81.7坐标与动量空间的波函数坐标空间波函数以坐标本征矢|x)为基［xx)=xx），《xx")=(x-x")],得：[α)=[dx|x)(x'[α)展开系数（xα)的物理解释：Kxlα)d’是在x'处dx"范围内找到粒子的几率（属于矢量空间的自然特性）。内积(x|α）就是通常所指的态[α)的波函数：(x)=<xlα)因《βα)=[dx(β|x)<x|α)=[dxy(x)(x)，在[α)找到态[β)的几率振幅《βα)常被称为[α）与[β）的交叠积分。一般态α）以算符本征态展开在坐标表象中可理解为V (x)=(x[α)=Z(x|a")(a'lα)=Ec.U.(x)其中U(x)=(xα）是A的本征值为a"的本征波函数。（这种展开在理论和计算中广泛使用）
§ 1.7 坐标与动量空间的波函数 一、 坐标空间波函数 ◼ 以坐标本征矢 为基[ , ], ◼ 得: ◼ 展开系数 的物理解释： 是在x’处dx’范围内找 到粒子的几率（属于矢量空间的自然特性）。 ◼ 内积 就是通常所指的态 的波函数： ◼ 因 ,在 找到态 的几率 振幅 常被称为 与 的交叠积分。 ◼ 一般态 以算符本征态展开在坐标表象中可理解为 ◼ 其中 是A的本征值为a ’的本征波函数。 ◼ （这种展开在理论和计算中广泛使用） x x x x x = = dx x x | x x x x = − ( ) x 2 x dx | x ( x x ) | = dx x x dx x x ( ) ( ) = = ' ' ( ') ( ) a a a a x x x a a C U x = = = ' ( ) ' a U x x a =
二、算符在坐标空间的表示(β|A|α)=[dx'dx"(β|x")(x'|A|x")(x"|α)=[ dx'dx"vs(x)(x'[A|x")y. (x")(xIA|x"）是x'和x"的函数。若A是坐标算符的函数，则(x/A(x)x)=A(")数 (x|x")=A(x)6(x"-x")于是(β|A|α)= [dx'y(x)A(x)ya (x)注：上面的记号中，在方程左边的A是算符，而右边是数
二、算符在坐标空间的表示 是x’和x’’的函数。若A是坐标算符的函数， 则 于是 注：上面的记号中，在方程左边的A是算符，而右边是数 = dx dx x x x x | dx dx x x x x ( ) | ( ) = x x | x x x x x x x x x | | = = − ( ) ( ) ( ) ( ) 数 | dx x x x ( ) ( ) ( ) =
三、坐标表象中的动量算符ipAx)=[dxT(Ax)|x)(x[α) =[dx|x'+Ax')(x[α)=[dx|x)(x'-Ax'[α)1. 由Yx/<x/α)-Arx'adx'xO得 Pla)=[dx|x)(-ih)%(x/aα<xIplα)=-ih或x'aax5O即p在坐标表象的矩阵元为(x'lp|x")=-i2且 <βIplα)=[dx(β|x)(-ih%/-ih(xlα) =fdx'y(x)动量算符在坐标表象的表示，是从动量算符的基本性质中推导出来的类似可证(x"a)=(-ih)(xa);(Bp"a)=Jax(x)(-i)((BIf(p)lα)=Jdxye(x)Jlx-l
三、坐标表象中的动量算符 1. 由 得 或 ◼ 即p在坐标表象的矩阵元为 ◼ 且 ◼ →动量算符在坐标表象的表示，是从动量算符的基本性质 中推导出来的. ◼ 类似可证 ； 1 ( ) ip x dx x x x − = = + = − dx x x x dx x x x dx x x x x x = − p dx x i x ( ) x = － x p i x | | x = − x p x i x x | ( ) x = − − | p dx x i x x = − dx x i x ( ) ( ) x = − | ( ) n n n n x p i x x = − | ( )( ) ( ) n n n n p dx x i x x = − | f p dx x f i x ( ) ( ) ( ) x = −
四、动量空间的波函数plp")= p|p"), (p'lp")=(p'-p"), lα)=[dplp"p'lα)展开系数<pα)具有与(xα)类似的几率解释，即<pα)dp是在p'处dp'范围内粒子出现的几率，或者说是测得粒子动量为p'附近dp'范围内的几率。<p'[α) =Φα (p)《plα）常被称为动量空间波函数：若α）归一，则[dp'(α|p')<p'α)=[dp' (p')P=1
四、动量空间的波函数 ， ， 展开系数 具有与 类似的几率解释，即 是在 处 范围内粒子出现的几率，或者说是测得粒子动 量为 附近 范围内的几率 。 常被称为动量空间波函数： 若 归一，则 p p p p = p p p p = − ( ) = dp p p p x 2 | | p dp p p dp dp p p p = ( ) ( ) 2 dp p p dp p | | 1 = =
五、x表象与p表象的联系由x-表象到p-表象的变换函数<xp）而联系由(xplp")=-ih(x|p")=p(xp")ax得 (x'|p)=Ce(ip'x/ h)是动量本征态在x-表象的波函数。可见动量本征态波函数是一平面波，这一结论无需通过求解Schrodinger方程。除相位因子处，归一常数c可定出ip'x/n为2，即（xp")=2元h因(x|α)={dpx|p"p'lα)，可知坐标空间波函数与动量空间波函数的关系为，, (m)=[a"()2dx'e-ip'x/nya (x)类似有<pα)=(pl)=dx(px)(xα)与前面的关系互为付氏变换
五、x表象与p表象的联系 由x-表象到p-表象的变换函数 而联系 ◼ 由 ◼ 得 是动量本征态在x-表象的波函数。 ◼ 可见动量本征态波函数是一平面波，这一结论无需通过求 解 方程。除相位因子处，归一常数c可定出 为 ， 即 ◼ 因 ，可知坐标空间波函数与动量空间 波函数的关系为， ◼ 类似有 与前面的关系互为付氏变换 x p x p p i x p p x p | | x = − = (ip x / ) x p Ce = Schrodinger 1 2 1 / 2 ip x x p e = x dp x p p = ( ) ( ) 1 / 2 ip x x dp e p = p p dx p x x = = ( ) ( ) 1 / 2 ip x dx e x − =
x21ikx'六(1/2)、高斯波包：2d2e元Na即波失为的平面波受中心位于原点的高斯轮厚调制而得的函数，粒子出现于距原点大于d处的几率以高斯形式衰减高斯波包是满足最小测不准原理的波包:(<sr)(ap)=^-Pl)/4(x)=[dx(α|x)x(x|α)=[dx"1(x|α)P x'=0;d?2dx'x'2(x2)=dxx21xα)P021元d2((Ar))=(x2)-(x)x的色散为2h?类似可求得(4p)= 2d2d?+h°k?;(p)=hk,(p2
六(1/2)、高斯波包： 即波矢为k的平面波受中心位于原点的高斯轮廓调制而得的函 数，粒子出现于距原点大于d处的几率以高斯形式衰减。 高斯波包是满足最小测不准原理的波包: ； x的色散为 类似可求得 ； 2 2 1 4 2 1 x ikx d x e d − = 2 x dx x x x dx x x | | 0 − − = = = 2 2 2 2 2 2 2 1 | | 2 x d d x dx x x dx x e d − − − = = = ( ) 2 2 2 2 2 d = − = x x x 2 2 2 2 2 , 2 p k p k d = = + ( ) 2 2 2 2 p d = ( ) ( ) 2 2 2 2 | , | 4 4 x p = = x p
1621六(2/2)、高斯波包：(xα)2d2e元/d动量空间的高斯波包为(p'-hk)ddxexp2h?元即动量空间的高斯波包波函数也具有高斯函数的形式，只是展开与坐标空间的展宽成反比。在x空间的展宽越大则在p空间展宽越小，反之亦然在x空间无限延展的平面波具有确定的动量值，而具有确定位置的态则在p空间是无限延展的平面波
六(2/2)、高斯波包： 动量空间的高斯波包为 即动量空间的高斯波包波函数也具有高斯函数的形式，只是 展开与坐标空间的展宽成反比。在x空间的展宽越大则在p空 间展宽越小,反之亦然。 在x空间无限延展的平面波具有确定的动量值，而具有确定位 置的态则在 p空间是无限延展的平面波。 2 2 1 4 2 1 x ikx d x e d − = 1 2 x ip p dx e x − − = ( ) 2 2 2 exp 2 d p k d − − =
七、对三维的推广上面一维空间的表达式很容易推广到三维，需要的变动包括：[x)→[3)8(x'-x") →8(X-x)aa[p')→[P)8(p'-p")→s(p-p)-ih-ihaxaxip.x/t元
七、对三维的推广 上面一维空间的表达式很容易推广到三维，需要的变动包 括 ： x x → p p → ( x x x x − → − ) ( ) i i x x − → − ( p p p p − → − ) ( ) ( ) / 3 2 1 2 i p x x p e = ( ) ( ) 3 ( ) 2 1 2 p x i x d p e p = ( ) ( ) 3 ( ) 2 1 2 p x i p d x e x − =
第二章：量子动力学(物理状态和观测量随时间的变化）Schrodinger方程2. 1时间演化和时间在量子力学中是参量而非算符，不是可观测量。相对性量子理论通过将位置作为参量而将时空对等处理相对论时空观：时间-空间、能量-动量相互转化能量量子化动量量子化波：波长、频率；粒子：动量、能量能量=普朗克常数X波的频率→某方向动量=普朗克常数×该方向波数deBroglie波提供了适用于所有物理基本单元的新原理：将世界看做由多场而非多点粒子作用组成而使所有物理得到统一deBroglie波是对牛顿力学基本概念的颠覆，并直接启发了薛定波方程一、时间演化算符时间演化[α,to) =[α)α.t.α,t;t) =u(t,to)|α,to)
第二章：量子动力学 (物理状态和观测量随时间的变化) 2.1 时间演化和 方程 ◼ 时间在量子力学中是参量而非算符，不是可观测量。 ◼ 相对性量子理论通过将位置作为参量而将时空对等处理 相对论时空观：时间-空间、能量-动量 相互转化 能量量子化 → 动量量子化 波：波长、频率; 粒子：动量、能量 能量=普朗克常数 x 波的频率 → 某方向动量=普朗克常数 x 该方向波数 de Broglie波提供了适用于所有物理基本单元的新原理：将世界看做由多 场而非多点粒子作用组成而使所有物理得到统一 de Broglie波是对牛顿力学基本概念的颠覆，并直接启发了薛定谔波方程 一、时间演化算符 Schrodinger 0 0 , , t t t = ⎯⎯⎯⎯→ 时间演化 ； , ; , , t t u t t t o = ( 0 0 )
二、时间演化算符的性质limlα,to;t)=[α) lim u(to,t)=11.（时间的）连续性t-→>to2.幺正性（几率守恒）ut(to,t)u(to,t)=l(α,to|α,to) =1=(α,to;t|α,to;t)=1 →即对 [α,t。)=ca(t)la'), [α,t;t)=Zc(0)la') ,ZIca (t)P=-ZIca()P=1有3. 结合性： u(t2,to)=u(t2,ti)u(ti,to)(t>t>t)
二、时间演化算符的性质 1. (时间的)连续性 → 2. 幺正性（几率守恒） → 即对 ， 有 3. 结合性： 0 0 0 0 , , 1 , ; , ; 1 t t t t t t = = u t t u t t ( o o , , 1 ) ( ) + = , , , ; o a o o a ( ) ( ) a a t c t a t t c t a = = ( ) ( ) 2 2 | | | | 1 a o a a a c t c t = = u t t u t t u t t ( 2 0 2 1 1 0 , , , ) = ( ) ( ) (t t t 2 1 0 ) 0 0 lim , ; t t t t → = lim ( 0 , ) 1 0 = → u t t t t