第2章结构按极限状态法设计计算的原则 钢筋混凝土结构构件的“设计”是指在预定的作用及材料性能条件下，确定构件按功能 要求所需要的截面尺寸、配筋和构造要求。 自从19世纪末钢筋混凝士结构在土木建筑工程中出现以来，随着生产实践的经验积累 和科学研究的不断深入，钢筋混凝土结构的设计理论在不断地发展和完善。 最早的钢筋混凝士结构设计理论，是采用以弹性理论为基础的容许应力计算法。这种方 法要求在规定的标准荷载作用下，按弹性理论计算得到的构件截面任一点的应力应不大于规 定的容许应力，而容许应力是由材料强度除以安全系数求得的，安全系数则依据工程经验和 主观判断来确定。然而，由于钢筋混凝土并不是 一种弹性匀质材料，而是表现出明显的塑性 性能，因此，这种以弹性理论为基础的计算方法是不可能如实地反映构件截面破坏时的应力 状态和正确地计算出结构构件的承载能力的。 20世纪30年代，前苏联首先提出了考虑钢筋混凝士塑性性能的破坏阶段计算方法。它 以充分考虑材料塑性性能的结构构件承载能力为基础，使按材料标准极限强度计算的承载能 力必须大于计算的最大荷载产生的内力。计算的最大荷载是由规定的标准荷载乘以单一的安 全系数而得出的。安全系数仍是依据工程经验和主观判断来确定。 随着对荷载和材料强度的变异性的进一步研究，前苏联在20世纪0年代又率先提出了 极限状态计算法。极限状态计算法是破坏阶段计算法的发展，它规定了结构的极限状态，并 把单一安全系数改为三个分项系数，即荷载系数、材料系数和工作条件系数。从而把不同的 外荷载、不同的材料以及不同构件的受力性质等，都用不同的安全系数区别开来，使不同的 构件具有比较一致的安全度，而部分荷载系数和材料系数基本上是根据统计资料用概率方法 确定的。因此，这种计算方法被称为半经验、半概率的“三系数”极限状态设计法。我国原 《公路桥规》(1985)采用的就是这种设计方法。 20世纪0年代以来，国际上以概率论和数理统计为基础的结构可靠度理论在土木工程 领域逐步进入实用阶段。例如，加拿大分别于1975年和19年率先颁发了基于可靠度的房 屋建筑和公路桥梁结构设计规范：1977年，原联邦德国编制了《确定建筑物安全度的基础》 作为编制其他规范的基本依据：1978年，北欧五国的建筑委员会提出了《结构荷载与安全 度设计规程》：美国国家标准局于1980年提出了《基于概率的荷载准则》：英国于1982年在 B$5400桥梁设计规范中引入了结构可靠度理论的内容。这充分表明土木工程结构的设计理 论和设计方法进入了一个新的阶段。 我国虽然直到20世纪70年代中期才开始在建筑结构领域开展结构可靠度理论和应用研 究工作，但很快取得成效。1984年国家计委批准《建筑结构设计统一标准》(GB!68-84), 该标准提出了以可靠性为基础的概率极限状态设计统一原则。经过努力，适于全国并更具综 合性的《工程结构可可党府设计统一标准》(GB50153.92)于192年正式发布。在编制全国 统一标准的同时，1986年国家计委又先后下达了其他土木工程结构可靠度设计统一标准的 编制任务，其中《港口工程结构可靠度设计统一标准》(GB50158-92),、《铁路工程结构可靠 度设计统一标准》(GB50216-94)、《公路工程结构可靠度设计统一标准》(GB/T50283-1999 分别于1992年、1994年和1999年正式发布。 《公路工程结构可靠度设计统一标准》(GBT50283-1999)全面引入了结构可靠性理论， 把影响结构可靠性的各种因素均视为随机变量，以大量现场实测资料和试验数据为基础，运 2
2-1 第 2 章 结构按极限状态法设计计算的原则 钢筋混凝土结构构件的“设计”是指在预定的作用及材料性能条件下，确定构件按功能 要求所需要的截面尺寸、配筋和构造要求。 自从 19 世纪末钢筋混凝土结构在土木建筑工程中出现以来，随着生产实践的经验积累 和科学研究的不断深入，钢筋混凝土结构的设计理论在不断地发展和完善。 最早的钢筋混凝土结构设计理论，是采用以弹性理论为基础的容许应力计算法。这种方 法要求在规定的标准荷载作用下，按弹性理论计算得到的构件截面任一点的应力应不大于规 定的容许应力，而容许应力是由材料强度除以安全系数求得的，安全系数则依据工程经验和 主观判断来确定。然而，由于钢筋混凝土并不是一种弹性匀质材料，而是表现出明显的塑性 性能，因此，这种以弹性理论为基础的计算方法是不可能如实地反映构件截面破坏时的应力 状态和正确地计算出结构构件的承载能力的。 20 世纪 30 年代，前苏联首先提出了考虑钢筋混凝土塑性性能的破坏阶段计算方法。它 以充分考虑材料塑性性能的结构构件承载能力为基础，使按材料标准极限强度计算的承载能 力必须大于计算的最大荷载产生的内力。计算的最大荷载是由规定的标准荷载乘以单一的安 全系数而得出的。安全系数仍是依据工程经验和主观判断来确定。 随着对荷载和材料强度的变异性的进一步研究，前苏联在 20 世纪 50 年代又率先提出了 极限状态计算法。极限状态计算法是破坏阶段计算法的发展，它规定了结构的极限状态，并 把单一安全系数改为三个分项系数，即荷载系数、材料系数和工作条件系数。从而把不同的 外荷载、不同的材料以及不同构件的受力性质等，都用不同的安全系数区别开来，使不同的 构件具有比较一致的安全度，而部分荷载系数和材料系数基本上是根据统计资料用概率方法 确定的。因此，这种计算方法被称为半经验、半概率的“三系数”极限状态设计法。我国原 《公路桥规》（1985）采用的就是这种设计方法。 20 世纪 70 年代以来，国际上以概率论和数理统计为基础的结构可靠度理论在土木工程 领域逐步进入实用阶段。例如，加拿大分别于 1975 年和 1979 年率先颁发了基于可靠度的房 屋建筑和公路桥梁结构设计规范；1977 年，原联邦德国编制了《确定建筑物安全度的基础》 作为编制其他规范的基本依据；1978 年，北欧五国的建筑委员会提出了《结构荷载与安全 度设计规程》；美国国家标准局于 1980 年提出了《基于概率的荷载准则》；英国于 1982 年在 BS5400 桥梁设计规范中引入了结构可靠度理论的内容。这充分表明土木工程结构的设计理 论和设计方法进入了一个新的阶段。 我国虽然直到20世纪70年代中期才开始在建筑结构领域开展结构可靠度理论和应用研 究工作，但很快取得成效。1984 年国家计委批准《建筑结构设计统一标准》（GBJ 68-84）， 该标准提出了以可靠性为基础的概率极限状态设计统一原则。经过努力，适于全国并更具综 合性的《工程结构可靠度设计统一标准》（GB 50153-92）于 1992 年正式发布。在编制全国 统一标准的同时，1986 年国家计委又先后下达了其他土木工程结构可靠度设计统一标准的 编制任务，其中《港口工程结构可靠度设计统一标准》（GB 50158-92）、《铁路工程结构可靠 度设计统一标准》（GB 50216-94）、《公路工程结构可靠度设计统一标准》（GB/T 50283-1999） 分别于 1992 年、1994 年和 1999 年正式发布。 《公路工程结构可靠度设计统一标准》（GB/T 50283-1999）全面引入了结构可靠性理论， 把影响结构可靠性的各种因素均视为随机变量，以大量现场实测资料和试验数据为基础，运
用统计数学的方法，寻求各变量的统计规律，确定结构的失效概率（或可靠度）来度量结构 的可靠性。随机性在国际上，这种方法通常称为“可靠度设计法”，而将其应用于结构的极 限状态设计则称为“概率极限状态设计法”。该标准明确提出以结构可靠性理论为基础的概 率极限状态设计法作为公路工程结构设计的总原则。 当前，国际上将结构概率设计法按精确程度不同分为三个水准，即水准1、水准Ⅱ和水 准。 1)水准1—半概率设计法 这一水准设计方法虽然在荷载和材料强度上分别考虑了概率原则，但它把荷载和抗力分 开考虑，并没有从结构构件的整体性出发考虑结构的可靠度，因而无法触及结构可靠度的核 、 结构的失效概率，并且各分项安全系数主要依据工程经验确定，所以称其为半概率设 计法 2)水准Ⅱ—近似概率设计方法 这是目前在国际上已经进入实用阶段的概举设计法。它运用概率论和数理统计，对工程 结构、构件或截面设计的“可靠概率”，做出较为近似的相对估计。我国《工程结构可靠度 设计统一标准》(GB50153-92、《铁道工程结构可靠度设计统一标准》(GB50216-94)以及 《公路工程结构设计统一标准》(GB/T50283-1999)等确定的以概率理论为基础的一次 阶矩极限状态设计方法就属于这一水准的设计方法。虽然这已经是一种概率方法，但是，由 于在分析中忽略了或简化了基本变量随时间变化的关系：确定基本变量的分布时受现有信息 量限制而具有相当的近似性：并且，为了简化设计计算，将一些复杂的非线性极限状态方稻 线性化，所以它仍然只是一种近似的概率法。不过，在现阶段它确实是一种处理结构可靠度 的比较合理且可行的方法。 3)水准Ⅲ 一全概率设计法 全概率设计法是一种完全基于概率理论的较理想的方法。它不仅把影响结构可靠度的名 种因素用随机变量概率慎型去描述，更进一步考虑随时间变化的特性并用随机过程概率模型 去描述，而且在对整个结构体系进行精确概率分析的基础上，以结构的失效概率作为结构可 靠度的直接度量。这当然是一种完全的、真正的概率方法。目前，这还只是值得开拓的研究 方向，真正达到实用还需经历较长的时间。在以上的后两种水准中，水准方法Ⅱ是水准) 法Ⅲ的近似。在水准方法的基础上再进一步发展就是运用优化理论的最优全概率法。 2.1概率极限状态设计法的基本概念 2.1.1结构可靠性与可靠度 结构设计的目的，就是要使所设计的结构，在规定的时间内能够在具有足够可靠性的武 提下，完成全部预定功能的要求。结构的功能是由其使用要求决定的，具体有如下四个方面： (1)结构应能承受在正常施工和正常使用期间可能出现的各种荷载、外加变形、约束 变形等的作用 (2)结构在正常使用条件下具有良好的工作性能，例如，不发生影响正常使用的过大 变形或局部损坏。 2.2
2-2 用统计数学的方法，寻求各变量的统计规律，确定结构的失效概率（或可靠度）来度量结构 的可靠性。随机性在国际上，这种方法通常称为“可靠度设计法”，而将其应用于结构的极 限状态设计则称为“概率极限状态设计法”。该标准明确提出以结构可靠性理论为基础的概 率极限状态设计法作为公路工程结构设计的总原则。 当前，国际上将结构概率设计法按精确程度不同分为三个水准，即水准 I、水准 II 和水 准 III。 1）水准 I——半概率设计法 这一水准设计方法虽然在荷载和材料强度上分别考虑了概率原则，但它把荷载和抗力分 开考虑，并没有从结构构件的整体性出发考虑结构的可靠度，因而无法触及结构可靠度的核 心——结构的失效概率，并且各分项安全系数主要依据工程经验确定，所以称其为半概率设 计法。 2）水准 II——近似概率设计方法 这是目前在国际上已经进入实用阶段的概率设计法。它运用概率论和数理统计，对工程 结构、构件或截面设计的“可靠概率”，做出较为近似的相对估计。我国《工程结构可靠度 设计统一标准》（GB 50153-92）、《铁道工程结构可靠度设计统一标准》（GB 50216-94）以及 《公路工程结构设计统一标准》（GB/T 50283-1999）等确定的以概率理论为基础的一次二 阶矩极限状态设计方法就属于这一水准的设计方法。虽然这已经是一种概率方法，但是，由 于在分析中忽略了或简化了基本变量随时间变化的关系；确定基本变量的分布时受现有信息 量限制而具有相当的近似性；并且，为了简化设计计算，将一些复杂的非线性极限状态方程 线性化，所以它仍然只是一种近似的概率法。不过，在现阶段它确实是一种处理结构可靠度 的比较合理且可行的方法。 3）水准 III——全概率设计法 全概率设计法是一种完全基于概率理论的较理想的方法。它不仅把影响结构可靠度的各 种因素用随机变量概率模型去描述，更进一步考虑随时间变化的特性并用随机过程概率模型 去描述，而且在对整个结构体系进行精确概率分析的基础上，以结构的失效概率作为结构可 靠度的直接度量。这当然是一种完全的、真正的概率方法。目前，这还只是值得开拓的研究 方向，真正达到实用还需经历较长的时间。在以上的后两种水准中，水准方法 II 是水准方 法 III 的近似。在水准方法 III 的基础上再进一步发展就是运用优化理论的最优全概率法。 2.1 概率极限状态设计法的基本概念 2.1.1 结构可靠性与可靠度 结构设计的目的，就是要使所设计的结构，在规定的时间内能够在具有足够可靠性的前 提下，完成全部预定功能的要求。结构的功能是由其使用要求决定的，具体有如下四个方面： （1）结构应能承受在正常施工和正常使用期间可能出现的各种荷载、外加变形、约束 变形等的作用。 （2）结构在正常使用条件下具有良好的工作性能，例如，不发生影响正常使用的过大 变形或局部损坏
(3)结构在正常使用和正常维护的条件下，在规定的时间内，具有足够的耐久性，例 如，不发生开展过大的裂缝宽度，不发生由于混凝土保护层碳化导致钢筋的锈蚀。 (4)在偶然荷载（如地震、强风）作用下或偶然事件（如爆炸）发生时和发生后，结 构仍能保持整体稳定性，不发生倒塌。 上述要求中，第(1)、(4)两项通常是指结构的承载能力和稳定性，关系到人身安全 称为结构的安全性：第(2)项指结构的适用性：第(3)项指结构的耐久性。结构的安全性、 话用性和耐久性这三者总称为结构的可靠性。可靠性的数量描述一般用可靠度，安全性的数 量描述则用安全度。由此可见，结构可靠度是结构可完成“预定功能”的概率度量，它是建 立在统计数学的基础上经计算分析确定，从而给结构的可靠性一个定量的描述。因此，可靠 度比安全度的含义更广泛，更能反映结构的可靠程度。 根据当前国际上的一致看法，结构可靠度定义是指：结构在规定的时间内，在规定的条 件下，完成预定功能的概率。这里所说的“规定时间”是指对结构进行可靠度分析时，结合 结构使用期，考虑各种基本变量与时间的关系所取用的基准时间参数：“规定的条件”是指 结构正常设计、 正常施工和正常使用的条件，即不考虑人为过失的影响：“预定功能”是指 上面提到的四项基本功能。 可靠度概念中的“规定时间”即设计基准期，是在进行结构可靠性分析时，考虑持久设 计状况下各项基本变量与时间关系所采用的基准时间参数。可参考结构使用寿命的要求适当 选定，但不能将设计基准期简单地理解为结构的使用寿命，两者是有联系的，然而又不完全 等同。当结构的使用年限超过设计基准期时，表明它的失效概率可能会增大，不能保证其目 标可靠指标，但不等于结构丧失所要求的功能甚至报废。例如，桥梁结构的设计基准期定义 为T=100年，但到了100年时不一定该桥梁就不能使用了。一骰来说，使用寿命长，设 基准期也可以长一些，使用寿命短，设计基准期应短一些，通常设计基准期应该小于寿命期， 而不应该大于寿命期。影响结构可靠度的设计基本变量如车辆作用、人群作用、风作用、温 度作用等都是随时间变化的，设计变量取值大小与时间长短有关，从而直接影响结构可靠度， 因此，必须参照结构的预期寿命、维护能力和措施等规定结构的设计基准期。目前，国际上 对设计基准期的取值尚不统一，但多取(50一120)年。根据我国公路桥梁的使用现状和以 往的设计经验，我国公路桥梁结构的设计基准期统一取为10年，属于适中时域 2.1.2结构可靠度与极限状态 结构在使用期间的工作情况，称为结构的工作状态 结构能够满足各项功能要求而良好地工作，称为结构“可靠”。反之则称结构“失效”。 结构工作状态是处于可靠还是失效的标志用“极限状态”来衡量。 当整个结构或结构的一部分超过某一特定状态而不能满足设计规定的某一功能要求时 则此特定状态称为该功能的极限状态。对于结构的各种极限状态，均应规定明确的标志和限 值。 国际上一般将结构的极限状态分为如下三类 1)承载能力极限状态。这种极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载能力或不适 于继续承载的变形或变位的状态。当结构或构件出现下列状态之一时，即认为超过了承载能 力极限状态： (1)整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡（如滑动、倾覆等）： (2)结构构件或连接处因超过材料强度而破坏（包括疲劳破坏），或因过度的塑性变形 23
2-3 （3）结构在正常使用和正常维护的条件下，在规定的时间内，具有足够的耐久性，例 如，不发生开展过大的裂缝宽度，不发生由于混凝土保护层碳化导致钢筋的锈蚀。 （4）在偶然荷载（如地震、强风）作用下或偶然事件（如爆炸）发生时和发生后，结 构仍能保持整体稳定性，不发生倒塌。 上述要求中，第（1）、（4）两项通常是指结构的承载能力和稳定性，关系到人身安全， 称为结构的安全性；第（2）项指结构的适用性；第（3）项指结构的耐久性。结构的安全性、 适用性和耐久性这三者总称为结构的可靠性。可靠性的数量描述一般用可靠度，安全性的数 量描述则用安全度。由此可见，结构可靠度是结构可完成“预定功能”的概率度量，它是建 立在统计数学的基础上经计算分析确定，从而给结构的可靠性一个定量的描述。因此，可靠 度比安全度的含义更广泛，更能反映结构的可靠程度。 根据当前国际上的一致看法，结构可靠度定义是指：结构在规定的时间内，在规定的条 件下，完成预定功能的概率。这里所说的“规定时间”是指对结构进行可靠度分析时，结合 结构使用期，考虑各种基本变量与时间的关系所取用的基准时间参数；“规定的条件”是指 结构正常设计、正常施工和正常使用的条件，即不考虑人为过失的影响；“预定功能”是指 上面提到的四项基本功能。 可靠度概念中的“规定时间”即设计基准期，是在进行结构可靠性分析时，考虑持久设 计状况下各项基本变量与时间关系所采用的基准时间参数。可参考结构使用寿命的要求适当 选定，但不能将设计基准期简单地理解为结构的使用寿命，两者是有联系的，然而又不完全 等同。当结构的使用年限超过设计基准期时，表明它的失效概率可能会增大，不能保证其目 标可靠指标，但不等于结构丧失所要求的功能甚至报废。例如，桥梁结构的设计基准期定义 为 T=100 年，但到了 100 年时不一定该桥梁就不能使用了。一般来说，使用寿命长，设计 基准期也可以长一些，使用寿命短，设计基准期应短一些，通常设计基准期应该小于寿命期， 而不应该大于寿命期。影响结构可靠度的设计基本变量如车辆作用、人群作用、风作用、温 度作用等都是随时间变化的，设计变量取值大小与时间长短有关，从而直接影响结构可靠度。 因此，必须参照结构的预期寿命、维护能力和措施等规定结构的设计基准期。目前，国际上 对设计基准期的取值尚不统一，但多取（50～120）年。根据我国公路桥梁的使用现状和以 往的设计经验，我国公路桥梁结构的设计基准期统一取为 100 年，属于适中时域。 2.1.2 结构可靠度与极限状态 结构在使用期间的工作情况，称为结构的工作状态。 结构能够满足各项功能要求而良好地工作，称为结构“可靠”。反之则称结构“失效”。 结构工作状态是处于可靠还是失效的标志用“极限状态”来衡量。 当整个结构或结构的一部分超过某一特定状态而不能满足设计规定的某一功能要求时， 则此特定状态称为该功能的极限状态。对于结构的各种极限状态，均应规定明确的标志和限 值。 国际上一般将结构的极限状态分为如下三类： 1）承载能力极限状态。这种极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载能力或不适 于继续承载的变形或变位的状态。当结构或构件出现下列状态之一时，即认为超过了承载能 力极限状态： （1）整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡（如滑动、倾覆等）； （2）结构构件或连接处因超过材料强度而破坏（包括疲劳破坏），或因过度的塑性变形
而不能继续承载： (3)结构转变成机动体系 (4)结构或结构构件丧失稳定（如柱的压屈失稳等）： 2)正常使用极限状态，这种极限状态对应于结构或结构构件达到正常使用或耐久性能 的某项限值的状态。当结构或结构构件出现下列状态之一时，即认为超过了正常使用极限状 态： (1)影响正常使用或外观的变形： (2)影响正常使用或耐久性能的局部损坏： (3)影响正常使用的振动： (4)影响正常使用的其它特定状态 3)“破坏一安全”极限状态 这种极限状态又称为条件极限状态。超过这种极限状态而导致的破坏，是指允许结构物 发生局部损坏，而对已发生局部破坏结构的其余部分，应该具有适当的可靠度，能继续承受 降低了的设计荷载。其指导思想是，当偶然事件发生后，要求结构仍保持完整无损是不现实 的，也是没有以要和不经济的，故只能要求结构不致因此而造成更严重的损失。所以这种设 计理论可应用于桥梁抗震和连拱推力墩的计算等方面。 欧洲混凝土委员会、国际预应力混凝土协会和国际标准化组织等国际组织，一般将极限 状态分为两类：承载能力极限状态和正常使用极限状态。加拿大曾提出三种极限状态，即破 坏极限状态、损伤极限状态和使用极限状态。其中损伤极限状态是由混凝土的裂缝或碎裂而 引起的损坏，因其对人身安全危险性较小，可允许比破坏极限状态具有较大一些的失效概率。 我国的《工程结构可靠度设计统一标准》(GB50153-1992)将极限状态划分为承载能力极限 状态和正常使用极限状态两类。同时提出，随者技术进步和科学发展，在工程结构上还应考 虑“连续倒塌极限状态”，即万一个别构件局部破坏，整个结构仍能在一定时间内保持必需 的整体稳定性，防止发生连续倒塌。广义地说，这是为了避免出现与破坏原因不相称的结构 破坏。这种状态主要是针对偶然事件，如撞击、爆炸等而言的。《公路工程结构可靠度设： 统一标准》(GB/T50283-1999)暂未考虑连续倒塌极限状态。 目前，结构可靠度设计一般是将赋予概率意义的极限状态方程转化为极限状态设计表达 式，此类设计均可称为概率极限状态设计。工程结构设计中应用概率意义上的可靠度、可靠 概率或可靠指标来衡量结构的安全程度，表明工程结构设计思想和设计方法产生了质的飞 跃。实际上，结构的设计不可能是绝对可靠的，至多是说它的不可靠概率或失效概率相当小 关键是结构设计的失效概率小到何种程度人们才能比较放心地接受。以往采用的容许应力利 定值极限状态等传统设计方法实际上也具有一定的设计风险，只是其失效概率未像现在这样 被人们明确地揭示出来。 工程结构的可靠度通常受各种作用效应、材料性能、结构几何参数、计算模式准确程度 等诸多因素的影响。在进行结构可靠度分析和设计时，应针对所要求的结构各种功能，把这 些有关因素作为基本变量X,X,…,X来考虑，由基本变量组成的描述结构功能的函 数Z=g(K,, ”,太)称为结构功能函数， 结构功能函数是用来描述结构完成功能状 况的、以基本变量为自变量的函数。实用上，也可以将若干基本变量组合成综合变量，例如 将作用效应方面的基本变量组合成综合作用效应S,抗力方面的基本变量组合成综合抗力R, 24
2-4 而不能继续承载； （3）结构转变成机动体系； （4）结构或结构构件丧失稳定（如柱的压屈失稳等）； 2）正常使用极限状态。这种极限状态对应于结构或结构构件达到正常使用或耐久性能 的某项限值的状态。当结构或结构构件出现下列状态之一时，即认为超过了正常使用极限状 态： （1）影响正常使用或外观的变形； （2）影响正常使用或耐久性能的局部损坏； （3）影响正常使用的振动； （4）影响正常使用的其它特定状态。 3）“破坏—安全”极限状态 这种极限状态又称为条件极限状态。超过这种极限状态而导致的破坏，是指允许结构物 发生局部损坏，而对已发生局部破坏结构的其余部分，应该具有适当的可靠度，能继续承受 降低了的设计荷载。其指导思想是，当偶然事件发生后，要求结构仍保持完整无损是不现实 的，也是没有必要和不经济的，故只能要求结构不致因此而造成更严重的损失。所以这种设 计理论可应用于桥梁抗震和连拱推力墩的计算等方面。 欧洲混凝土委员会、国际预应力混凝土协会和国际标准化组织等国际组织，一般将极限 状态分为两类：承载能力极限状态和正常使用极限状态。加拿大曾提出三种极限状态，即破 坏极限状态、损伤极限状态和使用极限状态。其中损伤极限状态是由混凝土的裂缝或碎裂而 引起的损坏，因其对人身安全危险性较小，可允许比破坏极限状态具有较大一些的失效概率。 我国的《工程结构可靠度设计统一标准》（GB 50153-1992）将极限状态划分为承载能力极限 状态和正常使用极限状态两类。同时提出，随着技术进步和科学发展，在工程结构上还应考 虑“连续倒塌极限状态”，即万一个别构件局部破坏，整个结构仍能在一定时间内保持必需 的整体稳定性，防止发生连续倒塌。广义地说，这是为了避免出现与破坏原因不相称的结构 破坏。这种状态主要是针对偶然事件，如撞击、爆炸等而言的。《公路工程结构可靠度设计 统一标准》（GB/T 50283-1999）暂未考虑连续倒塌极限状态。 目前，结构可靠度设计一般是将赋予概率意义的极限状态方程转化为极限状态设计表达 式，此类设计均可称为概率极限状态设计。工程结构设计中应用概率意义上的可靠度、可靠 概率或可靠指标来衡量结构的安全程度，表明工程结构设计思想和设计方法产生了质的飞 跃。实际上，结构的设计不可能是绝对可靠的，至多是说它的不可靠概率或失效概率相当小， 关键是结构设计的失效概率小到何种程度人们才能比较放心地接受。以往采用的容许应力和 定值极限状态等传统设计方法实际上也具有一定的设计风险，只是其失效概率未像现在这样 被人们明确地揭示出来。 工程结构的可靠度通常受各种作用效应、材料性能、结构几何参数、计算模式准确程度 等诸多因素的影响。在进行结构可靠度分析和设计时，应针对所要求的结构各种功能，把这 些有关因素作为基本变量 X1，X2，……，Xn 来考虑，由基本变量组成的描述结构功能的函 数 Z=g（X1，X2，……，Xn）称为结构功能函数，结构功能函数是用来描述结构完成功能状 况的、以基本变量为自变量的函数。实用上，也可以将若干基本变量组合成综合变量，例如 将作用效应方面的基本变量组合成综合作用效应 S，抗力方面的基本变量组合成综合抗力 R
从而结构的功能函数为Z=R-S。 如果对功能函数Z=R-S作一次观测，可能出现如下三种情况（图21） Z=R-S>0结构处于可靠状态： 7=R一了R。 结构可靠度设计的目的，就是要使结构处于可靠状态，至少也应处于极限状态。用功能 函数表示时应符合以下要求： Z=gX1,X2,X)20 (21) 或 Z-g(R,S)-R-S≥0 (2-2) 2.1.3结构的失效概率与可靠指标 所有结构或结构构件中都存在着对立的两个方面：作用效应S和结构抗力R。 作用是指使结构产生内力、变形、应力和应变的所有原因，它分为直接作用和间接作用 两种。直接作用是指施加在结构上的集中力或分布力如汽车 人群、结构自重等，间接作用 是指引起结构外加变形和约束变形的原因，如地震、基础不均匀沉降、混凝土收缩、温度变 化等。作用效应S是指结构对所受作用的反应，例如由于作用产生的结构或构件内力（如轴 力、弯矩、剪力、扭矩等)和变形（挠度、转角等）。结构抗力R是指结构构件承受内力利 变形的能力，如构件的承载能力和刚度等，它是结构材料性能和几何参数等的函数。 作用效应S和结构抗力R都是随机变量，因此，结构不满足或满足其功能要求的事件 也是随机的。一般把出现前一事件的概率称为结构的失效概率，记为P,把出现后一事件 的概率称为可靠概率，记为P,。由概率论可知，这二者是互补的，即P,+P=1.0。 如前所述，当只有作用效应S和结构抗力R两个基本变量时，则功能函数为 Z=8(R,S)=R- (2-3) 相应的极限状态方程可写作： Z=g(R.S)=R-S=0 (2-4) 2.5
2-5 从而结构的功能函数为 Z = R− S 。 如果对功能函数 Z = R− S 作一次观测，可能出现如下三种情况（图 2-1） Z = R − S 0 结构处于可靠状态； Z = R−S 0 结构已失效或破坏； Z = R−S = 0 结构处于极限状态。 抗力 荷载效应 = ( 可靠) ( 失效) 图 2-1 结构所处状态 图 2-1 中， R S = 直线表示结构处于极限状态，此时作用效应 S 恰好等于结构抗力 R。 图中位于直线上方的区域表示结构可靠，即 S1 R2。 结构可靠度设计的目的，就是要使结构处于可靠状态，至少也应处于极限状态。用功能 函数表示时应符合以下要求： Z = g(X1 , X2 , , Xn ) 0 （2-1） 或 Z= g（R，S）= R− S 0 （2-2） 2.1.3 结构的失效概率与可靠指标 所有结构或结构构件中都存在着对立的两个方面：作用效应 S 和结构抗力 R。 作用是指使结构产生内力、变形、应力和应变的所有原因，它分为直接作用和间接作用 两种。直接作用是指施加在结构上的集中力或分布力如汽车、人群、结构自重等，间接作用 是指引起结构外加变形和约束变形的原因，如地震、基础不均匀沉降、混凝土收缩、温度变 化等。作用效应 S 是指结构对所受作用的反应，例如由于作用产生的结构或构件内力（如轴 力、弯矩、剪力、扭矩等）和变形（挠度、转角等）。结构抗力 R 是指结构构件承受内力和 变形的能力，如构件的承载能力和刚度等，它是结构材料性能和几何参数等的函数。 作用效应 S 和结构抗力 R 都是随机变量，因此，结构不满足或满足其功能要求的事件 也是随机的。一般把出现前一事件的概率称为结构的失效概率，记为 Pf ，把出现后一事件 的概率称为可靠概率，记为 Pr。由概率论可知，这二者是互补的，即 Pf + Pr =1.0。 如前所述，当只有作用效应 S 和结构抗力 R 两个基本变量时，则功能函数为 Z = g(R,S) = R − S （2-3） 相应的极限状态方程可写作： Z = g(R,S) = R − S = 0 （2-4）
式(24)为结构或构件处于极限状态时，各有关基本变量的关系式，它是判别结构是 否失效和进行可靠度分析的重要依据， 为说明问题的方便起见，设R和S都服从正态分布，且其平均值和标准差分别为、 心和0R、0s,则两者的差值Z也是正态随机变量，并具有平均值m2=me一m、,标准差 02=√o+σ。Z的概率密度函数为 「12-m 1.()-o.expa. -0<2<0 (2-5) 其分布如图2-2所示。结构的失效概率P就是图2-2a)中阴影面积P(Z<0),用公式 表示为 (2-6) (A 分面 Z0(可) ( 图22正态分布和标准正态分布坐标系 )正态分布坐标系b)标准正态分布坐标系 现将Z的正态分布N(mz,0z转换为标准正态分布N(0,1),引入标准化变量1(m-0, 0,=1人如图2-2b)所示，现取： 1=业，止=0zd 0, 当：→-时，t→-0：当z=0时，t=-m2/o2 将以上结果代入式(26)后得到 (2-7) 2-6
2-6 式（2-4）为结构或构件处于极限状态时，各有关基本变量的关系式，它是判别结构是 否失效和进行可靠度分析的重要依据。 为说明问题的方便起见，设 R 和 S 都服从正态分布，且其平均值和标准差分别为 mR、 mS 和σR、σS ，则两者的差值 Z 也是正态随机变量，并具有平均值 mZ = mR − mS ，标准差 2 2 Z = R + S 。Z 的概率密度函数为 1 1 2 ( ) exp ( ) 2 2 z z z z z m f z z − = − − （2-5） 其分布如图 2-2 所示。结构的失效概率 Pf 就是图 2-2a）中阴影面积 P(Z 0) ，用公式 表示为 0 1 1 2 ( 0) exp ( ) 2 2 z f z z z m P P Z dz − − = = − （2-6） ( 失效) = ( 可靠) ( ) ( 非阴影部分面积) ( ) ( ) − ( ) 0 = − 图 2-2 正态分布和标准正态分布坐标系 a)正态分布坐标系 b）标准正态分布坐标系 现将 Z 的正态分布 N（mZ，σZ）转换为标准正态分布 N（0，1），引入标准化变量 （t mt=0， σt =1），如图 2-2b)所示，现取： dz dt z m t Z Z Z = − = , 当 z → −时，t → − ；当 ，t mZ Z z = 0时 = − / 将以上结果代入式（2-6）后得到 2 1 exp( ) 1 ( ) ( ) 2 2 Z Z m z z f z z t m m P dt − − = − = − = − （2-7）
式中的（为标准化正态分布函数。 现引入符号B,并令： A-8 (2-8) 由式(27)可得到 P=(-) (2-9) 式中的B为无量纲系数，称为结构可靠指标。 式(2-9)反映了失效概率与可靠指标之间的关系。由P+P,=1还可导出可靠指标B 同可靠概率P的一一对应关系为 P=1-P=1-(-)=(B) (2-10 式中结构可靠指标B的表达式为 B=ma-ms (2-11) ak+as 将B称作结构的可靠指标的原因是 (1)B是失效概率和可靠概率的质量，B与P或P,具有一一对应的数量关系，这可从 表2-1和式(2-9)、式(2-10)看出来，B越大，则失效概率P越小（即阴影面积越小）， 可靠概率P越大。 可靠指标B及相应的失效概率P,的关系 表2-1 1.0164203003.714.0450 15.87 227 3 104 340 10°2 102102 x10310x103x10 (2)如图2-2所示，功能函数的概率密度函数为、平均值为m2、标准差为z 在横坐标轴：上，从坐标原点(：=0，失效点)到密度函数曲线的平均值m2处的距离为Bσ， 若B大，则阴影部分的面积小，失效概率P小，结构可靠度大：反之，B小，阴影部 分面积大，失效概率P大，结构可靠度小。 (3)功能函数为某一概率密度函数f时，由B=m/口z可知，当标准差o=常量时， B只随平均值m而变。而当B增加时，会使概率密度曲线由于m的增加而向右移动（图 23的虚线所示)，即P,将变小，变为P,结构可靠概率增大。 27
2-7 式中的 () 为标准化正态分布函数。 现引入符号β，并令： Z mZ = （2-8） 由式（2-7）可得到 = (−) Pf （2-9） 式中的 为无量纲系数，称为结构可靠指标。 式（2-9）反映了失效概率与可靠指标之间的关系。由 Pr + Pf =1 还可导出可靠指标 同可靠概率 Pr 的一一对应关系为 =1− =1−(−) = () Pr Pf （2-10） 式中结构可靠指标 的表达式为 2 2 R S mR mS + − = （2-11） 将β称作结构的可靠指标的原因是： （1）β是失效概率和可靠概率的质量，β与 Pf 或 Pr 具有一一对应的数量关系，这可从 表 2-1 和式（2-9）、式（2-10）看出来，β越大，则失效概率 Pf 越小（即阴影面积越小）， 可靠概率 Pr 越大。 可靠指标β及相应的失效概率 Pf 的关系 表 2-1 β 1.0 1.64 2.00 3.00 3.71 4.00 4.50 P f 15.87× 10-2 5.05 ×10-2 2.27× 10-2 1.35 ×10-3 1.04× 10-4 3.17 ×10-5 3.40 ×10-6 （2）如图 2-2 所示，功能函数的概率密度函数为 fZ(z)、平均值为 mZ、标准差为σZ。 在横坐标轴 z 上，从坐标原点（z =0，失效点）到密度函数曲线的平均值 mZ处的距离为 z ， 若 z 大，则阴影部分的面积小，失效概率 Pf 小，结构可靠度大；反之, βσZ 小，阴影部 分面积大，失效概率 Pf 大，结构可靠度小。 （3）功能函数为某一概率密度函数 fZ(z)时，由β= mZ /σZ可知，当标准差σZ=常量时， β只随平均值 mZ 而变。而当β增加时，会使概率密度曲线由于 mZ 的增加而向右移动（图 2-3 的虚线所示），即 Pf 将变小，变为 ' Pf ，结构可靠概率增大
() u=Ba 丛（增大后的值 图23可靠指标B与平均值mz关系图 以上分析表明，结构可靠度既可用失效概率P来描述和度量，也可用B来描述和度量， 工程上目前常用B表示结构的可靠程度，并称之为结构的可靠指标 可靠指标B的计算式(2-11)是在R和S都服从正态分布的情况下得到的。如果R和S 都不服从正态分布，但能求出乙的平均值mz和标准差z,则由式(2-1)算出的B是近 似的或称名义的，不过在工程中仍然具有一定的参考价值。 2.1.4可靠指标B的两个常用公式 (1)两个正态变量R和S具有极限状态方程： Z=R-S=0 (2-12) 由于R和S都服从正态分布，且平均值和标准差分别为、ms和aR、0,则功能 函数Z=R-S也服从正态分布，其平均值和标准差分别为m2=mR一ms及 02=V6后+。由前面的讨论可得到 B=mz=ma-ms (2-13) 这个公式是美国的Corm©l于l967年最先提出来的，它是结构可靠分析中一个最基本的 公式. 例21设某构件中某点的抗力为R,荷载效应应力为S,己知R和S的平均值、标准 差分别为：(mR,oR)=(68540,6431)NWmm2,(ms,0s)=(37289,4130)N/mm2,试 求其可靠度。 解：由式(2-13)得到 68540-37289 A资0040 由式(2-10)可求出相对应的可靠度： P=(B)=(4.09)=99.99% (2)两个对数正态分布变量R和S具有极限状态方程： Z=In R-InS=0 因为抗力和荷载效应大多趋向于偏态分布，按正态分布计算将产生较大的误差，因此
2-8 = ( 增大后的值) ( ) 图 2-3 可靠指标β与平均值 mZ 关系图 以上分析表明，结构可靠度既可用失效概率 Pf 来描述和度量，也可用β来描述和度量， 工程上目前常用β表示结构的可靠程度，并称之为结构的可靠指标。 可靠指标β的计算式（2-11）是在 R 和 S 都服从正态分布的情况下得到的。如果 R 和 S 都不服从正态分布，但能求出 Z 的平均值 mZ 和标准差σZ ，则由式（2-11）算出的β是近 似的或称名义的，不过在工程中仍然具有一定的参考价值。 2.1.4 可靠指标β的两个常用公式 （1）两个正态变量 R 和 S 具有极限状态方程： Z = R−S = 0 （2-12） 由于 R 和 S 都服从正态分布，且平均值和标准差分别为 mR 、mS 和σR 、σS，则功能 函 数 Z = R− S 也服从正态分布，其平均值和标准差分别为 mZ = mR − mS 及 2 2 Z = R + S 。由前面的讨论可得到 2 2 R S R S Z mZ m m + − = = （2-13） 这个公式是美国的 Cornell 于 1967 年最先提出来的，它是结构可靠分析中一个最基本的 公式。 例 2-1 设某构件中某点的抗力为 R ，荷载效应应力为 S，已知 R 和 S 的平均值、标准 差分别为：（mR ,σR）=（68540，6431）N/mm2，（mS ，σS）=（37289，4130）N/mm2，试 求其可靠度。 解：由式（2-13）得到 4.09 6431 4130 68540 37289 2 2 2 2 = + − = + − = R S mR mS 由式（2-10）可求出相对应的可靠度： Pr = () = (4.09) = 99.99% （2）两个对数正态分布变量 R 和 S 具有极限状态方程： Z = ln R−ln S = 0 因为抗力和荷载效应大多趋向于偏态分布，按正态分布计算将产生较大的误差，因此
Rosenblueth和Estera等学者建议采用R和S的对数正态分布模型。将lnR和lnS的平均值与 标准差分别计为mR、ms、OIR、Ias,由于nR和nS都是正态分布，因此Z也是正 态分布，其平均值和标准差为m2=mae-ms和a2=(oiR+o)"P。 为了直接利用R、S的一阶和二阶矩，通过变换可以用mR、s和R、s来表示m oz。根据对数正态分布的性质，lnR和lnS的方差分别为 oe=1+) 花 ais =In(1+V3) 其中 m。 ms o2=n(1+)+n1+ =(1+1+划 (2-14 lnR和InS的平均值分别为 =In mg-i 衣 mas=hm-o2。 故 mz=Inmg -Inms-(di-dus) 受隔 (2-15) 最后由式(2-8)得到 哥 B= (2.16) ozVn1+R1+】 当和都小于0.3时，式(2-16)可进一步得到简化，这里考虑： nI+经)≈R,I+)图 其误差已小于2%。当和很小或基本上相等时，有： 29
2-9 Rosenblueth 和 Estera 等学者建议采用 R 和 S 的对数正态分布模型。将 lnR 和 lnS 的平均值与 标准差分别计为 mlnR 、mlnS 、σlnR 、σlnS ，由于 lnR 和 lnS 都是正态分布，因此 Z 也是正 态分布，其平均值和标准差为 mZ = mlnR −mlnS 和 2 1/ 2 ln 2 ln ( ) Z = R + S 。 为了直接利用 R、S 的一阶和二阶矩，通过变换可以用 mR 、mS 和σR 、σS 来表示 mZ、 σZ 。根据对数正态分布的性质，lnR 和 lnS 的方差分别为 ln(1 ) 2 2 lnR = +VR 和 ln(1 ) 2 2 ln S = +VS 其中 S S S R R R m ， V m V = = 故 2 2 1/ 2 [ln(1 ) ln(1 )] Z = +VR + +VS 1/ 2 2 2 ln[(1 )(1 )] = +VR +VS （2-14） lnR 和 lnS 的平均值分别为 2 ln ln 2 1 m R = ln mR − R 和 2 ln ln 2 1 m S = ln mS − S 故 2 2 ln ln 1 ln ln ( ) 2 m m m Z R S R S = − − − 2 2 1 1 ln( ) ln( ) 2 1 R R S S m V m V + = − + 2 2 1 ln( ) 1 R S S R m V m V + = + （2-15） 最后由式（2-8）得到 2 2 2 2 1 ln( ) 1 ln[(1 )(1 )] R S Z S R Z R S m V m m V V V + + = = + + （2-16） 当 VR 和 VS 都小于 0.3 时，式（2-16）可进一步得到简化，这里考虑： 2 2 ln(1 ) +VR VR ， 2 2 ln(1 ) +VS VS 其误差已小于 2%。当 VR 和 VS 很小或基本上相等时，有：
1+图 将以上各式代入式(216)，得简化后的对数正态分布可靠指标B的计算公式为 B-imim) (217) VR+V3 加拿大基于可靠度理论的房屋和公路桥梁结构设计规范，以及美国基于可靠度理论的钢 结构设计规范，就是采用这个公式作为构件设计的基本公式。 例2-2某构件的抗力R和荷载效应S分别服从 R:(mR,R)=(13506,1289.5)Nmm2,对数正态分布 S:,s)=(5894,17964)Nmm2,对数正态分布 试求其可靠度。 mR=13506N/cm2,ms=5894NWcm2,VR=aR/mR=0.0955,V=as/ms=0.3048 利用式(2-16)得到 In(+ B= ms V1+Va √I+I+】 n3506+03048 5894Y1+0.0955 √n1+0.09552)1+0.30482万 =2.777 相对应的可靠度为 P=(B)=2.777)=99.72% 如果利用近似式(2-17)，则有： h(13506/5894) +g00955+03048-2596 相对应的可靠度为 P=(2.59)=99.52% 一般说来，当V®和小于0.3时，近似式(2-17)的误差小于2%。而工程结构中随 机变量的变异系数值都小于0.3，所以式(217)还是用得较多的 在近似概率极限状态设计法中，通常就是以可靠指标B为依据来确定设计表达式中各分 项系数的取值的。 2.1.5目标可靠指标 用作公路桥梁结构设计依据的可靠指标，称为目标可靠指标。它主要是采用“校准法” 并结合工程经验和经济优化原则加以确定的。所谓“校准法”就是根据各基本变量的统计参 2.10
2-10 1 1 1 2 2 + + R S V V 将以上各式代入式（2-16），得简化后的对数正态分布可靠指标β的计算公式为 2 2 ln( / ) R S R S V V m m + = （2-17） 加拿大基于可靠度理论的房屋和公路桥梁结构设计规范，以及美国基于可靠度理论的钢 结构设计规范，就是采用这个公式作为构件设计的基本公式。 例 2-2 某构件的抗力 R 和荷载效应 S 分别服从 R：（mR ，σR）=（13506，1289.5）N/mm 2，对数正态分布 S：（mS ，σS）=（5894，1796.4）N/mm2，对数正态分布 试求其可靠度。 解：mR =13506 N/cm2，mS =5894 N/cm2， VR =σR /mR =0.0955, Vs=σS /mS =0.3048。 利用式（2-16）得到 2 2 2 2 1 ln( ) 1 ln[(1 )(1 )] R S S R R S m V m V V V + + = + + 2 2 2 2 13506 1 0.3048 ln( ) 5894 1 0.0955 ln[(1 0.0955 )(1 0.3048 )] 2.777 + + = + + = 相对应的可靠度为 Pr = () = (2.777) = 99.72% 如果利用近似式（2-17），则有： 2.596 0.0955 0.3048 ln( / ) ln(13506/5894) 2 2 2 2 = + = + = R S R S V V m m 相对应的可靠度为 Pr = (2.59) = 99.52% 一般说来，当 VR 和 VS 小于 0.3 时，近似式（2-17）的误差小于 2%。而工程结构中随 机变量的变异系数值都小于 0.3，所以式（2-17）还是用得较多的。 在近似概率极限状态设计法中，通常就是以可靠指标β为依据来确定设计表达式中各分 项系数的取值的。 2.1.5 目标可靠指标 用作公路桥梁结构设计依据的可靠指标，称为目标可靠指标。它主要是采用“校准法” 并结合工程经验和经济优化原则加以确定的。所谓“校准法”就是根据各基本变量的统计参