§8.3旋转矢量法 、旋转矢量 1矢量的模等于简谐振动的振幅A 长度=A; 2矢量绕O点作逆时针方向匀速转动,其角速度的大小等于简谐振动的角频率 以a为角速度绕o点逆时针旋转; 3在t=0时,矢量A和x轴的夹角为p,在任意时刻t,它与x轴的夹角为 0g,矢量A的矢端M在x轴上的投影点P的坐标为x=Acos(am+g) 矢量端点在x轴上的投影做简谐振动 o A 例已知简谐振动,A=4cm,v=0.5Hz t=s时x=2cm且向x正向运动 写出此简谐振动的表达式。 解:由题意,T=2s t=0 由图,q=π/3, ∴x=4cos(πt+-) r=ls时矢量位置 当旋转矢量A旋转一周,投影点P作一次完全的振动,旋转矢量A的端点在x 轴上的投影点P的运动为简谐振动 例8-4一物体沿x轴作简谐振动,振幅为0.24m,周期为2s。当t=0时,xO 0.12m,且向x轴正方向运动。试求 (1)振动方程 (2)从且向x轴负方向运动这一状态,回到平衡位置所需的时间
1 § 8.3 旋转矢量法 一、旋转矢量 1 矢量的模等于简谐振动的振幅 A 长度 = A； 2 矢量绕 O 点作逆时针方向匀速转动，其角速度的大小等于简谐振动的角频率 以为角速度绕 o 点逆时针旋转； 3 在 t = 0 时，矢量 A 和 x 轴的夹角为 ，在任意时刻 t ，它与 x 轴的夹角为 t+ ，矢量 A 的矢端 M 在 x 轴上的投影点 P 的坐标为 矢量端点在 x 轴上的投影做简谐振动 例 已知简谐振动，A=4 cm， = 0.5 Hz， t =1s 时 x =-2cm 且向 x 正向运动。 写出此简谐振动的表达式。 解：由题意，T = 2 s 由图， = /3， 当旋转矢量 A 旋转一周，投影点 P 作一次完全的振动 ，旋转矢量 A 的端点在 x 轴上的投影点 P 的运动为简谐振动 例 8-4 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 0.24m，周期为 2s。当 t = 0 时，x0 = 0.12m，且向 x 轴正方向运动。试求 （1）振动方程 （2）从且向 x 轴负方向运动这一状态，回到平衡位置所需的时间。 x = 4cos(t + ) cm 3 t = 0 t = 1s x A 时矢量位置 x = Acos(t +) x o A 0 x A t +
已知 A=024mT=2sx=012mws01 (1)x(t)=? (2)1t=? 解:(1)简谐振动的角频率 rad=πrad t=0时旋转矢量的位置如图所示 x=4 振动方程为 x=0.24cos(πt-m (2)令φ0 Mt=0.05s 求 解:简谐振动的角频率 当第一个振子从平衡位置向正方向运动时,其旋转矢量A的位置如图所示 经过0.05s后,旋转矢量A转过一角度
2 已知： 求： 解：（1）简谐振动的角频率 t = 0 时旋转矢量的位置如图所示 振动方程为 （2）令φ < 0 这一状态对应的时刻为 t1；回到平衡位置的时刻为 t2。 t1和 t2时刻的旋转矢量位置，如图所示 例 8-5 两个同方向(沿 x 轴方向)、同频率的简谐振动，其频率都是 2s-1。当第 一个振子从平衡位置向正方向运动 0.05s 后，第二个振子正处于正方向的端点。 求这两个简谐振动的相位差。 已知： 求： 当第一个振子从平衡位置向正方向运动时，其旋转矢量 A1的位置如图所示 经过 0.05s 后，旋转矢量 A1转过一角度 A= 0.24m T = 2s x0 = 0.12m v0 0 （1） x（t）=？ （2） t =？ 2π 2π rad π rad 2 ω T = = = o x 0 2 A x = A π 3 = − o x 0 2 A x = A π 0.24cos(π )m 3 x t = − o x 0 2 A x =− A1 (t t 2 1 − ) A2 ( 2 1 ) π π 5 π 3 2 6 t t − = + = 2 1 5 π 6 Δ s 0.833s π t t t = − = = -1 1 = 2 = 2s 10 10 x = 0, 0 t = 0.05s x2 = A =？ 解： 简谐振动的角频率
Ot=4丌×0.05=02 O=2πv=4πrad 此时,第二个振子刚好处在正方向端点,其旋转 矢量A2 由图可见,两振子的相位差为 0.2汇=0.3 第二个振子比第一个振子的相位超前03x 、相位差 1相位差和初相差 相位差( phase difference)-相位之差。 对两同频率的简谐振动,相位差等于初相差 △q=(at+q2)-(ot+1) 9=2-1 2同相和反相 当△p=±2kπ,(k=0,1,2,…) 当△p=±(2k+1)π,(k=0,1,2,…) 两振动步调相同,称同相 (in-phase)e 两振动步调相反,称反相( antiphase A 同相 A 反相 X1 A 0 A (b)两反相振动的振动曲线 (a)两同相振动的振动曲线
3 此时，第二个振子刚好处在正方向端点，其旋转 矢量 A2 由图可见，两振子的相位差为 第二个振子比第一个振子的相位超前 二、相位差 1 相位差和初相差 相位差(phase difference)---相位之差。 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差， = ( t + 2) - ( t + 1) = 2 - 1 2 同相和反相 当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)， 当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)， 两振动步调相同，称同相(in-phase)。 两振动步调相反，称反相(antiphase)。 ω = = 2π 4π rad ω t = = 4π 0.05 0.2π π 0.2π 0.3π 2 = − = 0.3π o x 1 A A2 x2 T x o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 反相 x o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T t 同相 (a) 两同相振动的振动曲线 (b) 两反相振动的振动曲线
x 3超前和落后 A 若△q=p2-q1>0, 则x2比x较早达到正最大,称x2 比x超前领先x比x落后)。 领先、落后以<π的相位角 (或以<T2的时间间隔)来判断 -4 振动的领先与落后 思考:在上图中,x与x两振动谁超前? 方法:振动曲线的画法:φ为非典型值时,可用超前、落后的概念画出振动曲线。 1)欲画x=Acos(o+)的曲线 2)先画辅助曲线x辅= Acos ot的曲线 3)若q<0,说明x比x落后,将x辅曲线右移即得x的曲线。在横轴上移动的 距离为 辅助曲线 例如,若φ=-π/3,则右移76 T t T/6 待画曲线 振动曲线的画法 三、简谐振动求解 1解析法(由振动表达式) 受力特点:线性恢复力,力和位移正比而反向,具有F=-kx的形式。 简谐振动的动力学方程(以水平弹簧振子为例) 由F=mn=m些及F=kx有简谐振动的振动方程(动力学方程) d d-x +)2x=0
4 3.超前和落后 若 = 2- 1> 0, 则 x2 比 x1 较早达到正最大，称 x2 比 x1 超前领先 x1 比 x2 落后)。 领先、落后以 < 的相位角 (或以< T/2 的时间间隔)来判断。 思考：在上图中，x1 与 x2 两振动谁超前? 方法：振动曲线的画法： 为非典型值时，可用超前、落后的概念画出振动曲线。 1）欲画 x = Acos(t +)的曲线 2）先画辅助曲线 x 辅 = Acos t 的曲线 3）若 < 0，说明 x 比 x 辅落后，将 x 辅曲线右移即得 x 的曲线。在横轴上移动的 距离为 例如，若 = -/3，则右移 T/6 三、简谐振动求解 1 解析法(由振动表达式) 受力特点：线性恢复力，力和位移正比而反向，具有 F = - k x 的形式。 简谐振动的动力学方程(以水平弹簧振子为例) 由 及 F = -kx 有简谐振动的振动方程(动力学方程) x x2 T o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 振动的领先与落后 辅助曲线 x T -A t A T/6 待画曲线 o 振动曲线的画法 2 t T = d 2x d t 2 F = ma = m 2 2 2 0 d x x dt + =
式中 此振动方程的解即简谐振动的表达式。 上方程的解即为简谐振动的运动学方程x=Acos(otq) 已知表达式→求A、T、q 已知A、T、→求表达式 2曲线法(由振动曲线) 已知振动曲线→A、T、g 已知A、7、φ→振动曲线 3旋转矢量法( rotational vector)(可优先选用) 4一些量的求解 1)固有角频率( natural angular frequency): 固有角频率决定于振动系统的内在性质。如弹簧振子的固有角频率决定于振动 系统的弹性和惯性。 弹簧振子: 单摆: 2)由初始条件求振幅和初相 初始条件:t=0时的振动状态(x0、U) 由位移和速度的振动表达式有 xo=Acos U=-Asing 可得 8p=- 由上式定出的o,在0到2π(或一m到π)之间,一般有两个值,需代回上面x或的 式中,以判断取舍
5 式中 此振动方程的解即简谐振动的表达式。 上方程的解即为简谐振动的运动学方程 x=Acos( t+ ) 已知表达式 求 A、T、 已知 A、T、 求表达式 2 曲线法(由振动曲线) 已知振动曲线 A、T、 已知 A、T、 振动曲线 3 旋转矢量法(rotational vector) (可优先选用) 4 一些量的求解 1）固有角频率(natural angular frequency)： 固有角频率决定于振动系统的内在性质。如弹簧振子的固有角频率决定于振动 系统的弹性和惯性。 弹簧振子： 单摆： 2）由初始条件求振幅和初相 初始条件：t = 0 时的振动状态(x0、0) 由位移和速度的振动表达式有 x0 = Acos ；0 = -Asin 可得 由上式定出的，在 0 到 2(或-到)之间，一般有两个值，需代回上面 x0 或0 的 式中， 以判断取舍。 k m = k m = g l = 2 2 0 0 v A x = + 0 0 v tg x = −