第10讲 §3.4单筋矩形截面受弯构件 一、基本公式及适用条件 根据受弯构件正截面承载力计算的基本原则，可以得到单筋矩形截面受弯构件承 载力计算简图（图3-22）. X-aB 人动 图3-22单筋矩形裁面受弯构件正截面承载力计算图式 基本计算原则：在受弯构件计算截面上的最不利荷载基本组合效应计算值yM 不应超过截面的承载能力（抗力）M,即yM,≤M, 由图3-20可以写出单筋矩形截面受弯构件正截面计算的基本公式（基本方程）。 由截面上水平方向内力之和为零的平衡条件，即T+C0,可得到 f.bx=f.A (3-12) 由截面上对受拉钢筋合力T作用点的力矩之和等于零的平衡条件，可得到 oM≤M.=-】 (3.13) 由对压区混凝土合力C作用点取力矩之和为零的平衡条件，可得到 ≤从=人A且 (3-14) 式中M一一计算截面上的弯矩组合设计值： 。一一结构的重要性系数： M一一计算截面的抗弯承载力： a一一混凝土轴心抗压强度设计值： a一一纵向受拉钢筋抗拉强度设计值： A,一一纵向受拉钢筋的截面面积：
第 10 讲 §3.4 单筋矩形截面受弯构件 一、基本公式及适用条件 根据受弯构件正截面承载力计算的基本原则，可以得到单筋矩形截面受弯构件承 载力计算简图（图 3-22）。 = = γ = = 图 3-22 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算图式 基本计算原则：在受弯构件计算截面上的最不利荷载基本组合效应计算值γoMd 不应超过截面的承载能力（抗力）Mu，即 0M M d u 由图 3-20 可以写出单筋矩形截面受弯构件正截面计算的基本公式（基本方程）。 由截面上水平方向内力之和为零的平衡条件，即 T+C=0，可得到 cd sdAs f bx = f （3-12） 由截面上对受拉钢筋合力 T 作用点的力矩之和等于零的平衡条件，可得到 0Md ≤ ) 2 ( 0 x Mu = f cd bx h − （3-13） 由对压区混凝土合力 C 作用点取力矩之和为零的平衡条件，可得到 0Md ≤ ) 2 ( 0 x Mu = f sd As h − （3-14） 式中 Md——计算截面上的弯矩组合设计值； 0 ——结构的重要性系数； Mu——计算截面的抗弯承载力； fcd ——混凝土轴心抗压强度设计值； fsd ——纵向受拉钢筋抗拉强度设计值； As——纵向受拉钢筋的截面面积；
x一一按等效矩形应力图的计算受压区高度： b一一截面宽度： h加一一截面有效高度。 两个基本方程：公式(3-12)、(3-13)或者(314)。 公式(3-12)、(3-13)和(3-14)仅适用于适筋梁，而不适用于超筋梁和少筋梁。 因为超筋梁破坏时钢筋的实际拉应力·，并未到达抗拉强度设计值，故不能按a来考 虑。因此，公式的适用条件为： (1)为防止出现超筋梁情况，计算受压区高度x应满足： F≤5h (3-15) 式中的相对界限受压区高度{，可根据混凝土强度级别和钢筋种类由表3-2查得。 由式(3-12)可以得到计算受压区高度x为 (3-16) 则相对受压区高度5为 Jd A 图 (3-17) 由式(3-17)可见5不仅反映了配筋率P,而且反映了材料的强度比值的影响，故 5又被称为配筋特征值，它是一个比P更有一般性的参数。 当{={6时，可得到适筋梁的最大配筋率Pmx为 6图 (3-18) 显然，适筋梁的配筋率ρ应满足： (3-19) 式(3-19)和式(3-15)具有相同意义，目的都是防止受拉区钢筋过多形成超筋梁 满足其中一式，另一式必然满足。在实际计算中，多采用式(315)。 (2)为防止出现少筋梁的情况，计算的配筋率ρ应当满足： p≥Pm (3-20)
x ——按等效矩形应力图的计算受压区高度； b ——截面宽度； h0 ——截面有效高度。 两个基本方程：公式（3-12）、（3-13）或者（3-14）。 公式（3-12）、（3-13）和（3-14）仅适用于适筋梁，而不适用于超筋梁和少筋梁。 因为超筋梁破坏时钢筋的实际拉应力σs 并未到达抗拉强度设计值，故不能按 fsd 来考 虑。因此，公式的适用条件为： （1）为防止出现超筋梁情况，计算受压区高度 x 应满足： x≤ 0 h b (3-15) 式中的相对界限受压区高度ξb，可根据混凝土强度级别和钢筋种类由表 3-2 查得。 由式（3-12）可以得到计算受压区高度 x 为 f b f A x cd sd s = （3-16） 则相对受压区高度ξ为 cd s sd cd sd f f bh A f f h x = = = 0 0 （3-17） 由式（3-17）可见 不仅反映了配筋率ρ，而且反映了材料的强度比值的影响，故 又被称为配筋特征值，它是一个比ρ更有一般性的参数。 当ξ=ξb 时，可得到适筋梁的最大配筋率ρmax 为 sd cd b f f max = （3-18） 显然，适筋梁的配筋率ρ应满足： ρ≤ ( ) max sd cd b f f = （3-19） 式（3-19）和式（3-15）具有相同意义，目的都是防止受拉区钢筋过多形成超筋梁， 满足其中一式，另一式必然满足。在实际计算中，多采用式（3-15）。 （2）为防止出现少筋梁的情况，计算的配筋率ρ应当满足： ≥ min (3-20)
二、计算方法 钢筋混凝土受弯构件的正截面计算，一般仅需对构件的控制截面进行。 控制截面：等截面受弯构件中是指弯矩组合设计值最大的截面： 变截面受弯构件中，除了弯矩组合设计值最大的截面外，还有截面尺寸 相对较小，而弯矩组合设计值相对较大的截面。 受弯构件正截面承载力计算：可分为截面设计和截面复核两类计算问题。 1、截面设计 1)设计内容：选材料、确定截面尺寸、配筋计算。 截面设计应满足承载力M≥弯矩计算值M,即确定钢筋数量后的截面承载力至少 要等于弯矩计算值M,所以在利用基本公式进行截面设计时，一般取M=M来计算。 2)设计步骤（可能出现的两种设计情况） (1)已知弯矩计算值M,、混凝土和钢筋材料级别（a、了a)、截面尺寸b、h, 求钢筋面积A,。 解：即为2个基本方程求解2个未知数x、A,根据给定的环境条件确定最小混 凝士保护层厚度（教材附表1-8），根据给定的安全等级确定。 ①假定a, 对于梁一般a,=40mm(一排)，a,=65mm(两排) 板一般a,=25mm或35mm ho=h-a, ②求x或E 由基本方程，M,=。-之（一元二次方程)可得 -或克※ ③检查x≤5h或5≤5条件 ④由基本方程∫br=∫aA
二、计算方法 钢筋混凝土受弯构件的正截面计算，一般仅需对构件的控制截面进行。 控制截面：等截面受弯构件中是指弯矩组合设计值最大的截面； 变截面受弯构件中，除了弯矩组合设计值最大的截面外，还有截面尺寸 相对较小，而弯矩组合设计值相对较大的截面。 受弯构件正截面承载力计算：可分为截面设计和截面复核两类计算问题。 1、截面设计 1）设计内容：选材料、确定截面尺寸、配筋计算。 截面设计应满足承载力 Mu≥弯矩计算值 M，即确定钢筋数量后的截面承载力至少 要等于弯矩计算值 M，所以在利用基本公式进行截面设计时，一般取 Mu=M 来计算。 2）设计步骤（可能出现的两种设计情况） （1）已知弯矩计算值 Md 、混凝土和钢筋材料级别（ cd f 、 sd f ）、截面尺寸 b、h， 求钢筋面积 A s。 解: 即为 2 个基本方程求解 2 个未知数 x、 As ，根据给定的环境条件确定最小混 凝土保护层厚度（教材附表 1-8），根据给定的安全等级确定 0 ① 假定 s a 对于梁一般 s a =40mm（一排）， s a =65mm（两排） 板一般 s a =25mm 或 35mm h0 = h − as ② 求 x或 由基本方程 ) 2 ( 0 0 x M d = f cd bx h − （一元二次方程）可得 2 0 0 0 2 d cd M x h h f b = − − 或 0 2 0 0 2 1 1 d cd x M h f bh = = − − ③ 检查 b 0 x h 或 b 条件 ④ 由基本方程 cd sd s f bx f A =
可得4：完 ⑤选择钢筋直径、根数 ⑥校核p之Pm: :4(注意A为实际配筋量) 如果ph,偏不安全) ⑧绘配筋简图，并检查构造要求（钢筋净距等）。 (2)己知弯矩计算值M,、混凝土和钢筋材料级别（∫、∫a),求b、h,钢筋 面积A,。 解：4个未知数(x、b、h、4,),先确定或假定2个 ①b由构造定(b对承载力影响小)》 假定p:一般经济配筋率p对于板0.3%0.8%，矩形梁0.6%~1.5%，T 梁2%一3.5% @=哈=执 国由基本方程xM,=b(么，-得 YoMa %=fb0-059 估计a,选定h=么+a,后取整数 ④已知b×h,则变成了第一种设计情况 例：己知弯矩计算值M=120kN·m,I类环境，安全等级二级(y。=1.0),截面 b×h=220X500mm,C20混凝土，HRB235钢筋，求A,。 解：①假定a,=44mm(不要把a,与保护层混清)
可得 cd s sd f bx A f = ⑤ 选择钢筋直径、根数 ⑥ 校核 min： bh0 As = （注意 As为实际配筋量） 如果 min ，则取 = min， A bh s = min 0 （即构造取筋） ⑦ 检查假定 s a 是否等于实际 s a ，如误差大，重新计算（ 如果 s s a a 假 实 ，则 0 h h 假 0实 ，偏不安全） ⑧ 绘配筋简图，并检查构造要求（钢筋净距等）。 （2）已知弯矩计算值 Md 、混凝土和钢筋材料级别（ cd f 、 sd f ），求 b 、h ，钢筋 面积 A s。 解：4 个未知数（x、b 、h、 A s ），先确定或假定 2 个 ① b 由构造定（ b 对承载力影响小） 假定 ：一般经济配筋率 对于板 0.3％～0.8％，矩形梁 0.6％～1.5％，T 梁 2％～3.5％ ② sd cd f f = ， 0 x h = ③ 由基本方程 ) 2 ( 0 0 x M d = f cd bx h − 得 0 0 (1 0.5 ) d cd M h f b = − 估计 s a ，选定 0 s h h a = + 后取整数 ④ 已知 b h ，则变成了第一种设计情况。 例：已知弯矩计算值 Md =120kN·m，Ⅰ类环境，安全等级二级（ 0 ＝1.0），截面 b h ＝220×500mm，C20 混凝土，HRB235 钢筋，求 A s 。 解：① 假定 s a =44mm（不要把 s a 与保护层混淆）
h=h-a,=500-44=456mm ②由教材附表1-l,C20查得f=9.2MPa,fa=1.06MPa 5=-2=-g49 2×1×12×107 =0.3444计算A=1630mm2满足要求 2Φ28+1Φ25，A=1723mm2>计算A=1630mm2也满足要求 (不要比计算值超出过多，不经济，可能超筋，最好在5%以内。钢筋直径类型不宜太多) 选用3中28，则所需最小梁宽（两侧保护层+钢筋直径+钢筋净距 b=2×30+3×28+2×30=204cmp Pr(45%=45x货0245%，02%1=024s% 实际a=30+8=4mm=假定a ⑤绘钢筋布置图
h0 = h − as ＝500－44=456mm ② 由教材附表 1-1，C20 查得 cd f ＝9.2MPa， td f ＝1.06MPa 2 0 2 0 1 1 f bh M cd d = − − =1- 2 7 9.2 200 456 2 1 12 10 1 − =0.3444 0.62 b = （1. b 值见表 3-2。2.写出计算过程，便于复核。3.注意单位.4. ≤ b 不满足则修改设计） ③ 由教材附表 1-3，查得 sd f ＝195MPa As= 195 0 9.2 220 4560.3444 = sd cd f f bh ＝1630mm2 由教材附表 1-6 钢筋选择的多方案，如选用 3Φ28，As＝1847mm2＞计算 As ＝1630mm2 满足要求 2Φ28＋1Φ25，As＝1723mm2＞计算 As ＝1630mm2 也满足要求 （不要比计算值超出过多，不经济，可能超筋，最好在 5％以内。钢筋直径类型不宜太多） 选用 3Φ28，则所需最小梁宽（两侧保护层＋钢筋直径＋钢筋净距）： bmin ＝2×30＋3×28＋2×30＝204cm＜b=220mm 满足要求 ④ 配筋率 220 456 1847 0 = = bh As ＝1.84%＞ min min =Max｛ 195 1.06 45 = 45 sd td f f =0.245％，0.2％｝＝0.245％ 实际 2 28 as = 30 + ＝44mm＝假定 s a ⑤ 绘钢筋布置图
328 220 如果修改设计，第一选择增加h,第二选择增加广，第三选择增加∫，b(不宜) 2、截面复核 1)截面复核目的：对已经设计好的截面检查其承载力是否满足要求。同时检查是 否满足构造要求。 2)计算步骤 已知截面尺寸b、h,钢筋面积A,混凝土和钢筋材料级别∫、∫，求截面承载 力M.。 解：①检查构造要求 ②a,为己知（不需再假设》 faA,a ③检查p之Pm 国由基本公式x=合求得5无 ⑤检查：≤乐的条件 如果5>点属于超筋，实际上当5>乐。，只能取5=点。（多配钢筋不能发挥作用，则 x=56么，此时M,=∫bx(h-)=b5k(h-与5h)(此即单筋矩形截面适筋梁的最大 承载能力)
3φ28 如果修改设计,第一选择增加 h ，第二选择增加 sd f ，第三选择增加 cd f ,b （不宜） 2、截面复核 1）截面复核目的：对已经设计好的截面检查其承载力是否满足要求。同时检查是 否满足构造要求。 2）计算步骤 已知截面尺寸 b 、h ，钢筋面积 A s ，混凝土和钢筋材料级别 sd f 、 cd f ，求截面承载 力 M u 。 解：① 检查构造要求 ② s a 为已知（不需再假设）， 1 1 i i i i i n sd s s i s n s s i f A a a A f = = = ③ 检查 min ④ 由基本公式 sd s cd f A x f b = 求得 0 x h = ⑤ 检查 b 的条件 如果 b 属于超筋，实际上当 b ，只能取 b = （多配钢筋不能发挥作用），则 b 0 x h = ，此时 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 2 u cd cd b b x M f bx h f b h h h = − = − （此即单筋矩形截面适筋梁的最大 承载能力）
当求得的MPm pMx(45=45×2-0198%,0.2%1=02% f 280
当求得的 Mu＜M 时，可采取提高混凝土级别、修改截面尺寸，或改为双筋截面等 措施。 ⑥ 满足 b 时，则由基本公式 0 ( ) 2 u cd x M f bx h = − 例：已知矩形截面梁 b h = 200 600 mm，采用 C25 混凝土和 HRB335 级钢筋， As ＝1250mm2（3φ20+2φ14），求 M u 。 3φ20 600 200 2φ14 as as as 2 1 解：① 构造要求 ② As1＝942mm2（3φ20）， 1 280 sd f = MPa 2 22.7 as1 = 30 + ＝41.35mm （梁底保护层＋钢筋外径的一半） As1＝308mm 2（2φ14）， 2 280 sd f = MPa 2 16.2 as2 = 30 + 22.7 + 30 + =90.8mm ∴ 942 280 308 280 942 280 41.35 308 280 90.8 + + + as = =53.53mm 0 600 53.53 546.5 s h h a mm = − = − = ③ 由教材附表 1-1，C25 查得 cd f ＝11.5MPa， td f ＝1.23MPa 200 546.5 1250 0 = = bh As ＝1.14%＞ min min =Max｛ 280 1.23 45 = 45 sd td f f =0.198％，0.2％｝＝0.2％
④x=fg4-280x1250=1522mm Jab11.5x200 5元=02785<=056 同M.=bmh- =15×20x1522×5465-1523)=164656154N-mm=164.66K.m 2
④ 11.5 200 280 1250 = = f b f A x cd sd s =152.2mm 0 0.2785 0.56 b x h = = = ⑤ 0 ( ) 2 u cd x = − M f bx h = − ) = 164656154N mm = 164.66KN m 2 152.2 11.5 200 152.2 (546.5
