第六章散射理论散射是探测物质结构如质量、电荷和势场分布的主要实验途径：探针粒子（连续态）受不同势散射而有不同的终态（连续态）特征（原子结构、夸克模型）。粒子束在介质中的穿透与吸收也与散射密切相关。因此，散射理论具有众多重要的应用。散射问题常可用含时微扰的方法，也可以用定态微扰的方法处理
第六章 散射理论 散射是探测物质结构如质量、电荷和势场分布的主要实验途径： 探针粒子（连续态）受不同势散射而有不同的终态（连续态）特征 （原子结构、夸克模型）。粒子束在介质中的穿透与吸收也与散射 密切相关。因此，散射理论具有众多重要的应用。 ◼ 散射问题常可用含时微扰的方法，也可以用定态微扰的方法处理
86.1散射的定态微扰处理方式H=Ho+V, Ho=p2/2m, Ho|Φ>=E | Φ >考虑|ΦD>受V的定态散射>(H+V/4>=E|>(E-Ho)/4>=V4>考虑到能谱的连续性，去除奇点的形式解为：1I(±))=)+E-Ho±ie上式称为Lippmann-Schwinger方程对坐标基（也可以采用其他表象）：1=p>，有：eipx/h<x/Φ) =(2mh)3/2
§6.1 散射的定态微扰处理方式 ◼ H=H0+V, H0=p2 /2m, H0 |Φ>=E|Φ> ◼ 考虑|Φ>受V的定态散射→(H0+V)|Ψ>=E|Ψ> ◼ (E-H0 )|Ψ>=V|Ψ> ◼ 考虑到能谱的连续性，去除奇点的形式解为： ◼ 上式称为Lippmann-Schwinger 方程 ◼ 对坐标基（也可以采用其他表象）： ◼ 例如，对|Φ>=|p>，有：
π21计算 G+(x, x")2mE-Ho±it1π2/p'(E-(p2/2m）±i82meip" (x-x)/hπ2d'p'(记 p=hq2m(2元)3 [E - (p'2/2m) ± ie]+1 d(cos 0)e'lql/x-xjcos 61k2-q?±ieeiqix-x-e-iqlx-xi-1q?-k?fie8㎡2 ix-8e ±ikix-x1(E=h2k2 /2m)4㎡[x-x1
计算 （记 == 2 2 ( / 2 ) E k m =
于是形式解为：2m(x/4(±))= (xlΦ)dh24x-x对局域势：=d3x"(x"l(±))=V(x)(x±(±))得:±ik/x一x'2m13V(x)<x'l4(±))(x/μ(±))=<xlΦ)d24元×-x(右边：入射波+散射波形式
◼ 于是形式解为： ◼ 对局域势： ◼ 得： ◼ (右边：入射波+散射波形式)
考虑观察点远离势中心ObservationpointX≤》区，=区X -Xr'=x α=Z(x,x)k =pi /h1/2/22rx-x=Vr2-2rr'cosα+ r 2cosα+2xF==r-fx'(xe ±ik]x-xl_e ±ikre fik'-x'k'=kr0etk-xP,(x|k)k=(2m)3/2<kk)=8(3)(k-k")h
◼ 考虑观察点远离势中心
可以得到：FK12mlarge山(+))3x'e-ik'x'V(x')(xl+(+))4Th2kOik.其中出射球面波振幅（散射振幅）为：3x'e-ikx12mf(k',k) =)<x±(+))x"(2㎡)3/24㎡h212mV[(+))= TlΦ)(+))kVly(4Th24元(K'||)h2
可以得到： 其中出射球面波振幅（散射振幅）为： 2 2 4 ' m k T k = −
微分散射截面（单位立体角内的跃迁速率除以流量）danumber of particles scattered into d2 per unit timed2ds2number of incident particles crossing unit area per unit time2ljscattldoIf(k',k) /2d02[jinciddgd=1f(k,k)/2
微分散射截面（单位立体角内的跃迁速率除以流量）
86.2散射的含时微扰处理方式H=Ho+V, Ho=p2/2mHolΦ>=E|>(a)(b)平面波~尺度远大于势作用范围的波包入射粒子接触到V时，微扰散射势才被打开α,t;to), = U,(t,to)|α,to;to)7U,(t,t) =1-T"V(t)),(t, t)dth.(n|U,(t, t)i) = 8m -(n|m) J eio" (m|U,(t,t)|i) dth第一阶近似以费米黄金规则形式出现(n|U,(t,to)|i) = on. dth
§6.2 散射的含时微扰处理方式 ◼ H=H0+V, H0=p2 /2m ◼ H0 |Φ>=E|Φ> ◼ 入射粒子接触到V时，微扰散射势才被打开 ◼ 第一阶近似以费米黄金规则形式出现 平面波~尺度远大于势作用范围的波包 0 0 0 0 , ; ( , ) , ; I I I t t U t t t t = 0 ' ' ' 0 0 ( , ) 1 ( ) ( , ) t I I I t i U t t V t U t t dt = − ' 0 ' ' 0 0 ( , ) ( , ) nm t i t I ni I t m i n U t t i n V m e m U t t i dt = − ' ' 0 ' 0 ( , ) ni t i t t I ni ni t i n U t t i V e dt + = −
86.2散射的含时微扰处理方式（续）261--今10dtCniJt散射矩阵（S矩阵）：S,，=lim[1im《n|U,(t，-oo)|i)t-86-0e'ont+sti11iont(n|,(t, -)|) = - tetdtTenininhhio+ni26e2etd1(n[U,(t, -00) [i) P跃迁速率：の(i→n)dth0) = 2 , 6(E, - E,) → 2元h2元mkdQ1nhh?2元mL3o(idan)→（最终散射截面与定态微扰结果相同）dpV2元h4元mdaf(k',k)kkL12
§6.2 散射的含时微扰处理方式（续） ◼ 令 ◼ 散射矩阵（S矩阵）： ◼ 跃迁速率： ◼ （最终散射截面与定态微扰结果相同） ' ' 0 ' 0 ( , ) ni t i t t I ni ni t i n U t t i T e dt + = − 0 lim[lim ( , ) ni I t S n U t i → → = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 ( ) | ( , ) | 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 t I ni ni ni ni ni n i ni n ni d e i n n U t i T dt T T E E T E mk L T d → = − = + = = − → = ' ' ' ( , ) ni ni i t t t i t t I ni ni ni i i e n U t i T e dt T i + + − − = − = − + 3 2 2 2 3 ( ) ( ) 2 ni d i n mL T d v d L → = = 2 2 4 ( ', ) ' m f k k k T k = −
e±ik/x-x(x[±(±))=(x[Φ)-V(x")提供了一种检测球心势的途径大q时，f（①）小（高能粒子穿透能力强）
§6.3 波恩近似 一、将 代入散射振幅公式 ◼ 得一阶波恩近似： ◼ 记 ◼ 则对球心势有 ◼ 一阶球心势散射特点：1） ◼ 2） 与V的符号无关 ◼ k很小时（q必然小），f与θ无关 → 提供了一种检测球心势的途径 ◼ 大q时， f（θ）小（高能粒子穿透能力强） 1 q f（（） ） 仅依赖于 ，且为实数 2 ( ) = d f d