第七章全同粒子87.1.交换对称一、不可区分与交换简并微观粒子的状态由一组完整对易可观测量本征态标示，不能象跟踪经典粒子轨迹那样区分不同粒子。因此，微观粒子在本质上是不可区分的。若粒子1处|k>，粒子2处k">，两粒子的状态为k>|k")=k"?k")k'k"时，lk'>k">与k">k'>不同且正交但若实验测得[k,k"}，可推测出的一般态应为c|k"|k")+c2k">|k该特点称为交换简并性交换简并性影响对测量结果的预言
第七章 全同粒子 §7.1 交换对称 ◼ 一、不可区分与交换简并 ◼ 微观粒子的状态由一组完整对易可观测量本征态标示，不能象跟踪经 典粒子轨迹那样区分不同粒子。 ◼ 因此，微观粒子在本质上是不可区分的。 ◼ 若粒子1处|k’>，粒子2处|k’’>，两粒子的状态为 ◼ k’≠k’’时，|k’> |k’’>与|k’’>|k’>不同且正交 ◼ 但若实验测得{k’,k’’}，可推测出的一般态应为 ◼ 该特点称为交换简并性 ◼ 交换简并性影响对测量结果的预言 k k k k ' '' ' '' = 1 2 c k k c k k ' '' '' ' +
二、交换算符将粒子1、2状态交换的算符P12：P2kk")=k"k"自然有:Pz=P21；P2=P,P2=1.P12的本征值为±1由于 P2A|a")[a")=a'P2|a'")|a")=a'|a")[a")= P2A,P2'P2|a')[a")= P2A,P2'[α")[a")得：PzAP2'=A；P2A = AP2即P12将观测量算符中的粒子标记1、2作了互换从全同性考虑，P12应与H对易，即P12是运动常量。若初始状态为P12的本征态，则体系一直保持为P12的本征态。对两粒子体系，可能的P12本征失为:kk")=亏(k|k")+[k"/k")将对称化(S12=（1+Pi2)/2)或反对称化(A2=(1-P2)/2)算符作用于任意态，可得P12的本征态：P2S12 = S12; P2A2 = -A12
二、交换算符 ◼ 将粒子1、2状态交换的算符P12： ◼ 自然有： P12的本征值为±1 ◼ 由于 , ◼ 得： ; ◼ 即P12将观测量算符中的粒子标记1、2作了互换 ◼ 从全同性考虑，P12应与H对易，即P12是运动常量。若初始状态为 P12的本征态，则体系一直保持为P12的本征态。 ◼ 对两粒子体系，可能的P12本征矢为： ◼ 将对称化( )或反对称化( )算符作用 于任意态，可得P12的本征态： 12 P k k k k ' '' '' ' = 2 12 21 12 12 12 P P P P P = = = ; 1. 1 P A P A 12 1 12 2 − = 12 1 12 1 1 12 1 12 12 12 1 12 ' '' ' ' '' ' '' ' ' '' '' ' P A a a a P a a a a a P A P P a a P A P a a − − = = = = 1 ' '' ( ' '' '' ' ) 2 k k k k k k = P12A1 = A2 P12 12 12 S P = + (1 ) / 2 12 12 A P = − (1 ) / 2 12 12 12 12 12 12 P S S P A A = = − ;
与P12相似，可定义Pi:P,|k'?k")...k...k..-|kk"........一般而言，[Pi,P,]±0（但ijkl各不相同时是对易的为方便计，有时用Pik=P,Pik。如P23|k/k"|k")=k">|k">|k对任意态组合，只能构造一个完全对称或反对称的态（P12及其他Pi具有相同本征值）。例如：['k"k")=(k)]/k")]")+|k")]|k">|k")±|k")|k">|k"+|k">/k/k")±|kk">/k")但只要有任意两态相同，则无法构造完全反对称态，而只能构造出完全对称态。如：[k'k'k")=一-(/k')/k/k")+[k"/k"/k)+|k")/k")/k")厂对N粒子体系，若ki态的占据数为Ni，则归一化常数为：N,!N,!.N,！N!考虑独立状态数的不变性，会有非完全对称或反对称的态
◼ 与P12相似，可定义Pij： ◼ 一般而言， (但ijkl各不相同时是对易的） ◼ 为方便计，有时用 。如 ◼ 对任意态组合，只能构造一个完全对称或反对称的态（P12及其他Pij 具有相同本征值）。例如： ◼ 但只要有任意两态相同，则无法构造完全反对称态，而只能构造出完 全对称态。如： ◼ 对N粒子体系，若ki态的占据数为Ni，则归一化常数为： ◼ 考虑独立状态数的不变性，会有非完全对称或反对称的态。 123 P k k k k k k ' '' ''' '' ''' ' = [ , ] 0 P P ij kl 1 1 ' '' ' '' i i j j i i P k k k k k k k k k k ij + + = P P P ijk ij ik = 1 ' '' ''' { ' '' ''' '' ' ''' 6 '' ''' ' ''' '' ' ''' ' '' ' ''' '' } k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k = + + 1 ' ' '' { ' ' '' ' '' ' '' ' ' } 3 k k k k k k k k k k k k + = + + 1 2 ! ! ! ! N N Nn N
87.2对称性假设观测表明自然界没有混合对称性的全同粒子，并且：PN个全同玻色子)=+|N个全同玻色子P,N个全同费米子)=-N个全同费米子玻色-爱因斯坦统计(玻色子)：自旋为整数的粒子>波色爱因斯坦凝聚费米-狄拉克统计（费米子）：自旋半整数粒子>泡利不相容原理(k")|k")-|k">|k");[k")[k"),|k")|k")(/k"/k")+|k">/k)Fermi-Diracstatistics（泡利不相容）→>Maxwell-Boltzmannstatistics>Bose-Einsteinstatistics（不同粒子占据相同态的倾向最强）
§7.2 对称性假设 ◼ 观测表明自然界没有混合对称性的全同粒子，并且： ◼ 玻色-爱因斯坦统计(玻色子)：自旋为整数的粒子→波色爱因斯坦凝聚 ◼ 费米-狄拉克统计（费米子）：自旋半整数粒子→泡利不相容原理 ◼ Fermi-Dirac statistics（泡利不相容）→ Maxwell-Boltzmann statistics → Bose-Einstein statistics（不同粒子占据相同态的倾向最强） P N N ij 个全同玻色子 = + 个全同玻色子 - P N N ij 个全同费米子 = 个全同费米子 1 1 ( ' '' '' ' ); ' ' , '' '' , ( ' '' '' ' ) 2 2 k k k k k k k k k k k k − +
87.3两电子体系Y(x,ms1,x2, m2) =ZZC(ms1,ms2)交换密度项，对自旋单态和三态的几率密度有不同影响（但若WA和WB无交叠时，交换密度项无贡献，全同粒子可区分
§7.3 两电子体系 ◼ 若 对能量本征态有： ◼ ◼ 对 ◼ →交换密度项，对自旋单态和三态的几率密度有不同影响（但若ωA和 ωB无交叠时，交换密度项无贡献，全同粒子可区分。 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 = → ( , , , ) ( , ) , ; , ( , ) ( , ) s s s s s s s s s s m m x m x m C m m x m x m x x m m 12 12 12 = space spin P P P 2 [ , ] 0, tot S H = 2 1 2 ( , ) , tot = x x S 其中 为 本征态，即自旋单态（交换反对称） 或三态（交换对称） 222 1 2 1 2 ( , , ), H H H f S S S = + + tot 1 2 1 2 2 1 1 ( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )], 2 A B A B x x x x x x = 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 * * 1 2 2 1 ( , ) { ( ) ( ) ( ) ( ) 2Re[ ( ) ( ) ( ) ( )]}, A B A B A B A B x x x x x x x x x x = +
$7.4原子e?2e22e?H=+P2m2mr112r2把电子间相互作用看作微扰，考虑(1s)(nlm)态1[100(x)nlm(x)±100(x)nlm(x)]D(x.x2Z3-Z(n+r2)/ao %00基态为y100(x）100(x)x(Z=2),πaoZ?eE(0)0阶能量：比实验大30eV（约40%）ao14元1利用IYm(0,d)Ym(02,p)P(cos)=P(cos ) 21+1ri21=01Vr?+r?-2rrcosye27e-2Z(n+n)/ao d'x,dx可得1阶微扰E(1)ri21ri2能量修正：(1s)2Z65Ze2-2Z(r+r)/a0r1-2Z(r+)/addi微扰结果只偏8 ao元ar1离实验值4eV
§7.4 氦原子 ◼ 把电子间相互作用看作微扰，考虑(1s)(nlm)态 ◼ ◼ 0阶能量： 比实验大30 eV (约40%） ◼ 利用 1 2 2 12 0 1 2 1 2 1 1 (cos ) 2 cos l l l l r P r r r r r r + = = = + − 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12 2 2 = 2 2 p p e e e H m m r r r + − − + 1 2 0 3 ( )/ 100 1 100 2 00 00 3 0 (Z=2), Z Z r r a x x e a − + 基态为 ( ) ( ) = 1 2 100 1 2 100 2 1 1 ( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )], 2 nlm nlm x x x x x x = 2 2 (0) 0 , Z e E a = − * 1 1 2 2 4 (cos ) ( , ) ( , ) 2 1 l m m l l l m l P Y Y l = − = + 1 2 0 2 1 1 2 0 1 2 0 1 2 6 2 (1) 3 3 2 ( )/ 2 6 1 2 12 0 12 (1 ) 6 2 2 2 2 2 2 2 ( )/ 2 ( )/ 2 6 2 2 2 2 1 1 0 0 0 1 2 0 1 1 5 = (4 ) [ ] 8 − + − + − + = = + = Z r r a s r Z r r a Z r r a r e Z e E e d x d x r a r Z e Z e e r dr e r dr r dr a r r a ◼可得1阶微扰 能量修正： 微扰结果只偏 离实验值4 eV
87.4氢原子基态能量（变分法）考虑电子云对核电荷的屏蔽作用，把Z作为变分参量Zeff，可显著改善基态能量的结果。3eff30/a基态波函数为<,元aZe?Ze?=(o+e12m2m2rr212a275Zer 优化= 2-E.=-77.5eV1616与实验值-78.8eV比较接近（引入更多变分参量如2s成分，结果可进一步改善。）
§7.4 氦原子基态能量（变分法） ◼ 考虑电子云对核电荷的屏蔽作用，把Z作为变分参量Zeff，可显著改善 基态能量的结果。 ◼ ◼ 与实验值-78.8eV比较接近 ◼ （引入更多变分参量如2s成分，结果可进一步改善。） 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 12 0 5 = 0 0 (2 2 ) 2 2 2 8 + − − + = − + eff eff eff p p Ze Ze e e Z H ZZ Z m m r r r a 0 5 27 | 2- = , E 77.5 16 16 Z eV eff 优化 = = − 1 2 0 3 ( )/ 1 2 3 0 基态波函数为 , 0 , − + = eff Z r r a eff Z x x e a
交换积分/作用对激发态（如(1s)(nlm)，全同性效应显著E = Eroo +Enlm +E=I土J（"+"对应于自旋单态，“”对应于自旋三态）AE=ri21=[di(m()为库伦（直接）积分ri2J=[dxdx10(（)Wmm()=i0()mm(）为交换积分>0ri211P(cosyri2r+r-2rrscosy4元(9,)Y(2,)P(cos )= 21+1单态能量高、三态能量低（洪德规则）可见交换对称性使得对于H与自旋无关的体系，其能级却与自旋态有关
交换积分/作用 ◼ 对激发态（如(1s)(nlm)，全同性效应显著 ◼ ◼ 单态能量高、三态能量低（洪德规则） ◼ 可见交换对称性使得对于H与自旋无关的体系，其能级却与自旋态有关 100 2 12 (" " - , E E E E nlm e E I J r = + + = = + 对应于自旋单态，“”对应于自旋三态） 2 2 2 3 3 1 2 100 1 2 12 ( ) ( ) nlm e I dx dx x x r = 为库伦（直接）积分 2 3 3 * * 1 2 100 1 2 100 2 1 12 ( ) ( ) ( ) ( ) nlm nlm e J dx dx x x x x r = 为交换积分>0 1 2 2 12 0 1 2 1 2 1 1 (cos ) 2 cos l l l l r P r r r r r r + = = = + − * 1 1 2 2 4 (cos ) ( , ) ( , ) 2 1 l m m l l l m l P Y Y l = − = +
磁性的海森堡模型4-3h?P(spin)(1由于 S,S,(三态）或(单态)12h2244可将上述不同自旋态能量项改写为：△E=I±J=S2.2h22y(I-.S,=I'+J'a·02h对属于相邻原子的电子间交换作用，也可用相似关系描述。故有关于磁性的海森堡模型：H=J,,·，（J,通常只对近邻原子不为0)i
磁性的海森堡模型 ◼ 由于 ◼ 可将上述不同自旋态能量项改写为： ◼ 对属于相邻原子的电子间交换作用，也可用相似关系描述。故有 关于磁性的海森堡模型： 2 1 2 2 1 2 1 2 1 4 (1 ) 2 2 ( ) ' ' 2 E I J I S S J J J I S S I J = = − + = − − = + 2 2 1 2 -3 S = ( ) ( ) 4 4 S 三态 或 单态 ( ) 12 1 2 2 1 4 (1 S ) 2 spin P S = + 0 ij i j ij ij H J J = （ 通常只对近邻原子不为 ）
作业：7.2、7.3
作业: 7.2、7.3