《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 基本概念 1.5 基矢的改变 1.6 位置、动量和平移 1.7 坐标与动量空间的波函数

1.5 基矢的改变1）变换算符：幺正变换[6() =U|a();UU+ =U+U =1(a(k) Ua())2）变换矩阵相似变换、迹X'=U+XU;tr(X) =(a [Xa)a3）对角化S0C(i)Bu1B2Br31B[6 )= b[6 )CChB,B,B232221= b(i)det(B- α)= 0A～ A =UAU-14）幺正等价观测量

1.5 基矢的改变 1）变换算符：幺正变换 2）变换矩阵 相似变换、迹 3）对角化 4）幺正等价观测量 ; UU 1 ( ) ( ) = = = + + b U a U U i i (k ) (l) a U a ' ' ' ' X U XU; tr(X) a X a a = = + ' 1 ~ − A A =UAU               =                             : : : : : : : : : : . . ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 i i i i i C C b C C B B B B B B det( ) 0 ' ' ' − = = B I B b b b 

1.6 位置、云动量和平移5)=5[5);(55")=8(5 -5)1）连续谱：展开、归一化xx)=x|x)[x,x,]=02）位置本征矢和位置测量塌缩测量[dx |xXx [a)[α)= [dx|xXx"|a)2推广至3维：)=刘)3）平移：操作、算符T(dx)x)=x +dx)→T(d)=1-·d →[x,K,]=ij

1.6 位置、动量和平移 1）连续谱：展开、归一化 2）位置本征矢和位置测量 塌缩 推广至3维： 3）平移：操作、算符 ; ( ) ' ' ' ' '' ' ''   =     =   −    '' '' 2 x 2 x '' '' '' '' ' ' dx x x dx x x    +  −  − = ⎯测量 ⎯→ ' ' ' x x = x x ' ' ' x x x x     = j i j dx iK dx x K i dx x x dx →  = −  → =   = + ( ) 1 [ , ] ( ) i ' ' ' ' ' '        [xi , x j ] = 0

4）动量：平移生成元/坐标动量对易关系K= / h ---> [xi,p,] = ihdijip,ArT(△x'x) = exp([pi,P,]=0(阿贝尔群）h算符函数以其泰勒级数展开理解动量本征失是平移算符的本征矢5）正则对易关系狄拉克规则aBOA OAaB[A, B][A(q, P), B(q, )]lassical =- Z(inOp, OqsOq, Opss

4）动量：平移生成元/坐标动量对易关系 算符函数以其泰勒级数展开理解 动量本征矢是平移算符的本征矢 5）正则对易关系 狄拉克规则 ( ˆ) exp( ); [ , ] 0 (阿贝尔群） ' ' =   = − i j x p p ip x T x x  i A B q B p A p B q A A q p B q p s s s s s classical [ , ] [ ( , ), ( , )] ( ) →     −     =  K p  x i pj i i j   = / - -  [ , ] =

81.7坐标与动量空间的波函数坐标空间波函数以坐标本征矢|x)为基［xx)=xx），《xx")=(x-x")],得：[α)=[dx|x)(x'[α)展开系数（xα)的物理解释：Kxlα)d’是在x'处dx"范围内找到粒子的几率（属于矢量空间的自然特性）。内积(x|α）就是通常所指的态[α)的波函数：(x)=<xlα)因《βα)=[dx(β|x)<x|α)=[dxy(x)(x)，在[α)找到态[β)的几率振幅《βα)常被称为[α）与[β）的交叠积分。一般态α）以算符本征态展开在坐标表象中可理解为V (x)=(x[α)=Z(x|a")(a'lα)=Ec.U.(x)其中U(x)=(xα）是A的本征值为a"的本征波函数。（这种展开在理论和计算中广泛使用）

§ 1.7 坐标与动量空间的波函数 一、 坐标空间波函数 ◼ 以坐标本征矢 为基[ , ], ◼ 得: ◼ 展开系数 的物理解释： 是在x’处dx’范围内找 到粒子的几率（属于矢量空间的自然特性）。 ◼ 内积 就是通常所指的态 的波函数： ◼ 因 ,在 找到态 的几率 振幅 常被称为 与 的交叠积分。 ◼ 一般态 以算符本征态展开在坐标表象中可理解为 ◼ 其中 是A的本征值为a ’的本征波函数。 ◼ （这种展开在理论和计算中广泛使用） x  x x x x    =   = dx x x    |  x x x x     = −  ( ) x   2 x dx   | x   ( x x ) |       =       dx x x dx x x   ( ) ( )  = =                ' ' ( ') ( ) a a a a x x x a a C U x       = = =        ' ( ) ' a U x x a   =

作业1.10, 1.29

作业 1.10，1.29