§8.2简谐振动的特征量 、振幅( amplitude 作简谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值A,称为振幅。振幅恒为正。 M x= Acos(at +o) 全振动: 在SI中,振幅的单位是米,符号为m。 二、周期频率角频率 利用周期、频率、角频率反映振动的快慢 1周期 物体作一次完全振动所需的时间称为周期,用T表示 x=Acos(t+o) Acoso(t +1)+ 周期仅与振动系统本身的物理性质有关 在SI中,周期的单位是秒,符号为s 2率 单位时间内物体所作完全振动的次数,称为频率,用v表示 在SI中,频率的单位是赫兹,符号为Hz。 3角频率 在2秒内物体作完全振动的次数,称为角频率
1 § 8.2 简谐振动的特征量 一、振幅(amplitude) 作简谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值 A，称为振幅。振幅恒为正。 全振动： 在 SI 中，振幅的单位是米，符号为 m。 二、周期 频率 角频率 利用周期、频率、角频率反映振动的快慢 1.周期 物体作一次完全振动所需的时间称为周期，用 T 表示。 周期仅与振动系统本身的物理性质有关 在 SI 中，周期的单位是秒，符号为 s。 2.频率 单位时间内物体所作完全振动的次数，称为频率，用ν表示。 在 SI 中，频率的单位是赫兹，符号为 Hz。 3.角频率 在 2π秒内物体作完全振动的次数，称为角频率。 0 l k x m −A o A x A t = + cos( ) x A t = + cos( ) = + + A t T cos[ ( ) ] 2π 2π m T k = = 1 T 2π = = k m =
角频率的单位是弧度每秒,符号为rads-l。 三、相位和初相 当振幅A和角频率一定时,振动物体在任一时刻相对于平衡位置的位移x 和速度ν决定于量值(a什q)。把量值o什q称为相位 称(ot+g)为t时刻的相位( phase),反映了t时刻的物体的振动状态。 A cos( Rosin(ot +o) 在SI中,相位的单位是弧度,符号为rad 相位与x、V、a的关系 0 π/2 3π/2 2: 0 0 A () 0 04 0 a() oA 0 A 初相位 (initial phase):常量φ是t=0时的相位,称为初相位,简称初相 t=0称时间零点,是开始计时的时刻,不一定是开始运动的时刻。 初相位反映t=0时刻的振动状态(x0,t)。 Xo= AcoS. DO=-QAsing 例8-1试比较简谐振动的位移、速度和加速度之间的相位关系。 设简谐振动的运动学方程为 振动物体的速度则为 (ot+) 振动物体的加速度为 a=u2=-Ao cos(ot+) Ao cos(a 四、常量A和φ的确定
2 角频率的单位是弧度每秒，符号为 rad·s-1。 三、相位和初相 当振幅 A 和角频率一定时，振动物体在任一时刻相对于平衡位置的位移 x 和速度 v 决定于量值( t+)。把量值 t+ 称为相位。 称(t + )为 t 时刻的相位(phase)，反映了 t 时刻的物体的振动状态。 在 SI 中，相位的单位是弧度，符号为 rad。 相位与 x、v、a 的关系 t + 0 /2 3/2 2 x(t) A 0 -A 0 A (t) 0 -A 0 A 0 a(t) - 2A 0 2A 0 - 2A 初相位(initial phase)：常量 是 t = 0 时的相位，称为初相位，简称初相。 t =0 称时间零点，是开始计时的时刻，不一定是开始运动的时刻。 初相位反映 t = 0 时刻的振动状态(x0，0 )。 x0= Acos， 0 = -Asin 例 8-1 试比较简谐振动的位移、速度和加速度之间的相位关系。 解： 设简谐振动的运动学方程为 振动物体的速度则为 振动物体的加速度为 四、常量 A 和 的确定 2 sin( ) cos( ) A t a A t = − + = − + v x A t = + cos( ) x A t = + cos( ) ( ) d sin d x Aω t t = = − + π cos 2 Aω t = + = = −Aω (t +) t x a cos d d 2 2 2 a = Aω cos(t + + ) 2
初始条件t=0x=x。乙=0 xo= Acos Vo=-OAsin A tan=- 注意:对给定振动系统,周期由系统本身性质决定,振幅和初相由初始条件决定 五、简谐振动曲线 取 0=0 x=Acos(ot +o) -A@sin(at +o) T Ao cos(at +o+-) a=-Aa cos(at+o) Ao2cos(ot+q+π) r oAt U>00 a<0<0 0 减速加速减速加速 简谐振动的位移、速度和加速度曲线
3 初始条件 注意：对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定。 五、简谐振动曲线 取 0 0 t x x = = = 0 v v 0 x A = cos 0 v = − Asin2 2 0 0 2 A x = + v 0 0 tan x − = v x A t = + cos( ) = 0 v = − + A t sin( ) 2 = + + A t cos( π) 2 a A t = − + cos( ) π cos( ) 2 = + + A t x、、a o T t x 2A > 0 0 a 0 > 0 减速 加速 减速 加速 A A -A -A -2A a 简谐振动的位移、速度和加速度曲线
例8-2一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.50s。当t=0时,物体的位 移x=-10×10m,速度7=0218ms。求振动方程 已知:T=0.5 x=-10×10-2mwn=02l8msy 求:振动方程 解: T0.5 1o→)2+(0218 4×3.14 )2m=2.0×10-2m 4 x=20×10-c0s(4+π)m 0.218 9=3(舍) tan(=-0= 3 4×3.14×10 则: T 例8-3如图所示,一竖直放置的弹簧振子,其劲度系数为k,物体的质量为m 试证物体的振动是简谐振动,并求其振动周期 2 取弹簧上未放物体时的自由端位置点O为坐标原点,x轴竖 向下 当物体放在弹簧上达到平衡时,弹簧缩短量为b kb 当物体在任一位置x时 d 其动力学方程为 F 令 这相当于把坐标原点改放在平衡位置 则动力学方程为 k d-x 令 O
4 例 8-2 一放置在水平桌面上的弹簧振子，周期为 0.50s。当 t = 0 时，物体的位 移 ,速度 。求振动方程。 已知：T=0.5s 求：振动方程 解： （舍） 则： 例 8-3 如图所示，一竖直放置的弹簧振子，其劲度系数为 k，物体的质量为 m。 试证物体的振动是简谐振动，并求其振动周期。 取弹簧上未放物体时的自由端位置点 O 为坐标原点，x 轴竖 直 向下。 当物体放在弹簧上达到平衡时，弹簧缩短量为 b 当物体在任一位置 x 时 其动力学方程为 令 ，这相当于把坐标原点改放在平衡位置 则动力学方程为 1.0 10 m 2 0 − x = − 1 0 v 0.218m s− = 1.0 10 m 2 0 − x = − 1 0 v 0.218m s− = 2π 2π 1 -1 s 4π s 0.5 ω T − = = = 2 2 2 2 2 0 0 2 0.218 (10 ) ( ) m 4 3.14 v A x ω − = + = + =2.0×10-2m 2 4 2.0 10 cos(4π π)m 3 x t − = + 0 2 0 0.218 tan 1.73 4 3.14 10 v ω x − − = = = 4π 3 = π 3 = F mg kx x = −mg = kb 2 2 d d x m mg kx t = − x o m o b x x x b x − = 2 2 d d x m kx t = − 2 d 2 d x m ω x t = − k 2 ω m 令 = 有 x o m o b x x
此式表明竖直放置的弹簧振子,仍然作简谐振动。 六、简谐振动的描述方法 要熟记典型φ值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。 π几2 3π2 0 0 A Do @4 兀/2 M x 0 = x0=-4 xg=372(或-72) d M 0 0 弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线
5 此式表明竖直放置的弹簧振子，仍然作简谐振动。 六、简谐振动的描述方法 要熟记典型 值所相应的振动情况和振动曲线(如图)。 0 /2 3/2 2 x0 A 0 -A 0 A 0 0 -A 0 A 0 2π 2π m T ω k = = k m = o A -A t x = 0 T (a) A x0 = A x m o o A -A t x = /2 x0 = 0 T (b) x m o 弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线 x o A -A t = x m o -A x0 = -A (c) T o A -A t = 3/2(或 -/2) T x x0 = 0 x m o (d)