《结构设计原理》课程教学资源（教材讲义）第13章 预应力混凝土受弯构件的设计与计算

第13章预应力混凝土受弯构件的设计与计算 13.1概述 预应力混凝土结构由于事先被施加了一个预加力N,使其受力过程具有与普通钢筋混 凝士结构不同的特点，因此在具体设计计算之前，须对各受力阶段进行分析，以便了解其相 应的计算目的、内容与方法。本章介绍的预应力混凝土受弯构件设计与计算方法主要是针对 全预应力混凝士构件和A类部分预应力混凝土构件，B类部分预应力混凝土构件的设计和 计算方法详见第14章。 预应力混凝土受弯构件从预加应力到承受外荷载，直至最后破坏，可分为三个主要阶段， 即施工阶段、使用阶段和破坏阶段。这三个阶段又各包括若干不同的受力过程，现分别叙述 如下。 13.1.1施工阶段 预应力混凝土构件在制作、运输和安装施工中，将承受不同的荷载作用。在这一过程中 构件在预应力作用下，全截面参与工作并处于弹性工作阶段，可采用材料力学的方法并根据 《公路桥规》的要求进行设计计算。计算中应注意采用构件混凝土的实际强度和相应的截面 特性。如后张法构件，在孔道灌浆前应按混凝土净截面计算，孔道灌浆并结硬后则可按换算 面计算。工阶段依构件受力条件不同，又可分为预 ]应力阶段和运输、安装阶段等两个 阶段。 1)预加应力阶段 预加应力阶段系指从预加应力开始，至而加应力结束（即传力错固）为止的受力阶段 构件所承受的作用主要是偏心预压力（即预加应力的合力）:对于简支梁，由于N的偏 心作用，构件将产生向上的反拱，形成以梁两端为支点的简支梁，因此梁的一期恒载（自重 荷载)G也在施加预加力N,的同时一起参加作用（图131）。 G m 目 图13子-1预加应力阶段载面应力分布 本阶段的设计计算要求是：(1)受弯构件控制截面上、下缘混凝土的最大拉应力和压应 力都不应超出《公路桥规》的规定值：(2)控制预应力筋的最大张拉应力：(3)保证错固区 混凝士局部承压承载力大于实际承受的压力并有足够的安全度，且保证梁体不出现水平纵向 裂缝。 由于各种因素的影响，预应力钢筋中的预拉应力将产生部分损失，通常把扣除应力损失 后的预应力筋中实际存余的预应力称为本阶段的有效预应力。。 2)运输、安装阶设 在运输安装阶段，混凝土梁所承受的荷载仍是预加力八，和梁的一期恒载。但由于引起 预应力损失的因素相继增加，使N要比预加应力阶段小：同时梁的一期恒载作用应根据《公 路桥规》的规定计入120或0.85的动力系数。构件在运输中的支点或安装时的吊点位置常 131

13-1 第 13 章 预应力混凝土受弯构件的设计与计算 13.1 概 述 预应力混凝土结构由于事先被施加了一个预加力 Np，使其受力过程具有与普通钢筋混 凝土结构不同的特点，因此在具体设计计算之前，须对各受力阶段进行分析，以便了解其相 应的计算目的、内容与方法。本章介绍的预应力混凝土受弯构件设计与计算方法主要是针对 全预应力混凝土构件和 A 类部分预应力混凝土构件，B 类部分预应力混凝土构件的设计和 计算方法详见第 14 章。 预应力混凝土受弯构件从预加应力到承受外荷载，直至最后破坏，可分为三个主要阶段， 即施工阶段、使用阶段和破坏阶段。这三个阶段又各包括若干不同的受力过程，现分别叙述 如下。 13.1.1 施工阶段 预应力混凝土构件在制作、运输和安装施工中，将承受不同的荷载作用。在这一过程中， 构件在预应力作用下，全截面参与工作并处于弹性工作阶段，可采用材料力学的方法并根据 《公路桥规》的要求进行设计计算。计算中应注意采用构件混凝土的实际强度和相应的截面 特性。如后张法构件，在孔道灌浆前应按混凝土净截面计算，孔道灌浆并结硬后则可按换算 截面计算。施工阶段依构件受力条件不同，又可分为预加应力阶段和运输、安装阶段等两个 阶段。 1）预加应力阶段 预加应力阶段系指从预加应力开始，至预加应力结束（即传力锚固）为止的受力阶段。 构件所承受的作用主要是偏心预压力（即预加应力的合力）Np；对于简支梁，由于 Np 的偏 心作用，构件将产生向上的反拱，形成以梁两端为支点的简支梁，因此梁的一期恒载（自重 荷载）G1 也在施加预加力 Np 的同时一起参加作用（图 13-1）。 G1 Np M  G1 pc pc+ Np G1 G1 MG1 图 13-1 预加应力阶段截面应力分布 本阶段的设计计算要求是：（1）受弯构件控制截面上、下缘混凝土的最大拉应力和压应 力都不应超出《公路桥规》的规定值；（2）控制预应力筋的最大张拉应力；（3）保证锚固区 混凝土局部承压承载力大于实际承受的压力并有足够的安全度，且保证梁体不出现水平纵向 裂缝。 由于各种因素的影响，预应力钢筋中的预拉应力将产生部分损失，通常把扣除应力损失 后的预应力筋中实际存余的预应力称为本阶段的有效预应力  pe 。 2）运输、安装阶段 在运输安装阶段，混凝土梁所承受的荷载仍是预加力 Np 和梁的一期恒载。但由于引起 预应力损失的因素相继增加，使 Np 要比预加应力阶段小；同时梁的一期恒载作用应根据《公 路桥规》的规定计入 1.20 或 0.85 的动力系数。构件在运输中的支点或安装时的吊点位置常

与正常支承点不同，故应按梁起吊时一期恒载作用下的计算图式进行验算，特别需注意验算 构件支点或吊点截面上缘混凝土的拉应力。 13.1.2使用阶段 使用阶段是指桥梁建成营运通车整个工作阶段。构件除承受偏心预加力N和梁的一期 恒载G,外，还要承受桥面铺装、人行道、栏杆等后加的二期恒载G,和车辆、人群等活荷载 Q。试验研究表明，在使用阶段预应力混凝土梁基本处于弹性工作阶段，因此，梁截面的正 应力为偏心预加力N,与以上各项荷载所产生的应力之和（图132）。 a) b d +d m +( 7+月 =(目 图132使用阶段各种作用下的截面应力分布 a)荷载作用下的梁b)预加力N,作用下的应力c)一期载G作用下的应力 d)二期恒载G:作用下的应力©)活载作用下的应力D各种作用所产生的应力之和 本阶段各项预应力损失将相继发生并全部完成，最后在预应力钢筋中建立相对不变的预 拉应力（即扣除全部预应力损失后所存余的预应力）·，这即为水存预应力。显然，水存 预应力要小于施工阶段的有效预应力值。根据构件受力后的特征，本阶段又可分为如下几个 受力过程： +0G+0o o.=ha 图133梁使用及破坏阶段的截面应力图 a)使用荷找作用于梁上b)消压状态的应力©)裂缝即将出现时的截面应力 d)带裂缝工作时载面应力c)裁面破坏时的应力 1)加载至受拉边缘混凝士预压应力为零 构件仅在水存预加力N(即水存预应力。的合力)作用下，其下边缘混凝土的有效 预压应力为。当构件加载至某一特定荷载，其下边缘混凝土的预压应力恰被抵消为 零，此时在控制截面上所产生的弯矩M。称为消压弯矩[图13-3b)],则有 0e-Mo/W。-0 (13-1) 或写成： M。=OxW。 (13-2) 式中O心一一由永存预加力N,引起的梁下边缘混凝土的有效预压应力： 132

13-2 与正常支承点不同，故应按梁起吊时一期恒载作用下的计算图式进行验算，特别需注意验算 构件支点或吊点截面上缘混凝土的拉应力。 13.1.2 使用阶段 使用阶段是指桥梁建成营运通车整个工作阶段。构件除承受偏心预加力 Np 和梁的一期 恒载 G1 外，还要承受桥面铺装、人行道、栏杆等后加的二期恒载 G2 和车辆、人群等活荷载 Q。试验研究表明，在使用阶段预应力混凝土梁基本处于弹性工作阶段，因此，梁截面的正 应力为偏心预加力 Np 与以上各项荷载所产生的应力之和（图 13-2）。 pc G1 G2 Q Np MG1 MG2 MQ M Np pc+G1+G2 +Q G1+ G2 a) Q b) c) d) e) f) 图 13-2 使用阶段各种作用下的截面应力分布 a）荷载作用下的梁 b）预加力 Np作用下的应力 c）一期恒载 G1作用下的应力 d）二期恒载 G2作用下的应力 e）活载作用下的应力 f）各种作用所产生的应力之和 本阶段各项预应力损失将相继发生并全部完成，最后在预应力钢筋中建立相对不变的预 拉应力（即扣除全部预应力损失后所存余的预应力）  pe ，这即为永存预应力。显然，永存 预应力要小于施工阶段的有效预应力值。根据构件受力后的特征，本阶段又可分为如下几个 受力过程： a) M M M M M b) c) d) e) 0 cr 1 u pc+G+Q tk c=0 c= f < pk f p p< pk f f p p< pk f < pk f p= pk 图 13-3 梁使用及破坏阶段的截面应力图 a）使用荷载作用于梁上 b）消压状态的应力 c）裂缝即将出现时的截面应力 d）带裂缝工作时截面应力 e）截面破坏时的应力 1）加载至受拉边缘混凝土预压应力为零 构件仅在永存预加力 Np（即永存预应力  pe 的合力）作用下，其下边缘混凝土的有效 预压应力为  pc 。当构件加载至某一特定荷载，其下边缘混凝土的预压应力  pc 恰被抵消为 零，此时在控制截面上所产生的弯矩 M0 称为消压弯矩[图 13-3b）]，则有： 0 0 0  pc − = M W （13-1） 或写成： M W 0 0 =   pc （13-2） 式中  pc ——由永存预加力 Np 引起的梁下边缘混凝土的有效预压应力；

用。一一换算截面对受拉边的弹性抵抗矩。 一般把在M作用下控制截面上的应力状态，称为消压状态。应当注意，受弯构件在消 压弯矩M。和预加力N,的共同作用下，只有控制截面下边缘纤维的混凝土应力为零（消压）， 而截面上其他点的应力都不为零（并非全截面消压）。 2)加载至受拉区裂缝即将出现 当构件在消压后继续加载，并使受拉区混凝土应力达到抗拉极限强度∫从时的应力状 态，即称为裂缝即将出现状态图13-3)]。构件出现裂缝时的理论临界弯矩称为开裂弯矩 M。。如果把受拉区边缘混凝土应力从零增加到应力为厂所需的外弯矩用M表示，则 Mn为M。与Me之和，即 Mo,=M。+Mo. (13-3) 式中M一一相当于同截面钢筋混凝土梁的开裂弯矩 3)带裂缝工作 继续增大荷载，则主梁截面下缘开始开裂，裂缝向截面上缘发展，梁进入带裂缝工作阶 段图133d)1 可以看出，在消压状态出现后，预应力混凝土梁的受力情况，就如同普通钢筋混凝土梁 一样了。但是由于预应力混凝土梁的开裂弯矩M。要比同截面、同材料的普通钢筋混凝士 柔的开裂弯矩M。大一个消压弯矩M。,故预应力混凝土梁在外荷载作用下裂缝的出现被 大大推迟。 13.1.3破坏阶段 对于只在受拉区配置预应力钢筋且配筋率适当的受弯构件（适筋梁），在荷载作用下， 受拉区全部钢筋（包括预应力钢筋和非预应力钢筋）将先达到屈服强度，裂缝迅速向上延伸， 而后受压区混凝土被压碎，构件即告破坏[图13-3沁)门。破坏时，截面的应力状态与钢筋混 凝土受弯构件相似，其计算方法也基本相同 试验表明，在正常配筋的范围内，预应力混凝土梁的破坏弯矩主要与构件的组成材料 力性能有关，其破坏弯矩值与同条件普通钢筋混凝土梁的破坏弯矩值几乎相同，而是否在受 拉区钢筋中施加预拉应力对梁的破坏弯矩的影响很小。这说明预应力混凝土结构并不能创造 出超越其本身材料强度能力之外的奇迹，而只是大大改善了结构在正常使用阶段的工作性 能。 132预应力混凝士受弯构件承载力计算 预应力混凝土受弯构件持久状况承载力极限状态计算包括正藏面承载力计算和斜藏面 承载力计算，作用效应组合采用基本组合（式2-25）。 13-3

13-3 W0 ——换算截面对受拉边的弹性抵抗矩。 一般把在 M0 作用下控制截面上的应力状态，称为消压状态。应当注意，受弯构件在消 压弯矩 M0 和预加力 Np 的共同作用下，只有控制截面下边缘纤维的混凝土应力为零（消压）， 而截面上其他点的应力都不为零（并非全截面消压）。 2）加载至受拉区裂缝即将出现 当构件在消压后继续加载，并使受拉区混凝土应力达到抗拉极限强度 tk f 时的应力状 态，即称为裂缝即将出现状态[图 13-3c）]。构件出现裂缝时的理论临界弯矩称为开裂弯矩 M cr 。如果把受拉区边缘混凝土应力从零增加到应力为 tk f 所需的外弯矩用 M cr c, 表示，则 M cr 为 M0 与 M cr c, 之和，即 M M M cr cr c = +0 , （13-3） 式中 M cr c, ——相当于同截面钢筋混凝土梁的开裂弯矩。 3）带裂缝工作 继续增大荷载，则主梁截面下缘开始开裂，裂缝向截面上缘发展，梁进入带裂缝工作阶 段[图 13-3d）]。 可以看出，在消压状态出现后，预应力混凝土梁的受力情况，就如同普通钢筋混凝土梁 一样了。但是由于预应力混凝土梁的开裂弯矩 M cr 要比同截面、同材料的普通钢筋混凝土 梁的开裂弯矩 M cr c, 大一个消压弯矩 M0 ，故预应力混凝土梁在外荷载作用下裂缝的出现被 大大推迟。 13.1.3 破坏阶段 对于只在受拉区配置预应力钢筋且配筋率适当的受弯构件（适筋梁），在荷载作用下， 受拉区全部钢筋（包括预应力钢筋和非预应力钢筋）将先达到屈服强度，裂缝迅速向上延伸， 而后受压区混凝土被压碎，构件即告破坏［图 13-3e）］。破坏时，截面的应力状态与钢筋混 凝土受弯构件相似，其计算方法也基本相同。 试验表明，在正常配筋的范围内，预应力混凝土梁的破坏弯矩主要与构件的组成材料受 力性能有关，其破坏弯矩值与同条件普通钢筋混凝土梁的破坏弯矩值几乎相同，而是否在受 拉区钢筋中施加预拉应力对梁的破坏弯矩的影响很小。这说明预应力混凝土结构并不能创造 出超越其本身材料强度能力之外的奇迹，而只是大大改善了结构在正常使用阶段的工作性 能。 13.2 预应力混凝土受弯构件承载力计算 预应力混凝土受弯构件持久状况承载力极限状态计算包括正截面承载力计算和斜截面 承载力计算，作用效应组合采用基本组合（式 2-25）

13.2.1正截面承载力计算 当预应力钢筋的含筋量适当时，预应力混凝土受弯构件正截面破坏形态一般为适筋梁破 坏，正截面承载力计算图式中的受拉区预应力钢筋和非预应力钢筋的应力将分别取其抗拉舜 度设计值∫：和∫：受压区的混凝土应力用等效的矩形应力分布图代替实际的曲线分布图 并取轴心抗压强度设计值∫：受压区非预应力钢筋亦取其抗压强度设计值f:。 1)受压区不配置钢筋的矩形截面受弯构件 对于仅在受拉区配置预应力钢筋和非预应力钢筋而受压区不配钢筋的矩形截面（包括翼 缘位于受拉边的T形截面)受弯构件，正截面抗弯承载力的计算采用图134的计算简图。 图134受压区不配置预应力钢筋的矩形截面受构件正截面承找力计算图 (1)求受压区高度x 由式(134)来求解： (134 式中A,、了一一分别为受拉区纵向非预应力钢筋的截面面积和抗拉强度设计值 A。、∫一一分别为受拉区预应力钢筋的截面面积和抗拉强度设计值： ∫。一一混凝土轴心抗压强度设计值。 为防止出现超筋梁及脆性破坏，预应力混凝土梁的截面受压区高度x应满足《公路桥规》 的规定： X≤h (13-5) 式中5。一一预应力混凝土受弯构件相对界限受压区高度，按表131采用： 么一一截面有效高度：么=h-a: h一一构件全截面高度： Q一一受拉区钢筋A,和A,的合力作用点至受拉区边缘的距离，当不配非预应力受力 钢筋（即A,=0)时，则以a。代替a,a,为受拉区预应力钢筋A,的合力作用 点至截面最近边缘的距离。一般可以不考虑按局部受力需要和按构造要求配 13-4

13-4 13.2.1 正截面承载力计算 当预应力钢筋的含筋量适当时，预应力混凝土受弯构件正截面破坏形态一般为适筋梁破 坏，正截面承载力计算图式中的受拉区预应力钢筋和非预应力钢筋的应力将分别取其抗拉强 度设计值 pd f 和 sd f ；受压区的混凝土应力用等效的矩形应力分布图代替实际的曲线分布图 并取轴心抗压强度设计值 cd f ；受压区非预应力钢筋亦取其抗压强度设计值 sd f  。 1）受压区不配置钢筋的矩形截面受弯构件 对于仅在受拉区配置预应力钢筋和非预应力钢筋而受压区不配钢筋的矩形截面（包括翼 缘位于受拉边的 T 形截面）受弯构件，正截面抗弯承载力的计算采用图 13-4 的计算简图。 fcd bx fcd fpdAp fsd As  0Md h p a a s a x 0 h Ap As b a h x 图 13-4 受压区不配置预应力钢筋的矩形截面受弯构件正截面承载力计算图 （1）求受压区高度 x 由式（13-4）来求解： sd s pd p cd f A f A f bx + = (13-4) 式中 A s 、 sd f ——分别为受拉区纵向非预应力钢筋的截面面积和抗拉强度设计值； A p 、 pd f ——分别为受拉区预应力钢筋的截面面积和抗拉强度设计值； cd f ——混凝土轴心抗压强度设计值。 为防止出现超筋梁及脆性破坏，预应力混凝土梁的截面受压区高度 x 应满足《公路桥规》 的规定： x ≤ b 0  h （13-5） 式中 b  ——预应力混凝土受弯构件相对界限受压区高度，按表 13-1 采用； 0 h ——截面有效高度： h0 = h − a ； h ——构件全截面高度； a——受拉区钢筋 A s 和 A p 的合力作用点至受拉区边缘的距离，当不配非预应力受力 钢筋（即 A s =0）时，则以 p a 代替 a ， p a 为受拉区预应力钢筋 A p 的合力作用 点至截面最近边缘的距离。一般可以不考虑按局部受力需要和按构造要求配

置的纵向非预应力钢筋截面面积。 预应力混凝土梁相对界限受压区高度 表13-1 一对界限受压区高度 54 钢 土致度级 C50 C55.C60 C65.C70C75.C80 钢饺线、钢丝 a.40 0.38 0.36 0.35 精轧螺纹钢筋 040 0.38 0.36 注：(1)面受拉区内配置不种类钢筋的受构件。其植吃选用相皮于各特锅筋的软小者 (2)气=，，,为纵向受拉筋和受压区裙凝士树时达到其张度设计值时的受压区高度。 表13-1中采用的钢丝和钢绞线为预应力钢筋时相对界限受压区高度5，(x/h)按下式 计算确定： B 5= 1+002+/u-02 (13-6) Ecw EoEp 式中B一一受压区矩形应力块高度x与中和轴高度（实际受压区高度）x,之比值，它随混 凝土强度等级的提高而降低，《公路桥规》中规定的取值详见表31： 一一受拉区纵向预应力钢筋重心处混凝土预压应力为零时的预应力钢筋的应力： ￡一一受压边缘混凝士的极限压应变，《公路桥规》中规定的取值详见表3-1。 (2)正截面承载力计算 求得截面受压区高度x值后，可得正截面抗弯承载力并应满足： M,≤M,=bh- (13-7) 式中M,为弯矩组合设计值，。为桥梁结构重要性系数，按表23取值：其余符号意义与式 (13-4)相同。 2)受压区配置预应力钢筋和非预应力钢筋的矩形截面受弯构件 受压区配置预应力钢筋的矩形被面（包括翼缘位于受拉边的T形截面）构件，抗弯承 载力的计算与普通钢筋混凝士双筋矩形截面构件的抗弯承载力计算相似。 预应力混凝土梁破坏时，受压区预应力钢筋A,的应力可能是拉应力，也可能是压应力， 因而将其应力称为计算应力σ加。当0为压应力时，其值也较小，一般达不到钢筋，的 抗压设计强度f=￡。·E。=0.002E。o%值主要决定于中预应力的大小。 13-5

13-5 置的纵向非预应力钢筋截面面积。 预应力混凝土梁相对界限受压区高度  b 表 13-1 b  C50 C55、C60 C65、C70 C75、C80 钢绞线、钢丝 0.40 0.38 0.36 0.35 精轧螺纹钢筋 0.40 0.38 0.36 — 注：（1）截面受拉区内配置不同种类钢筋的受弯构件，其 b  值应选用相应于各种钢筋的较小者； （2） b b 0  = x h ， b x 为纵向受拉钢筋和受压区混凝土同时达到其强度设计值时的受压区高度。 表 13-1 中采用的钢丝和钢绞线为预应力钢筋时相对界限受压区高度 0 ( ) b b  x h 按下式 计算确定： 0.002 0 1 b pd p cu cu p f E      = − + + （13-6） 式中  ——受压区矩形应力块高度 x 与中和轴高度（实际受压区高度） 0 x 之比值，它随混 凝土强度等级的提高而降低，《公路桥规》中规定的取值详见表 3-1；  p0 ——受拉区纵向预应力钢筋重心处混凝土预压应力为零时的预应力钢筋的应力； cu  ——受压边缘混凝土的极限压应变，《公路桥规》中规定的取值详见表 3-1。 （2）正截面承载力计算 求得截面受压区高度 x 值后，可得正截面抗弯承载力并应满足： 0 0 ( ) 2 d u cd x  M M f bx h  = − （13-7） 式中 Md 为弯矩组合设计值， 0  为桥梁结构重要性系数，按表 2-3 取值；其余符号意义与式 （13-4）相同。 2）受压区配置预应力钢筋和非预应力钢筋的矩形截面受弯构件 受压区配置预应力钢筋的矩形截面（包括翼缘位于受拉边的 T 形截面）构件，抗弯承 载力的计算与普通钢筋混凝土双筋矩形截面构件的抗弯承载力计算相似。 预应力混凝土梁破坏时，受压区预应力钢筋 A p  的应力可能是拉应力，也可能是压应力， 因而将其应力称为计算应力  pa  。当  pa  为压应力时，其值也较小，一般达不到钢筋 A p  的 抗压设计强度 pd f  = 0.002  c p p  = E E   。 pa  值主要决定于 A p  中预应力的大小。 相 对 界 限 受 压 区 高 度 混 凝 土 强 度 等 级 钢 筋 种 类

构件在承受外荷载前，钢筋龙中己存在有效预拉应力σ。（扣除全部预应力损失），钢 筋，重心水平处的混凝土有效预压应力为σ，相应的混凝土压应变为σ/E。:在构件破 坏时，受压区混凝土应力为∫。，相应的压应变增加至￡。因此构件从开始受荷载作用到破 坏的过程中，心，重心水平处的混凝土压应变增量也即钢筋A的压应变增量为 （6。一o/E。),也相当于在钢筋A中增加了一个压应力E,(￡。一o/E),将此与A中 的预拉应力σ。相叠加可求得o。设压应力为正号，拉应力为负号，则有： om=E(6。-o/E)-o。=fa-0&-op (13-8) 或写成： o%=f-(0+oD=f-o0 (13-9) 式中·。一钢筋4，当其重心水平处混凝土应力为零时的有效预应力（扣除不包括混凝士 弹性压缩在内的全部预应力损失)：对先张法构件，心=om一+o4: 对后张法构件，O0=0-o+,0x,此处，om为受压区预应力钢 筋的控制应力：σ为受压区预应力钢筋的全部预应力损失（预应力损失的 计算详见133节)：σ4为先张法构件受压区弹性压缩损失：σx为受压区 预应力钢筋重心处由预应力产生的混凝土法向压应力： 一一受压区预应力钢筋与混凝土的弹性模量之比。 由上可知，建立式(138)的前提条件是构件破坏时，A重心处混凝土应变达到 8.=0.002. 在明确了破坏阶段各项应力值后，则可得到计算简图（图13-5），仿照普通钢筋混凝士 双筋截面受弯构件，由静力平衡方程可计算预应力混凝土受弯构件正截面承载力， 1b1 13-6

13-6 构件在承受外荷载前，钢筋 A p  中已存在有效预拉应力  p  （扣除全部预应力损失），钢 筋 A p  重心水平处的混凝土有效预压应力为  c  ，相应的混凝土压应变为  c c  E ；在构件破 坏时，受压区混凝土应力为 cd f ，相应的压应变增加至 c  。因此构件从开始受荷载作用到破 坏的过程中 ， A p  重心水平处的混 凝土压应 变增量 也即钢筋 A p  的压应变 增量为 （  c c c －  E ），也相当于在钢筋 A p  中增加了一个压应力 E E p c c c （    － ） ，将此与 A p  中 的预拉应力  p  相叠加可求得  pa  。设压应力为正号，拉应力为负号，则有： ( )                pa p c c c p pd Ep c p = − − = − − E E f （13-8） 或写成： pa pd Ep c p pd p0             = − + f f （ ）＝ － （13-9） 式中  p0  ——钢筋 A p  当其重心水平处混凝土应力为零时的有效预应力（扣除不包括混凝土 弹性压缩在内的全部预应力损失）；对先张法构件，     p con l l 0 4     = − + ； 对后张法构件，      p con l Ep pc 0      = − + ，此处，  con  为受压区预应力钢 筋的控制应力；  l  为受压区预应力钢筋的全部预应力损失（预应力损失的 计算详见 13.3 节）；  l 4  为先张法构件受压区弹性压缩损失；  pc  为受压区 预应力钢筋重心处由预应力产生的混凝土法向压应力； Ep  ——受压区预应力钢筋与混凝土的弹性模量之比。 由上可知，建立式（13-8）的前提条件是构件破坏时， A p  重心处混凝土应变达到 0.002 c  = 。 在明确了破坏阶段各项应力值后，则可得到计算简图（图 13-5），仿照普通钢筋混凝土 双筋截面受弯构件，由静力平衡方程可计算预应力混凝土受弯构件正截面承载力。 fcd fsd As fpdAp fcd bx fpd' ' A'p fsd A's ' a's a' a'p h ap a as x x h 0Md  A's ( ) −po As Ap b a x 0 h A'p

图135受压区配置预应力钢筋的矩形截面受弯构件正截面承找力计算图 (1)求受压区高度： 由式(13-10)来求解： fa A,+fpAp foubx+f+(fh -Gpo)Ap (13-10) 式中的和∫：分别为受压区预应力钢筋的截面面积和抗压强度设计值，其余符号意 义同前 计算所得的受压区高度x,也应满足《公路桥规》的规定： x≤5h (13-11) 当受压区预应力钢筋受压，即（一O0)>0时，应满足： x≥2a (13-12a) 当受压区预应力钢筋受拉，即（∫一o0)<0时，应满足： x≥2a (13-12b) 式中一一受压区钢筋（和的合力作用点至截面最近边缘的距离：当预应力钢筋A, 中的应力为拉应力时，则以d,代替d: d。一一钢筋，的合力作用点至截面最近边缘的距离。 其余符号意义同前。 为防止构件的脆性破坏，必须满足条件式(13-1)，而条件式(13-12)则是为了保证 在构件破坏时，钢筋A的应力达到∫：同时也是保证前述式(13-8)或式(139)成立的 必要条件 (2)正截面承载力计算 由式(1310)求得截面受压区高度x后，可得到正截面抗弯承载力并应满足： YoMsfabx((h-)+f4(h-a)+(f-o0)4(h-a)(13-13) 由承载力计算式可以看出，构件的承载力与受拉区钢筋是否施加预应力无关，但对受压 区钢筋A,施加预应力后，式(13-13)等号右边末项的钢筋应力∫下降为o。(或为拉应 力)，将比筋不加预应力时的构件承载力有所降低，同时，使用阶段的抗裂性也有所降低。 因此，只有在受压区确有需要设置预应力钢筋A时，才予以设置。 3)T形截面受弯构件 同普通钢筋混凝土梁一样，先按下列条件判断属于哪一类T形截面（图13-6） 截面复核时：fa4,+f4,≤fbh+faA+(fa-o)A。(13-14) 13-7

13-7 图 13-5 受压区配置预应力钢筋的矩形截面受弯构件正截面承载力计算图 （1）求受压区高度 x 由式（13-10）来求解： 0 ( ) sd s pd p cd sd s pd p p f A f A f bx f A f A + = + + −       (13-10) 式中的 A p  和 pd f  分别为受压区预应力钢筋的截面面积和抗压强度设计值，其余符号意 义同前。 计算所得的受压区高度 x，也应满足《公路桥规》的规定： x ≤ b 0  h （13-11） 当受压区预应力钢筋受压，即 0 ( ) 0 pd p f   －  时，应满足： x ≥ 2a （13-12a） 当受压区预应力钢筋受拉，即 0 ( ) 0 pd p f   －  时，应满足： x ≥ 2 s a （13-12b） 式中 a ——受压区钢筋 A s  和 A p  的合力作用点至截面最近边缘的距离；当预应力钢筋 A p  中的应力为拉应力时，则以 s a 代替 a ； p a ——钢筋 A p  的合力作用点至截面最近边缘的距离。 其余符号意义同前。 为防止构件的脆性破坏，必须满足条件式（13-11），而条件式（13-12）则是为了保证 在构件破坏时，钢筋 A s  的应力达到 sd f  ；同时也是保证前述式（13-8）或式（13-9）成立的 必要条件。 （2）正截面承载力计算 由式（13-10）求得截面受压区高度 x 后，可得到正截面抗弯承载力并应满足： 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 d cd sd s s pd p p p x   M f bx h f A h a f A h a  − + − + − −        （13-13） 由承载力计算式可以看出，构件的承载力与受拉区钢筋是否施加预应力无关，但对受压 区钢筋 A p  施加预应力后，式（13-13）等号右边末项的钢筋应力 pd f  下降为  pa  （或为拉应 力），将比 A p  筋不加预应力时的构件承载力有所降低，同时，使用阶段的抗裂性也有所降低。 因此，只有在受压区确有需要设置预应力钢筋 A p  时，才予以设置。 3）T 形截面受弯构件 同普通钢筋混凝土梁一样，先按下列条件判断属于哪一类 T 形截面（图 13-6） 截面复核时： sd s pd Ap f A + f ≤ ' ' ' ' ' ' ' ( ) cd f f sd s pd po Ap f b h + f A + f − （13-14）

截面设计时： YoM4≤fbh,(h-出，/2)+f(h-)+(f-o)A(h-a) (13.15) 当符合上述条件时为第一类T形截面（中和轴在翼缘内），可按宽度为b的矩形截面计 算[图13-6a)]。 a) ☑ 图13-6T形截面预应力梁受鸢构件中和轴位置图 a)中和轴位于翼缘内b)中和轴位于梁肋 当不符合上述条件时，表明中性轴通过梁肋，为第二类T形截面，计算时需考虑梁肋 受压区混凝土的工作[图13-6b小，计算公式为 (1)求受压区高度x ∫aA,+∫aA。=fbx+(6-b)h]+fuA+(fa-oo)A。(I3-16 (2)承载力计算 YoMa s fa[bx(ho-x/2)+(b;-b)hi;(ho-hi /2)] +fa4(h-a)+(-om)4(-a。)(13-17) 适用条件与矩形截面一样。计算步骤与非预应力混凝土梁类似。 以上公式也适用于工字形截面、门形截面等情况。 13.2.2斜截面承载力计算 1)斜截面抗剪承载力计算 对配置箍筋和弯起预应力钢筋的矩形、T形和I形截面的预应力混凝土受弯构件，斜截 面抗剪承载力计算的基本表达式为 o'a≤'+'b (13-18 式中'：一一斜截面受压端正截面上由作用（或荷载）产生的最大剪力组合设计值(kN): V。一一斜截面内混凝土和箍筋共同的抗剪承载力设计值(kN): '。一一与斜截面相交的预应力弯起钢筋抗剪承载力设计值(kN)。 对预应力混凝土连续梁等超静定结构，作用（或荷载）效应取'。=YS+7S。,并考 138

13-8 截面设计时： 0 0 0 0 0 ( 2) ( ) ( ) ( ) M f b h h h f A h a f A h a d cd f f f sd s s pd p p p    − + − + − −           （13-15） 当符合上述条件时为第一类 T 形截面（中和轴在翼缘内），可按宽度为 f b 的矩形截面计 算［图 13-6a）］。 a) b) f p a s a p a s a b a h b' 0 h x A'p A's Ap As a's a'p h' f As b Ap A'p A's b'f x h0 h a f h' p a' s a' 图 13-6 T 形截面预应力梁受弯构件中和轴位置图 a）中和轴位于翼缘内 b）中和轴位于梁肋 当不符合上述条件时，表明中性轴通过梁肋，为第二类 T 形截面，计算时需考虑梁肋 受压区混凝土的工作[图 13-6b)]，计算公式为 （1）求受压区高度 x sd s pd Ap f A + f ＝ ' ' ' ' ' ' ' [ ( ) ] ( ) cd f f sd s pd po p f bx b b h f A f A + − + + − (13-16) （2）承载力计算 0 0 0 [ ( 2) ( ) ( 2)] M f bx h x b b h h h d cd f f f   − + − −    0 0 0 ( ) ( ) ( ) sd s s pd p p p + − + − − f A h a f A h a         (13-17) 适用条件与矩形截面一样。计算步骤与非预应力混凝土梁类似。 以上公式也适用于工字形截面、冂形截面等情况。 13.2.2 斜截面承载力计算 1）斜截面抗剪承载力计算 对配置箍筋和弯起预应力钢筋的矩形、T 形和 I 形截面的预应力混凝土受弯构件，斜截 面抗剪承载力计算的基本表达式为 0Vd  ≤ Vcs +Vpb （13-18） 式中 Vd ——斜截面受压端正截面上由作用（或荷载）产生的最大剪力组合设计值（kN）； Vcs ——斜截面内混凝土和箍筋共同的抗剪承载力设计值（kN）； Vpb ——与斜截面相交的预应力弯起钢筋抗剪承载力设计值（kN）。 对预应力混凝土连续梁等超静定结构，作用（或荷载）效应取 V S S d p p 0 = +   ，并考

虑由预应力引起的次剪力V。,:其中S为作用（或荷载）效应（汽车荷载计入冲击系数）的 组合设计值，S,为预应力（扣除全部预应力损失）引起的次效应：y。为预应力的荷载分项 系数，当预应力效应对结构有利时，取y。=0.9:对结构不利时，取y。=1.2: 对于箱形截面受弯构件的斜截面抗剪承载力的验算，也可参照式(138)进行。式 (1318)右边为受弯构件斜截面上各项抗剪承载力设计值之和，以下逐一介绍各项抗剪承 载力的计算方法。 (1)斜藏面内混凝士和箍筋共同的抗剪承载力设计值('。) 构件的预应力能够阴滞斜裂缝的发生和发展，使混凝士的前压风高度增大，从而提高了 混凝土所承担的抗剪能力：预应力混凝土梁的斜裂缝长度比钢筋混凝土柔有所增长进而增加 了斜裂缝内箍筋的抗剪作用：对于带翼缘的预应力混凝土梁（如T形梁），由于受压翼缘的 存在，也提高了梁的抗剪承载力。连续梁斜截面抗剪的试验表明，连续梁靠近边支点梁段， 其混凝土和箍筋共同抗剪的性质与简支梁相同，斜截面抗剪承载力可按简支梁的规定计算， 连续梁靠近中间支点梁段，则有异号弯矩的影响，抗剪承载力有所降低。综合以上因素，《公 路桥规》采用的斜截面内混凝土和箍筋共同的抗剪承载力('。)的计算公式为 V=ada 0.45x10bh(2+0.6p)fp (KN) (13-19) 式中凸，—预应力提高系数。对预应力混凝士受弯构件，=125，但当由钢筋合力引志 的截面弯矩与外弯矩的方向相同时，或允许出现裂缝的预应力混凝土受弯构 件，取42=1.0： p一一斜截面内纵向受拉钢筋的计算配筋率。p=100p,p=(4n+A+A)/bM。: 当p>2.5时，取p=2.5: 式中其他符号的意义详见式(45)。 式中的p为斜截面内箍筋配筋率，P=A/sb。在实际工程中，预应力混凝土箱梁 也有采用腹板内设置竖向预应力钢筋（箍筋）的情况，这时P,应换为竖向预应力钢筋（箱 筋)的配筋率Pm:S,为斜截面内竖向预应力钢筋（籍筋）的间距(mm):厂，为为竖向预 应力钢筋（箍筋）抗拉强度设计值：A,为斜截面内配置在同一截面的竖向预应力钢筋（箍 筋)截面面积。 (2)预应力弯起钢筋的抗剪承载力设计值(，。) 预应力弯起钢筋的斜截面抗剪承载力计算按以下公式进行： '=0.75x103fm∑Asim0。(kN) (13-20) 式中日，一一预应力弯起钢筋（在斜截面受压端正截面处）的切线与水平线的夹角： Ap一一斜截面内在同一弯起平面的预应力弯起钢筋的截面面积(mm): 一预应力钢筋抗拉强度设计值： 预应力混凝土受弯构件抗剪承载力计算，所需满足的公式上、下限值与普通钢筋混凝土 13-9

13-9 虑由预应力引起的次剪力 Vp2 ；其中 S 为作用（或荷载）效应（汽车荷载计入冲击系数）的 组合设计值， p S 为预应力（扣除全部预应力损失）引起的次效应； p  为预应力的荷载分项 系数，当预应力效应对结构有利时，取 p  ＝0.9；对结构不利时，取 p  ＝1.2； 对于箱形截面受弯构件的斜截面抗剪承载力的验算，也可参照式（13-18）进行。式 （13-18）右边为受弯构件斜截面上各项抗剪承载力设计值之和，以下逐一介绍各项抗剪承 载力的计算方法。 （1）斜截面内混凝土和箍筋共同的抗剪承载力设计值（ Vcs ） 构件的预应力能够阻滞斜裂缝的发生和发展，使混凝土的剪压区高度增大，从而提高了 混凝土所承担的抗剪能力；预应力混凝土梁的斜裂缝长度比钢筋混凝土梁有所增长进而增加 了斜裂缝内箍筋的抗剪作用；对于带翼缘的预应力混凝土梁（如 T 形梁），由于受压翼缘的 存在，也提高了梁的抗剪承载力。连续梁斜截面抗剪的试验表明，连续梁靠近边支点梁段， 其混凝土和箍筋共同抗剪的性质与简支梁相同，斜截面抗剪承载力可按简支梁的规定计算， 连续梁靠近中间支点梁段，则有异号弯矩的影响，抗剪承载力有所降低。综合以上因素，《公 路桥规》采用的斜截面内混凝土和箍筋共同的抗剪承载力（ Vcs ）的计算公式为 3 1 2 3 0 , 0.45 10 (2 0.6 ) V bh p f f cs cu k sv sv     − =  + （kN） （13-19） 式中 2 ——预应力提高系数。对预应力混凝土受弯构件， 2 =1.25，但当由钢筋合力引起 的截面弯矩与外弯矩的方向相同时，或允许出现裂缝的预应力混凝土受弯构 件，取 2 =1.0； p ——斜截面内纵向受拉钢筋的计算配筋率。p =100 ， 0 ( )  = + + A A A bh p pb s ； 当 p ＞2.5 时，取 p =2.5； 式中其他符号的意义详见式（4-5）。 式中的  sv 为斜截面内箍筋配筋率， sv sv v = A s b 。在实际工程中，预应力混凝土箱梁 也有采用腹板内设置竖向预应力钢筋（箍筋）的情况，这时  sv 应换为竖向预应力钢筋（箍 筋）的配筋率  pv ； v s 为斜截面内竖向预应力钢筋（箍筋）的间距（mm）； sv f 为为竖向预 应力钢筋（箍筋）抗拉强度设计值； Asv 为斜截面内配置在同一截面的竖向预应力钢筋（箍 筋）截面面积。 （2）预应力弯起钢筋的抗剪承载力设计值（ Vsb ） 预应力弯起钢筋的斜截面抗剪承载力计算按以下公式进行： pb pd Apb p V 0.75 10 f sin 3 =   − （kN） （13-20） 式中  p ——预应力弯起钢筋（在斜截面受压端正截面处）的切线与水平线的夹角； Apb——斜截面内在同一弯起平面的预应力弯起钢筋的截面面积（mm2）； pd f ——预应力钢筋抗拉强度设计值； 预应力混凝土受弯构件抗剪承载力计算，所需满足的公式上、下限值与普通钢筋混凝土

受弯构件相同，详见第4章。 2)斜截面抗弯承载力计算 根据斜截面的受弯破坏形态，仍取斜截面以左部分为脱离体（图13-7），并以受压区混 凝土合力作用点。（转动较）为中心取矩，由∑M。=0,得到矩形、T形和I形截面的受弯 构件斜截面抗弯承载力计算公式为 yoM≤faA,Z,+fraAZ。+∑fuA6Zpb+∑f4.Z (13-21) 式中M。一一斜截面受压端正裁面的最大弯矩组合设计值： 乙，、乙。一一纵向普通受拉钢筋合力点、纵向预应力受拉钢筋合力点至受压区中心点0的 距离： Z。一一与斜截面相交的同一弯起平面内预应力弯起钢筋合力点至受压区中心点0的 距离： Z.一一与斜截面相交的同一平面内箍筋合力点至斜截面受压端的水平距离。 图13-7斜截面抗弯承找力计算图 计算斜截面抗弯承载力时，其最不利斜截面的位置，需选在预应力钢筋数量变少、箍前 截面与间距的变化处，以及构件混凝土截面腹板厚度的变化处等进行。但其斜截面的水平投 影长度C,仍需自下而上，按不同倾斜角度试算确定。最不利的斜截面水平投影长度按下列 公式试算确定： o'a=Σo 4ps sin。+ΣfmAn (13-22) 假设最不利斜截面与水平方向的夹角为α，水平投影长度为C,则该斜截面上箍筋截面 积为∑A=A·C3.,代入上式可得到最不利水平投影长度C的表达式为 -水-Σjw4sin0, (13-23) fm·An/s 式中'。一一斜截面受压端正截面相应于最大弯矩组合设计值的剪力组合设计值： S,一一箍筋间距(mm): 1310

13-10 受弯构件相同，详见第 4 章。 2）斜截面抗弯承载力计算 根据斜截面的受弯破坏形态，仍取斜截面以左部分为脱离体（图 13-7），并以受压区混 凝土合力作用点 o（转动铰）为中心取矩，由  = M 0 0 ，得到矩形、T 形和 I 形截面的受弯 构件斜截面抗弯承载力计算公式为 0Md  ≤ sd s s pd p p pd pb pb svAsvZsv f A Z + f A Z +  f A Z +  f （13-21） 式中 M d ——斜截面受压端正截面的最大弯矩组合设计值； Zs 、Z p ——纵向普通受拉钢筋合力点、纵向预应力受拉钢筋合力点至受压区中心点 O 的 距离； Z pb ——与斜截面相交的同一弯起平面内预应力弯起钢筋合力点至受压区中心点 O 的 距离； Zsv ——与斜截面相交的同一平面内箍筋合力点至斜截面受压端的水平距离。 fpdApb Zpb C Zsv pd p f A p O Vc sd s f A A f sv sv cd c f A Zs Zp x 图 13-7 斜截面抗弯承载力计算图 计算斜截面抗弯承载力时，其最不利斜截面的位置，需选在预应力钢筋数量变少、箍筋 截面与间距的变化处，以及构件混凝土截面腹板厚度的变化处等进行。但其斜截面的水平投 影长度 C，仍需自下而上，按不同倾斜角度试算确定。最不利的斜截面水平投影长度按下列 公式试算确定： 0 sin V f A f A d pd pb p sv sv   =  +  （13-22） 假设最不利斜截面与水平方向的夹角为  ，水平投影长度为 C，则该斜截面上箍筋截面 积为  =  A A C s sv sv v ，代入上式可得到最不利水平投影长度 C 的表达式为 0 sin d pd pb p sv sv v V f A C f A s   −  =  （13-23） 式中 Vd ——斜截面受压端正截面相应于最大弯矩组合设计值的剪力组合设计值； v s ——箍筋间距（mm）；