5114狭义相对论力学 本节开始讨论相对论动力学。在相对论中,能量、动量、角动量等守恒量以 及和守恒量传递相联系的物理量,如力、功等,都面临重新定义的问题。 如何定义? (1)符合“对应原理”:当υ<c时,新定义的物理量转换为经典物理中相应 的量 (2)保持基本守恒定律继续成立 相对论的质量 在相对论中,质量不再是常量,质量与U有关:m=m(U U<<c时,经典力学中的质量m称为静质量( rest mass) 当υ≈c时,物体的质量m称为相对论质量 相对论质量 以粒子的分裂为例讨论质量和速率的关系。 设:S中有一粒子静止于原点o,某时刻粒子分裂为全同的两半A、B, B分别沿x轴的正向和反向运动 由动量守恒:A、B的速率相同,以u表示, 从S中看 分裂前 分裂后 ← B
1 §11.4 狭义相对论力学 本节开始讨论相对论动力学。在相对论中，能量、动量、角动量等守恒量以 及和守恒量传递相联系的物理量，如力、功等，都面临重新定义的问题。 如何定义? (1) 符合“对应原理”： 当 << c 时，新定义的物理量转换为经典物理中相应 的量。 (2) 保持基本守恒定律继续成立 一、相对论的质量 在相对论中，质量不再是常量，质量与有关： m = m() << c 时，经典力学中的质量 m0 称为静质量 (rest mass)； 当≈ c 时，物体的质量 m 称为相对论质量。 1 相对论质量 以粒子的分裂为例讨论质量和速率的关系。 设：S 中有一粒子静止于原点 o ，某时刻粒子分裂为全同的两半 A、B，A、 B 分别沿 x 轴的正向和反向运动。 由动量守恒：A、B 的速率相同，以 u 表示， 从 S中看 分裂前 分裂后 S S -u S S -u -u u A B
S中:设另一S以速率u沿-x'方向运动,分裂前粒子(质量M以u沿x向运动 分裂后A静止(质量以mA表示),B速率U(质量以mB表示) S中看 分裂前 分裂前粒子(质量M以u沿x向运动 分裂后 A=0 mB以沿x向运动 由速度变换(x分量)v+l 日 VB =u S系中:动量守恒 Mu= mA0+ mBUB 质量守恒 M=mA + mB 对孤立系统,其质量守恒。由质能关系ε=mc2,对孤立系统,外界无能量输入, △E=0→△m=0,即质量守恒。 (2)式可写为 (m,+mB)u 1+ 利用(1)式可得
2 S 中：设另一 S 以速率 u 沿 - x 方向运动，分裂前粒子(质量 M)以 u 沿 x 向运动 分裂后 A 静止(质量以 mA 表示)，B 速率B (质量以 mB表示) 。 S 中看 分裂前 分裂前粒子(质量 M)以 u 沿 x 向运动 分裂后 mA＝0 mB以B 沿 x 向运动 由速度变换(x分量) 有 S 系中：动量守恒 Mu = mA 0 + mBB 质量守恒 M = mA + mB （2） (对孤立系统，其质量守恒。由质能关系 =mc2，对孤立系统，外界无能量输入， = 0 m = 0， 即质量守恒。) （2）式可写为 利用（1）式可得 S S u A B B S S u M / / 2 1 x x x v u v v u c + = + ( ) / / 2 / 2 2 1 2 1 1 B B B B B v u v u v c v u u v u c + = + = = + ( ) 2 2 2 1 B A B m u m m u u c + = + 2 2 2 2 1 1 B A u c m m u c + = − 2 2 2 1 1 B B c v u v c = − −
代入上一式消去u可得 S中A静止,mA写作m(静止质量),mB写作m,t写作U 得以速率υ运动的粒子的质量 此即相对论质量 2讨论 1)质量m和物体运动速率U(不是参考系的相对速度u)有关,这是相对论的重要 结论。 2)质量和参考系的选择有关 3)υ增大,m增大。速度越大惯性就越大,越不易改变原来的运动状态。 4)υ>c时,m将为虚数,无意义。c是一切物体速度的极限。 5)对于光子,速度为c,而m又不可能为无限大,所以光子的静止质量m=0 6)如υ≤<c,则m≈m,回到牛顿力学情况,符合“对应原理” 二、相对论动量 相对论仍定义质点的动量为p=mU 相对论的动量 p=m 三、相对论的力学基本方程动量变化率 1相对论的力 力:动量 变化率 2讨论 1)由上式有 dv
3 代入上一式消去 u 可得 S 中 A 静止， mA 写作 m0(静止质量)， mB 写作 m， B 写作 得以速率 运动的粒子的质量 此即相对论质量。 2 讨论 1) 质量 m 和物体运动速率 (不是参考系的相对速度 u)有关，这是相对论的重要 结论。 2）质量和参考系的选择有关。 3) 增大，m 增大。速度越大惯性就越大，越不易改变原来的运动状态。 4) > c 时，m 将为虚数，无意义。c 是一切物体速度的极限。 5) 对于光子，速度为 c ，而 m 又不可能为无限大，所以光子的静止质量 m0 = 0 6) 如 << c ，则 m m0，回到牛顿力学情况，符合“对应原理”。 二、相对论动量 相对论仍定义质点的动量为 p = m 相对论的动量 三、相对论的力学基本方程(动量变化率) 1 相对论的力 力：动量 变化率 2.讨论 1)由上式有 2 1 A B m m v c = − 0 2 1 m m v c = − 0 2 1 m v p mv v c = = − d p dm v F dt dt = = dm v dv dm F m v dt dt dt = = +
说明:力的作用既改变物体的速度,也改变物体的质量 2)若力的持续作用 牛顿定律:力持续作用可使υ→∞ 相对论:随υ增大m增大,a减小,加速困难。当υ→c时,m→∞,有 限的力,无法再继续加速,所以c是速度的极限。 3)U<<c时,回到F=ma 四、相对论能量 1相对论动能( relativistic kinetic energy) 若力F作功使粒子速率由0→U 动能 E 由于i(m)=mdh+i,im=mh+ydm 又由 可得 m2c2-m2v2=m2c2 两边求微分 2mcdm-2mv2dm-2m'ydy=o c-dm=vdm+md 所以有:d(m)=c2m 代入上面求动能的积分式 于是有 E cdm 得相对论动能 Ek= mc2-moc 讨论 ≈1+ 当 有 (-% 差2c2
4 说明：力的作用既改变物体的速度，也改变物体的质量。 2) 若力的持续作用 牛顿定律：力持续作用可使 → 相对论：随 增大 m 增大，a 减小，加速困难。当 → c 时， m → ，有 限的力，无法再继续加速, 所以 c 是速度的极限。 3) << c 时，回到 F = m0a。 四、相对论能量 1 相对论动能(relativistic kinetic energy) 若力 F 作功使粒子速率由 0 → 动能 由于 又由 可得 两边求微分 代入上面求动能的积分式 于是有 得相对论动能 Ek = mc2 - m0c 2 讨论 当 << c 有 m m0 Ek = c 2dm ( ) ( ) 0 v k d E F dl mv dl v d mv dt = = = ( ) 2 v dmv mv dv v vdm mvdv v dm = + = + 0 2 1 m m v c = − 2 2 2 2 2 2 m c m v m c − = 0 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 mc dm mv dm m vdv c dm v dm mvdv d mv c dm − − = = + = 即： 所以有：v ( ) 2 1 2 2 2 2 1 1 1 ...... 2 1 v c v c + + −
于是 Ek=mc2-mocz ov 2静止能量 Eo 静止能量指静止的物体(质心不动)具有的能量。包括物体内各部分的相对运动的 动能、相互作用势能、物体的内能(分子动能、势能)、化学能(使原子结合的 能量)、电磁能(使核和电子结合的能量)、结合能(核子间的结合能)、粒子 间的结合能以及各组成部分(电子、中子、质子等)的静止能,Eo在一定条件下可 转化为其他形式的能量(1905年爱因斯坦就预言)。 3总能 1)质能关系 E= mc2 E=Ek+ moc 质能关系反映了物体的能量和质量的内在的深刻联系。 经典力学中:质量-惯性的度量 能量一运动的度量 相对论中:质、能不可分割即物质和运动不可分割 =mc2为开创原子能时代提供了理论基础,被看作是具有划时代意义的理 论公式,已成为纪念爱因斯坦伟大功绩的标志 4质量亏损( mass deficit) 对孤立系统进行的过程,系统能量守恒,其动能和静止能量之间可相互转化 而保持总能不变。 AE=△Ek+△Eo=0 △Ek=-△Eo=△moc △mo=(Σmo初)-(Σmo*)质量亏损 例热核反应 12H+13H→>24He+on △mo=(mD+mr)-(m+mn)=00311×1027kg 释放能量:△E=△m0c2=2799×1012J
5 于是 2 静止能量 E0 = m0c 2 静止能量指静止的物体(质心不动)具有的能量。包括物体内各部分的相对运动的 动能、相互作用势能、物体的内能（分子动能、势能）、化学能（使原子结合的 能量）、电磁能（使核和电子结合的能量）、结合能（核子间的结合能）、粒子 间的结合能以及各组成部分(电子、中子、质子等)的静止能，E0 在一定条件下可 转化为其他形式的能量(1905 年爱因斯坦就预言)。 3 总能 1）质能关系 E = mc2 E = Ek + m0c 2 质能关系反映了物体的能量和质量的内在的深刻联系。 经典力学中：质量---惯性的度量 能量---运动的度量 相对论中：质、能不可分割即物质和运动不可分割。 E = mc2 为开创原子能时代提供了理论基础，被看作是具有划时代意义的理 论公式，已成为纪念爱因斯坦伟大功绩的标志。 4 质量亏损(mass deficit) 对孤立系统进行的过程，系统能量守恒，其动能和静止能量之间可相互转化 而保持总能不变。 E = Ek + E0 =0 Ek = - E0 =m0c 2 m0 = (m0 初)- (m0 末) 质量亏损 例 热核反应 1 2H +1 3H → 2 4He + 0 1n m0 = (mD +mT) - (mHe+mn) = 0.031110-27 kg 释放能量：E = m0c 2 = 2.79910-12 J Ek = mc2 - m0c 2 2 0 2 0 2 2 0 1 1 2 m c m c v c m v = − − =
五、能量、动量关系 1能量、动量关系 p4+ mo-c E c2p2+E02 E P 2讨论 1)高速情形 E>>m0 E E 2)低速情形 将E=Ek+mc2代入能量动量关系有 Ex2+ 2 Ek moc2=c2p 低速时,忽略Ek2有 moc2 3光子的能量、动量 相对论的能量与动量关系式给出一个重要的结果,就是存在无静质量粒子的 的可能性,这种粒子具有动量和能量,而无静止质量。如光子 静止质量: 总质量: 能量-动量关系 动量: 4意义 6
6 五、能量、动量关系 1 能量、动量关系 E 2 = c 2p 2 + m0 2c 4 = c 2p 2 + E0 2 2 讨论 1) 高速情形 E >> m0 c 2 E cp 2) 低速情形 将 E = Ek + moc 2 代入能量-动量关系有 Ek 2 + 2 Ek moc 2 = c 2p 2 低速时，忽略 Ek 2 有 3 光子的能量、动量 相对论的能量与动量关系式给出一个重要的结果，就是存在无静质量粒子的 的可能性，这种粒子具有动量和能量，而无静止质量。如光子 静止质量： m0 = 0 总质量： 能量--动量关系： E = cp 动量： 4 意义 E cp m0c 2 Ek = p 2 2 mo m = E c 2 p = mc = E c cp E m0 c 2 cp m0 c 2 E Ek
狭义相对论动摇了经典的时空观,确立了斩新的时空观,将牛顿力学中互不 相关的事件和空间结合为一种统一的运动物质的存在形式,更客观、更真实地反 映了自然规律,是研究大尺度引力现象、基本粒子以及过程物理等问题的基础
7 狭义相对论动摇了经典的时空观，确立了斩新的时空观，将牛顿力学中互不 相关的事件和空间结合为一种统一的运动物质的存在形式，更客观、更真实地反 映了自然规律，是研究大尺度引力现象、基本粒子以及过程物理等问题的基础