83.11张量算符一、矢量算符ZR,变换，要求量子力学中的矢量在转动下其分量V按矢量算符之期望值在转动下具有与经典失量在转动下的变换行为：<α|Vlα) -<α|t(R)V,(R)/α) = ZR,(α|Vlα)即 2(R)V9(R)=ER,ieJ.nV,J.n]=- ZR,(n;e)V对无穷小角转动 の(R)=1V-hh分析x,y,z分量可得出：[V,]=ieijkhVk上式可作为矢量算符的定义。因角动量算符的对易关系是上式的特例，故角动量是矢量算符。类似地，x，p也是矢量算符。矢量算符对易关系也决定了其有限转角下的变换行为-j,Φ).9[,[J,[[j,V].]]V.exphF
§3.11 张量算符 一、矢量算符 ◼ 矢量在转动下其分量Vi按 变换，要求量子力学中的 矢量算符之期望值在转动下具有与经典矢量在转动下的变 换行为： ◼ 即 ◼ 对无穷小角转动 → ◼ 分析x,y,z分量可得出: ◼ 上式可作为矢量算符的定义。 ◼ 因角动量算符的对易关系是上式的特例，故角动量是矢量 算符。类似地，x, p也是矢量算符。 ◼ 矢量算符对易关系也决定了其有限转角下的变换行为 ◼ （ ， ） j RijVj
二、直角张量和不可约张量将量变换推广，定义直角张量Ti的转动变换性质：Tjk... EEE.. R..R... T'k.ijk'指标ijk...的数目称为张量的“阶”（“秩”）。相比 t(R)V(R)=R,V1对应于D+(R)TikD(R) = D+(R)U,D(R)D+(R)V,D(R)D+(R)W,D(R)..3″分量的变换可看做n个3维量直积的变换3独立分量>J=1：n个J=1直积空间的转动可约化为一定数量不可约空间的直和
二、直角张量和不可约张量 ◼ 将矢量变换推广,定义直角张量Tijk的转动变换性质： ◼ 指标ijk.的数目称为张量的“阶”（“秩”）。 ◼ 相比 ◼ 对应于 ◼ 分量的变换可看做n个3维矢量直积的变换 ◼ 3独立分量→J=1；n个J=1直积空间的转动可约化为一定 数量不可约空间的直和。 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). D R T D R D R U D R D R V D R D R W D R ijk i j k + + + + = 3 n
例如：将两矢量U,V笛卡分量相乘构成T的分量，T,=UV，有9个分量，是二阶笛卡张量笛卡张量具有可约性的缺陷，即可分解为具有不同转动变换性质的几部分，如(UV, -U,V)UV, +UVU.vU·V3222三部分的独立分量对应L=0.1.2的角动量多重性。笛卡张量可分解为按0，1，2阶球谐函数变换的三个张量。因此，球张量更基本
例如： ◼ 将两矢量U,V笛卡分量相乘构成T的分量， , 有9个 分量，是二阶笛卡张量。 ◼ 笛卡张量具有可约性的缺陷，即可分解为具有不同转动变 换性质的几部分，如 ◼ 三部分的独立分量对应L=0,1,2的角动量多重性。笛卡张 量可分解为按0，1，2阶球谐函数变换的三个张量。因此， 球张量更基本
三、球张量算符球张量的定义是参考球谐函数的转动变换性质来给出的对 >→(R))=)由于 (R-1)Il,m)=Zll,m)Mm(R-1)m'→Ym(n) =ZYm(n)のmm(R-1)m'采用 n→V (nx→V, n, →V,nz→V)对应算符的变换结果：t(R)Ym(V)O(R) = Z Ym(V)Mm(R)m
三、球张量算符 ◼ 球张量的定义是参考球谐函数的转动变换性质来给出的 ◼ 对 ◼ 由于 ◼ 采用 ◼ 对应算符的变换结果： x y z ˆ (n , n ,n ) x y z n V V V V → → → → →
球张量算符球谐函数的转动变换结果：t(R)Ym(V)(R) = ZYm(V)O()(R)m定义k阶（秩）球张量算符为kE (k)(R)T(k)D(R)T(k)(R) =g'=-k其中g的个数（即张量的分量数）为2k+1。等价地有k(R)T(*)Ot(R)= Z ))(R)T,k)q'=-k不难看出T(k)=Ym=9(V）是磁量子数为q的k阶球张量。但T仓包括更普遍的球张量形式（如（U，+iU,)V,+iV））
球张量 ◼ 算符球谐函数的转动变换结果： ◼ 定义k阶（秩）球张量算符为 ◼ 其中q的个数（即张量的分量数）为2k+1。等价地有 ◼ 不难看出 是磁量子数为q的k阶球张量。 ◼ 但 包括更普遍的球张量形式（如 ( )( ) U iU V iV x y x y + + ）。 k T q
注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如：333ZYoT(1)cose:0444㎡Vtivy33x±iyT(1)土1王±14m4TV2rV2J,=-J+ / N2, J。=J., J,= J_ / N2J? = -(JJ-1 + J-J)+ J?U.V=-(UV, +U,V)+U.V
◼ 注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如： ◼ → 1 0 1 / 2, , / 2 z J J J J J J = − = = + − − 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 ( ) ( ) J J J J J J U V U V U V U V − − − − = − + + = − + +
四、球张量与角动量的对易关系t(R)T(*)(R)= Z )(R)T)k)?(R)T)k)Ot(R)= Z )(R)T)k)g=-/q=-k对无穷小转动AiJ.neiJneiJ.ne-(kZkg)hh.ha=-k得[Jn, T(] = Z T((kq'lJnkq)[J, T(k ] = hqT,k)即[J+, Tgk)] =hV(kq)(±q+1)T)+1上两式也可作为球张量的定义
四、球张量与角动量的对易关系 ◼ 对无穷小转动 ◼ 得 ◼ 即 ◼ 上两式也可作为球张量的定义
五、张量的乘积由2个1阶张量可构造出0-2阶的新张量，如-u.vU,v,+U.V, -U.v033(Ux),T(I)iN2U.V-, +2U.V。+U..V+UVo+U.V .T(2) _T(2)T(2' =U↓V41;V2V6一般的有:Theorem. Let X(ki) and Z(k2) be irreducible spherical tensors of rank23k, and k2, respectively. ThenT,k) =E<kik2; q192/kik2; kq)X(kiZ(k2)(3.10.27)q22191q2is a spherical (irreducible)tensor of rank k.该定理了指出通过两张量的乘积构造高阶或低阶张量的方法（与角动量叠加中基函数变换关系相似）
五、张量的乘积 ◼ 该定理了指出通过两张量的乘积构造高阶或低阶张量的方 法（与角动量叠加中基函数变换关系相似） (0) 1 1 1 1 0 0 0 (1) (2) (2) (2) 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 0 3 3 ( ) 2 2 ; ; 2 6 q q U V U V U V U V T U V T i U V U V U V U V U V T U V T T + − − + + − − + − + − = = = + + + = = = 由2个1阶张量可构造出0-2阶的新张量，如 一般的有：
口证：9t(R)T(*)O(R) = E (k)(R)T)k)g=-kt(R)T(k)(R) = EE<kik2; q192lkik2; kq)9192X t(R)X(k1)(R)t(R)Z(k2)(R)=EEEZ<k,k2;q192lkk2;kq)q1q2qiq2X Xk(R-1)Z2(R-1)=EEEEE<k,k2;q192/kik2;k)k"q1q2iq2q"qX<k,k2; qiq2lki,k2; k"q")×(kik2; q192/kik2; k"q")g)(R-1)xZ%2)=EEEEE8kk8g(kik2; qiq21kik2; k"q")99/g(R-1)x(k)zgk2)qi2q"qqq"q'=E(EE<kik2; qiq2/kik2; kq")xk)z2)9)(R-1)2qqiq2=ET(k)9((R-1)=E9(k)(R)T(k)①((R)(/2)(R)=EEZ<jj2;mim2ljij2; jm)q'q'jmmX<jij2;mim2ljij2;jm")mm(R)
◼ 证：
六、张量算符的矩阵元1）磁量子数选择定则：是Jz 的本征矢（但一般不是 J2的本征矢）[J+,T,k)] =hV(kfq)(k±q+1) T)4)可以证明:ZT(k[α,j,m-q>-->[αjm>9是(J2,J.)的共同本征矢
六、张量算符的矩阵元 1）磁量子数选择定则： ◼ 这是因为： ◼ 是Jz 的本征矢（但一般不是 的本征矢） ◼ 可以证明： 是 的共同本征矢 ( ) | , ', '; , | '; -> | − − k q q T j m q kj q m q kj jm jm 2 ( , ) z J J ( ) | k T jm q 2 J