第三次课:2学时 1题目:512-5波函数及统计解释 §12-6薛定谔方程 2目的: 1.了解波函数及其统计解释。 2.了解薛定谔方程(选讲) 、引入课题 二、讲授新课: 512-5波函数及统计解释 历史上两种典型的看法,很容易把微观粒子看作是经典粒子和经典波的混 合体 “粒子是由波组成的”:把粒子看作是由很多波组成的波包,但波包在媒质 中要扩散、消失(和粒子性矛盾)。 波是由粒子组成的”:认为波是大量粒子组成的;但这和单个粒子就具有 波动性相矛盾。 、波函数和概率浪 统计性把波和粒两个截然不同的经典概念联系了起来 1概率波 德布罗意提出的波的物理意义是什么?他并没有给出明确的回答,只是说它 是虚拟的和非物质的。对光辐射(电磁波),爱因斯坦1917年引入统计性概念 波动观点:光强∝E2 粒子观点:光强∝某处光子数∝某处发现一个光子的概率 ∴E2∝某处发现一个光子的概率 当前得到公认的关于德布罗意波的实质的解释是玻恩在1926年提出的概率 波的概念。玻恩发展了爱因斯坦的思想,保留了粒子的微粒性,认为物质波描述 了粒子在各处被发现的概率。德布罗意波是概率波
1 第三次课： 2 学时 1 题目： §12－5 波函数及统计解释 §12－6 薛定谔方程 2 目的： 1．了解波函数及其统计解释。 2．了解薛定谔方程（选讲）。 一、引入课题： 二、讲授新课： §12－5 波函数及统计解释 历史上两种典型的看法，很容易把微观粒子看作是经典粒子和经典波的混 合体。 “粒子是由波组成的”：把粒子看作是由很多波组成的波包，但波包在媒质 中要扩散、消失(和粒子性矛盾)。 “波是由粒子组成的”：认为波是大量粒子组成的；但这和单个粒子就具有 波动性相矛盾。 一、波函数和概率波 统计性把波和粒两个截然不同的经典概念联系了起来 1 概率波 德布罗意提出的波的物理意义是什么？他并没有给出明确的回答，只是说它 是虚拟的和非物质的。对光辐射(电磁波)，爱因斯坦 1917 年引入统计性概念； 波动观点： 光强 E 2 粒子观点： 光强 某处光子数 某处发现一个光子的概率 E 2 某处发现一个光子的概率 当前得到公认的关于德布罗意波的实质的解释是玻恩在 1926 年提出的概率 波的概念。玻恩发展了爱因斯坦的思想，保留了粒子的微粒性，认为物质波描述 了粒子在各处被发现的概率。德布罗意波是概率波
2波函数( wave function) 为了定量地描述微观粒子的状态,量子力学中引入波函数,并用 y(r,t)或y( 表 薛定谔认为具有波粒二象性的微观粒子,也可以像机械波或电磁波那样用波 函数来描述它的波动性。我们从机械波的波函数出发,写出物质波的波函数 平面机械波的波(方程)函数 y(x, t=Acos 2r(vt--) 将其写成复数形式 r(v-2) y(x, t=Ae 前式是后式的实数部分。 按照德布罗意的物质波假设,一个不受外力作用的自由粒子,它的能量和动 量都不改变,与这样的粒子相关的德布罗意波就是一个单色平面波,则有 将v=E/h和入=b/P代入上式(x1)=Vm 则有 y(x, t=voe 称上式为德布罗意波的波函数,其中为波函数的振幅,又称概率幅 二、波函数的统计意义 1波函数的基本特点 是复函数; y没有直接的物理意义 2玻恩的假定 和“E2∝某处发现一个光子的几率”类似,玻恩假定: y. p 为概率密度,即某时刻、在某单位体积中发现粒子的概率, y称为概率幅( probability amplitude) 则:在t时刻(x,y,z)处dU体积中发现粒子的概率 y du=yy du d
2 2 波函数(wave function) 为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入波函数，并用 ( r, t ) 或 (x, y, z, t) 表示。 薛定谔认为具有波粒二象性的微观粒子，也可以像机械波或电磁波那样用波 函数来描述它的波动性。我们从机械波的波函数出发，写出物质波的波函数。 平面机械波的波（方程）函数 将其写成复数形式 前式是后式的实数部分。 按照德布罗意的物质波假设，一个不受外力作用的自由粒子，它的能量和动 量都不改变，与这样的粒子相关的德布罗意波就是一个单色平面波，则有 将ν＝E/h 和λ＝h/P 代入上式 则有 称上式为德布罗意波的波函数，其中为波函数的振幅，又称概率幅。 二、波函数的统计意义 1 波函数的基本特点 是复函数； 没有直接的物理意义。 2 玻恩的假定 和“ E 2 某处发现一个光子的几率 ”类似，玻恩假定： | | 2 = 为概率密度，即某时刻、在某单位体积中发现粒子的概率。 ：称为概率幅 (probability amplitude) 则：在 t 时刻 (x, y, z ) 处 d 体积中发现粒子的概率 d = | | 2 d = * d 2 d dv = ( , ) cos 2 ( ) x y x t A t = − 2 ( ) ( , ) x i t y x t Ae − − = 2 ( ) 0 ( , ) x i t x t e − − = 2 ( ) 0 ( , ) i Et px h x t e − − =
如果在空间某处|y|2的值越大,粒子出现在某处的概率也越大,由于粒子在整 个空间出现的概率为1,所以 dv=1 称为波函数归一化条件。满足上式的波函数称为归一化波函数。 3物理意义: 1)概率波把波和粒子两种属性统一了起来:波的强度表示粒子出现的概率 2)概率波给出的结果服从统计规律性,它不能预言粒子必然在哪里出现,只能 预言粒子出现的概率 3)概率波波函数和经典波函数的区别 经典波函数:「(1)y可测,有直接物理意义 (2)和cy不同 概率波波函数:厂(1)y不可测,无直接物理意义,|y|2才可测 (2)y和cy描述相同的概率分布,(c是常数)。 4波函数的物理条件 用来描写实物粒子的波函数应满足下列物理条件 1)标准条件 (x)必须单值、有限、连续。因为,粒子的概率在任何地方只能有一个值, 不可能无限大,也不可能在某处发生突变。 2.归一化条件 粒子在空间各点的概率总和应为1 玻恩关于波函数的概率解释是量子力学的基本原理之一(基本假设)。 Max born荣获1954年 Nobel prize 三、用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 1光的双缝衍射实验 光的双缝衍射图样是两条缝分别打开时,单缝衍射图样的相干叠加。 2机枪的双孔实验 子弹对双孔乱射,观察屏上枪眼的强度分布 两孔都打开时的强度分布是两孔分别打开时强度的直接相加
3 如果在空间某处| | 2的值越大，粒子出现在某处的概率也越大，由于粒子在整 个空间出现的概率为 1，所以 称为波函数归一化条件。满足上式的波函数称为归一化波函数。 3 物理意义： 1）概率波把波和粒子两种属性统一了起来：波的强度表示粒子出现的概率。 2）概率波给出的结果服从统计规律性，它不能预言粒子必然在哪里出现，只能 预言粒子出现的概率。 3）概率波波函数和经典波函数的区别 经典波函数: (1) 可测，有直接物理意义 (2) 和 c 不同 概率波波函数： (1) 不可测，无直接物理意义，| | 2才可测； (2) 和 c 描述相同的概率分布，(c 是常数)。 4 波函数的物理条件 用来描写实物粒子的波函数应满足下列物理条件 1）标准条件： (x)必须单值、有限、连续。因为，粒子的概率在任何地方只能有一个值， 不可能无限大，也不可能在某处发生突变。 2.归一化条件 粒子在空间各点的概率总和应为 l 玻恩关于波函数的概率解释是量子力学的基本原理之一(基本假设)。 Max Born 荣获 1954 年 Nobel Prize 三、用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 1 光的双缝衍射实验 光的双缝衍射图样是两条缝分别打开时，单缝衍射图样的相干叠加。 2 机枪的双孔实验 子弹对双孔乱射，观察屏上枪眼的强度分布。 两孔都打开时的强度分布是两孔分别打开时强度的直接相加 2 dv =1
n2=n+h并无干涉现象。 以上即经典波和经典粒子两个截然不同的概念的具体体现。 3电子的双缝衍射实验 单位时间许多电子通过双缝。底片上很快出现双缝衍射图样,说明电子有波 动性,是许多电子在同一个实验中的统计结果。在1961年前,这些实验属“假 想实验”,即在承认电子波动性的前提下,设想电子一定有干涉、衍射现象。 在1961年约恩逊(C. Jonsson)做出电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。 4电子双缝衍射实验分析 减弱电子流的强度,可使电子一个一个(间隔时间很长)地通过双缝,底片上 出现一个一个的点; 开始时底片上的点似无规则分布,随着电子增多,逐渐形成双缝衍射图样, 来源于“一个电子”所具有的波动性,而不是电子间相互作用的结果。若使一个 电子反复多次通过双缝,会出现相同的衍射图样 图片:电子双缝实验 7个电子 100个电子 3000个电子 2000个电子
4 n12 = n1 + n2 并无干涉现象。 以上即经典波和经典粒子两个截然不同的概念的具体体现。 3 电子的双缝衍射实验 单位时间许多电子通过双缝。底片上很快出现双缝衍射图样，说明电子有波 动性，是许多电子在同一个实验中的统计结果。在 1961 年前，这些实验属 “假 想实验”，即 在承认电子波动性的前提下，设想电子一定有干涉、衍射现象。 在 1961 年约恩逊(C.Jonsson)做出电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。 4 电子双缝衍射实验分析 减弱电子流的强度，可使电子一个一个(间隔时间很长)地通过双缝，底片上 出现一个一个的点； 开始时底片上的点似无规则分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样， 来源于“一个电子”所具有的波动性，而不是电子间相互作用的结果。若使一个 电子反复多次通过双缝，会出现相同的衍射图样。 图片：电子双缝实验 3000 个电子 20000 个电子 3000 个 20000个 7 个电子 100 个电子
7000个 思考:怎样理解电子的双缝衍射实验呢? (1)是一个电子的一部分通过一个缝,另一部分通过另一缝,这两部分干涉形成 衍射图样吗? 这和电子的整体性(不可分割性)矛盾 (2)两个缝是否同时打开对衍射图样有影响吗? 双缝同时打开时,概率波预言的是同时存在电子通过两条缝的概率,两条缝 同时起作用,无法预言电子从哪条缝通过。 只开上缝时,电子有一定的概率通过上缝,其状态用Y描述,电子的概率 分布为B=412,(相应于上缝的单缝衍射图样)。 只开下缝时,电子有一定的概率通过下缝,其状态用Y描述,电子的概率 分布为P=Y|2,(相应于下缝的单缝衍射图样) 两缝都开时,电子可通过上缝也可通过下缝,通过上、下缝各有一定的概率 总的概率幅分布Y2=+Y(此时粒子的状态用W+Y描述)。 概率分布Y2|=|Y+y2 概率分布是概率幅叠加而不是概率叠加,其中交叉项产生了干涉效果。 可见,干涉是概率波的干涉,是由于概率幅的线性叠加产生的。即使只有 个电子,当双缝都打开时,它的状态就要用Y2=Y+Y来描述。两部分概率 幅的叠加就会产生干涉。 微观粒子的波动性,实质上就是概率幅的相干叠加性 对经典粒子,则是概率直接叠加
5 思考：怎样理解电子的双缝衍射实验呢? (1)是一个电子的一部分通过一个缝，另一部分通过另一缝，这两部分干涉形成 衍射图样吗？ 这和电子的整体性(不可分割性)矛盾 (2)两个缝是否同时打开对衍射图样有影响吗？ 双缝同时打开时，概率波预言的是同时存在电子通过两条缝的概率，两条缝 同时起作用，无法预言电子从哪条缝通过。 只开上缝时, 电子有一定的概率通过上缝，其状态用 1 描述,电子的概率 分布为 P1 =|1| 2 ，(相应于上缝的单缝衍射图样)。 只开下缝时, 电子有一定的概率通过下缝，其状态用 2 描述,电子的概率 分布为 P2 =|2| 2，(相应于下缝的单缝衍射图样) 两缝都开时，电子可通过上缝也可通过下缝，通过上、下缝各有一定的概率 总的概率幅分布 12 = 1 + 2 (此时粒子的状态用 1 + 2描述)。 概率分布 |12 | 2 = |1 + 2| 2 |1| 2 + |2| 2 概率分布是概率幅叠加而不是概率叠加，其中交叉项产生了干涉效果。 可见，干涉是概率波的干涉，是由于概率幅的线性叠加产生的。即使只有一 个电子，当双缝都打开时, 它的状态就要用12 = 1 + 2 来描述。两部分概率 幅的叠加就会产生干涉。 微观粒子的波动性，实质上就是概率幅的相干叠加性。 对经典粒子，则是概率直接叠加 70000个
(3)是同时通过两条缝的两个电子相互干涉吗? 波动性是单个电子的属性,不是电子间相互作用形成的 爱因斯坦对玻恩假设曾持不同观点,他认为完善的理论不应是统计性的。他 在给玻恩的信中写道,“在任何情况下,我相信,上帝是不掷骰子的”。 (4)对波粒二象性的理解 粒子性:指“原子性”或“整体性”,具有集中的能量E和动量P,不是经 典粒子,抛弃了规定的概念。 波动性:“可叠加性”,“干涉”、“衍射”、“偏振”,具有波长λ,不 是经典波,不代表实在的物理量的波动。 微观粒子在某些条件下表现出粒子性,在另一些条件下表现出波动性,这两 种完全格格不入的性质虽寓于同一体中,却不能同时表现出来
6 (3)是同时通过两条缝的两个电子相互干涉吗？ 波动性是单个电子的属性，不是电子间相互作用形成的。 爱因斯坦对玻恩假设曾持不同观点，他认为完善的理论不应是统计性的。他 在给玻恩的信中写道，“在任何情况下，我相信，上帝是不掷骰子的”。 （4）对波粒二象性的理解 粒子性：指“原子性”或“整体性”，具有集中的能量 E 和动量 P，不是经 典粒子，抛弃了规定的概念。 波动性：“可叠加性”，“干涉”、“衍射”、“偏振”，具有波长 ，不 是经典波，不代表实在的物理量的波动。 微观粒子在某些条件下表现出粒子性，在另一些条件下表现出波动性，这两 种完全格格不入的性质虽寓于同一体中，却不能 同时表现出来