§12速度 一、位移和路程 1位移: 定义:当质点由P1点沿其运动轨迹运动到另一点P2时,矢量P1P2称为质 点的位移。 P1-P2= 亦可用△r表示位移,则有△r=r2-r1 位移的大小|△r|=|r2-r1|1 P(X,Y, Z) 直角坐标系中的位移表示式 位移△r=n2-n在直角坐标系的矢量表示 P2 为 =(x2-x)+(y2-)+(=2-=1)k ∠2== 位移的大小 2-x)2+(2-y)2+(=2-=) 平面坐标系中的位移表示式 △F=△vi+△gy △x=x-x Av= yB-y 2路程|△s|是质点由移到所经过的路程的长度。 问题:位矢与原点是否有关? B 位移与原点是否有关? 路程与位移的大小是否相等? (在直线运动和无限小位移情况下相等|dr=ds) 讨论:位移和路程 (1)RB两点间的路程是不唯一的,而位移是唯一的。 (2)一般情况下,位移的大小不等于路程。 △r|≠As
§1.2 速度 一、位移和路程 1 位移： 定义： 当质点由 P1点沿其运动轨迹运动到另一点 P2时，矢量 P1P2称为质 点的位移。 P1－P2＝r2－r1 亦可用Δr 表示位移，则有 Δr＝r2－r1 位移的大小 ∣Δr∣＝∣r2－r1∣∣ 直角坐标系中的位移表示式 位移Δr＝r2－r1 在直角坐标系的矢量表示 为 = − + − + − r x x i y y j z z k ( 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) 位移的大小 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = − + − + − r x x y y z z 平面坐标系中的位移表示式 2 路程 ∣Δs∣是质点由移到所经过的路程的长度。 问题：位矢与原点是否有关？ 位移与原点是否有关？ 路程与位移的大小是否相等？ （在直线运动和无限小位移情况下相等∣dr∣＝ds） 讨论：位移和路程 （1）P1P2 两点间的路程是不唯一的, 而位移是唯一的。 （2）一般情况下，位移的大小不等于路程。 r xi yj Δ Δ Δ = + Δ B A x x x = − Δ B A y y y = − x y o B B r A r A r A x A y B x B y r s
(3)不改变方向的直线运动中和物体发生无穷小位移,位移的大小等于路程; 4F=△S 微小位移:设△t时间内的位移为△r 无穷小位移:当Δt-0时,△t与dt的差别还渐减小,Δr无穷小,则用dr 代替△r,表示无穷小位移 (D)位移是矢量,路程是标量。 注意:路程△S是A、B间的弧长,是A、B间的弦长,△是质 点从A运动到B位矢的增量。 二、平均速度和平均速率 1平均速度(矢量) 定义:质点在时刻t到廿△t时间内质点的位移△r与其所经历的时间△t之比, 称为质点在这段时间内的平均速度。 意义:近似地描述t时刻质点运动的快慢程度及方向 方向:平均速度的方向与位移的方向相同 2平均速率(标量) 定义:质点在时刻t到t△t时间内质点的 B 路程△s与其所经历的时间△t之比,称为质 r( 点在这段时间内的平均速率。 注意:平均速率并不等于平均速度的大小。 三、瞬时速度瞬时速率 1瞬时速度 定义:平均速度的极限矢量称为质点在t时刻的瞬时速度,简称速度。 t→0时,△r
（3）不改变方向的直线运动中和物体发生无穷小位移，位移的大小等于路程； 微小位移：设Δt 时间内的位移为Δr。 无穷小位移：当Δt―0 时，Δt 与 dt 的差别逐渐减小，Δr―无穷小，则用 dr 代替Δr，表示无穷小位移。 （D）位移是矢量, 路程是标量。 注意：路程Δs 是 A、B 间的弧长， 是 A、B 间的弦长， 是 质 点从 A 运动到 B 位矢的增量。 二、平均速度和平均速率 1 平均速度（矢量） 定义： 质点在时刻 t到 t+Δt时间内质点的位移Δr与其所经历的时间Δt 之比， 称为质点在这段时间内的平均速度。 r v t = 意义： 近似地描述 t 时刻质点运动的快慢程度及方向。 方向： 平均速度的方向与位移的方向相同。 2 平均速率（标量） 定义： 质点在时刻 t 到 t+Δt 时间内质点的 路程Δs 与其所经历的时间Δt 之比，称为质 点在这段时间内的平均速率。 注意：平均速率并不等于平均速度的大小。 三、瞬时速度 瞬时速率 1 瞬时速度： 定义：平均速度的极限矢量称为质点在 t 时刻的瞬时速度，简称速度。 r s = s t = v r r t t ( ) + B rt() A x y o s r r s r t t t r → 0时， r t
Ar dr lim 意义:当 也将趋于0,就趋近于一个极限值,所以使用 无限短时间内平均速度的极限值表示质点在该时刻真实运动的快慢程度。 当→0时,dt与Δt差别逐渐简谱,当Δr无穷小时,可以用函数的微分 代表函数的改变量,即速度是位移的一阶微分。 方向:当质点做曲线运动时,质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切 线指向运动方向 例:求初速为零的匀变速直线运动的速度。 解 求极限 a(t+△t 求微分dx=d lim -at a(2t+ lim △I→0 =a 平面坐标系中的速度表示 矢量式 x k 分量式 dt dt 速度的大小速率) dx 速度的方向 tan a= Vr 讨论:一运动质点在某瞬时位于矢径r的端点处,其速度大小为 dr dt
0 lim t r dr v t dt ⎯⎯→ = = 意义：当 也将趋于 0， 就趋近于一个极限值，所以使用 无限短时间内平均速度的极限值表示质点在该时刻真实运动的快慢程度。 当 时，dt 与Δt 差别逐渐简谐，当Δr 无穷小时，可以用函数的微分 代表函数的改变量，即速度是位移的一阶微分。 方向： 当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切 线指向运动方向。 例：求初速为零的匀变速直线运动的速度。 解： 求极限 求微分 平面坐标系中的速度表示 矢量式 分量式 速度的大小(速率) 速度的方向 讨论：一运动质点在某瞬时位于矢径 r 的端点处，其速度大小为 1 2 2 x at = ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 lim lim t o t o a t t at t a t t t t at → → + − + = = 1 2 2 1 2 2 dx d v at dt dt a t at = = = = t →0 dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt = = + + x dx v dt = y dy v dt = 2 2 2 2 x y v dx dy dt dt = + = + tan y x v v = x y o v y v x v d d r t （A） d d r t （B） d d r t （C） d d 2 2 ( ) ( ) d d x y t t （D） +
2瞬时速率: 定义:平均速率的极限矢量称为质点在t时刻的瞬时速率,简称速率。 △sd li dt 当△t-0时,△F无限接近△s,所以瞬时速率等于瞬时速度的大小,即 例12一质点作直线运动S其炫学方程是x=1+2rt,求质点的 (1)速度公式;(2)速率公式。 解:(1)质点的速度公式 dt tO )上式指出,此质点作变速运动 t>Is vls)
2 瞬时速率： 定义：平均速率的极限矢量称为质点在 t 时刻的瞬时速率，简称速率。 0 lim t s ds v t dt ⎯⎯→ = = 当Δt－0 时， 无限接近Δs，所以瞬时速率等于瞬时速度的大小，即 例1-2 一质点作直线运动，其运动学方程是 x = 1+2t-t ，求质点的 （1）速度公式；（2）速率公式。 解： （1）质点的速度公式 d 2 2 d x x t t = = − （2）上式指出，此质点作变速运动 1s 0 x t 1s 0 x t 质点的速率公式 2 2 ( 1s) 2 2 ( 1s) x x t t t t − = = − r ds dr dt dt =