = − − ( ) 0 0 0 0 cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos 2 ( ) x y A t u x A t T u x A T t u x A t u = − + = + − + = + − + = + − + 0 0 0 0 0 cos ( ) cos ( ) cos ( ) 2 cos ( ) cos 2 ( ) x y A t u x A t u x A t u u x A t T u u x A t u = − + + = − + = − + − + = − + − + = + − +
由质元看:相隔λ的两点振动状态完全相同(同相点)。 由波形看:波形在空间以λ为“周期”分布着。λ称波的“空间周期”。 时间、空间两方面的周期性以相速u联系起来 例8-1超声波清洗器向水中发出的超声波的表达式为 y=10×10co(3×103t-200x)m 试求(1)波的振幅与频率; (2)超声波在水中的波速和波长 (3)距波源为0.20m与0.24m的两质点的相位差。 解:采用比较法,将 cos(2πvt-2兀) 与本题给出的波表达式相比较得 (1)振幅与频率分别为=1.0×10-3m 3×10 HLz=4.78×104Hz 2×3.14 (2)超声波的波长 2×3.14 m= m=3.14×10-2m 200 200 超声波的波速 =v=3.14×10-2×4.78×104m·s-1=1.50×103m·s-1 (3)两质点的相位差 2×3.14 △=2A314×103(0.24-020ad x2处质点的相位比x1处质点的相位落后8rad 例9-2如图所示,一横波在弦上以速度沿x轴正方向传播,已知弦上某点A的 振动方程为 yA=2×10-c0(400)m 9c B DX (1)写出波动方程
4 由质元看：相隔 的两点振动状态完全相同 (同相点)。 由波形看：波形在空间以 为“周期” 分布着。 称波的“空间周期”。 时间、空间两方面的周期性以相速 u 联系起来： 例 8-1 超声波清洗器向水中发出的超声波的表达式为 试求 (1)波的振幅与频率； (2)超声波在水中的波速和波长； (3)距波源为 0.20m 与 0.24m 的两质点的相位差。 解：采用比较法，将 与本题给出的波表达式相比较得 (1)振幅与频率分别为 A=1.0×10-3m (2)超声波的波长 超声波的波速 (3)两质点的相位差 x2 处质点的相位比 x1 处质点的相位落后 8rad 例 9-2 如图所示，一横波在弦上以速度沿 x 轴正方向传播，已知弦上某点 A 的 振动方程为 (1)写出波动方程； 3 5 y t x 1.0 10 cos(3 10 200 )m − = − cos(2π 2π ) x y A t = − 5 3 10 Hz 4.78 10 Hz 4 2 3.14 = = 2π 2 3.14 2 λ m m 3.14 10 m 200 200 − = = = 2 4 1 3 1 3.14 10 4.78 10 m s 1.50 10 m s − − − u = = = 2π x = (0.24 0.20)rad 3.14 10 2 3.14 2 − = − 2 A y t 2 10 cos(400π )m − = x C A B 5c m 9c m o x 8c m u T =
(2)写出B点和C点的振动方程 解:(1)已知,A的振动方程 a80 200 y=O=400H2=200z ==80m=04m 由于波沿x轴正方向传播,坐标原点O的相位比A点的相位超前,它们之 间的相位差 2nOA2丌×5×10 6 04 坐标原点O的振动方程为 400πt+m 波动方程为 y=2×1072cos(400m+x2x x)m 404 =2×10-cos(400+-5x)m (2将x=x=14×10-2m代入波动方程,可得B点的振动方程 ya=2×102cos(400+x-5m×14×103)m 2×10-2cos(400πt T m 同理,将x=x=-8×10-2m代入波动方程,可得C点的振动方程 y=2×10-2cos[400m+-5xx(-8×10-2) yc=2×10-2cos(400+ nt m
5 (2)写出 B 点和 C 点的振动方程。 解：(1) 已知，A 的振动方程 由于波沿 x 轴正方向传播，坐标原点 O 的相位比 A 点的相位超前，它们之 间的相位差 坐标原点 O 的振动方程为 波动方程为 (2)将 代入波动方程，可得 B 点的振动方程 同理，将 代入波动方程，可得 C 点的振动方程 80 m 0.4m 200 u = = = 400π Hz 200Hz 2π 2π = = = 80 m 0.4m 200 u = = = 2 2π 2π 5 10 π 0.4 4 OA − = = = 2 0 π 2 10 cos(400π )m 4 y t − = + 2 π 2π 2 10 cos(400π )m 4 0.4 y t x − = + − 2 π 2 10 cos(400π 5π )m 4 t x − = + − 2 x xB 14 10 m− = = 2 2 π 2 10 cos(400π 5π 14 10 )m 4 B y t − − = + − 2 9 2 10 cos(400π π)m 20 B y t − = − 2 x xC 8 10 m− = = − 2 2 π 2 10 cos[400π 5π ( 8 10 )]m 4 C y t − − = + − − 2 C 13 2 10 cos(400π π)m 20 y t − = +