83.8角动量的加法、LS的叠加例子对粒子的描述应同时考虑空间(整数角动量)与内烹自由度。如自旋1/2粒子的基矢属于由位置本征矢展开的无穷维空间和自旋本征矢构成的二维空间的直积,±>=>)J=L&1+1&S J=L+S位置空间的算符与自旋空间的任意算符对易：[J,J,]=igikJ++(x)波函数，对应L2和Lz的本征值分别为1(1+1)h2和mh自旋部分|土>对应的S2和S,本征值分别为3h2/4和±h/2转动算符：(R)=(orb)(R)(spin)(R)-iL·nd-iS.nd?expl=explhh上面的态失表示形式对应于以L2，Lz，S2和S，的共同本征为基。后面会介绍态失也可用J2，Jz，L2和S2的共同本征失为基展开
§3.8 角动量的加法 一、LS的叠加例子 ◼ 对粒子的描述应同时考虑空间(整数角动量)与内禀自由度。如 自旋1/2粒子的基矢属于由位置本征矢展开的无穷维空间和自旋 本征矢构成的二维空间的直积 ◼ 位置空间的算符与自旋空间的任意算符对易： 波函数 ◼ 空间部分基矢用|nlm>, 对应L 2和Lz的本征值分别为 ◼ 自旋部分|±>对应的S2和Sz本征值分别为 ◼ 转动算符： ◼ 上面的态矢表示形式对应于以L 2 , Lz , S2和Sz 的共同本征矢为基。 后面会介绍态矢也可用J 2 , Jz , L 2和S2 的共同本征矢为基展开。 [ , ] i j ijk k J J i J = → ( ) 2 l l m +1 和 2 3 / 2 /4和
、SS的叠加例子两自旋1/2粒子如两电子在不考虑轨道自由度时.总自旋算符为S=S,+S2由[Six, S2] = 0[Six, Si,| = ihSiz, [S2x, S2,] = ihS2z, .S2 = (S1 +S2)2: s(s +1)h2可导出[Sx,S,]=ihs,由此知相关算符的本征值：S,=Sz+S2z：mhS1z: m,hS22: mzh两电子的任意自旋态可用1)S1z和S2z或2)S2和S,的本征矢展开：1) [++>, I+->, [-+>, I-->; 2) Is =1, m = ±1,0), [s = 0, m = 0)在2)中，前者为自旋三重态，而后者为自旋单态。两组基矢由即将介绍的Clebsch-Gordan(CG)系数相联系
二、SS的叠加例子 ◼ 两自旋1/2粒子如两电子在不考虑轨道自由度时,总自旋算 符为S=S1+S2 . ◼ 由 ◼ 可导出 ◼ 由此知相关算符的本征值： ◼ 两电子的任意自旋态可用 ◼ 1) S1z和S2z 或 2)S2和Sz的本征矢展开： ◼ 1) |++>, |+->, |-+>, |->; 2) ◼ 在2)中，前者为自旋三重态，而后者为自旋单态。 ◼ 两组基矢由即将介绍的Clebsch-Gordan (CG)系数相联系
三、角动量叠加的形式理论考虑两不同子空间的角动量算符J,和J2，其分量满足各自的角动量对易关系：[Ji, Ji] =ieijkJik[J2i, J2] = iheujkJ2k但[Jk,J2]]=0作用于子空间1和2的无穷小转动算符可写为J,nodiJ2no_i(J,@1+1@J2)·n8p=1亢九九定义总角动量为J=J,1+18J2，简记为J=J+J2-iJng-iJ-ng有限转角的形式：(R)の(R)=exp(&exphh上述转动算符具有通常角动量作为转动生成元的形式。易证：[J,]=iheukJk因此，以前所述关于J2、Jz,J的特征与行为均成立
三、角动量叠加的形式理论 ◼ 考虑两不同子空间的角动量算符J1和J2，其分量满足各自 的角动量对易关系： ◼ 但 ◼ 作用于子空间1和2的无穷小转动算符可写为 ◼ 定义总角动量为 ，简记为 ◼ 有限转角的形式： ◼ 上述转动算符具有通常角动量作为转动生成元的形式。易 证： ◼ 因此，以前所述关于 J 、J z ,J 的特征与行为均成立。 2
四、基函数1）无耦合表象J2,J3,J,J2相互对易,取其共同本征矢liiz;mm2>为基2）耦合表象J,J3,J2,J,相互对易，取其共同本征矢lij2;jm>为基(lim>)由于J2与Jz(J2)不对易，Jij2;m,m2>不是J2的本征矢，ljim>不是J1z(J2z)的本征矢。 lij2;m,m2>和ljim>各是一组完备基，包含了最大相互对易算符组的集合。3）表象变换：由于对给定的（j1,j2），m,和m2的完整组合是完备的，Zljijz;mm2jij2;mm2/=1mim2有:Ijijz; jm)=Eljij2;mim2jijz;mim2ljijz; jm)mi m2展开系数<jij2；m,m2ljijz；jm》称为Clebsch-Gordan系数
四、基函数 1）无耦合表象 ◼ 相互对易,取其共同本征矢|j1 j2 ;m1m2>为基 2）耦合表象 ◼ 相互对易, 取其共同本征矢|j1 j2 ;jm>为基(|jm>) ◼ 由于J 2与J1z(J2z)不对易，|j1 j2 ;m1m2>不是J 2的本征矢， |jm>不是J1z(J2z)的本征矢。 |j1 j2 ;m1m2>和|jm>各是一组完 备基,包含了最大相互对易算符组的集合。 3）表象变换：由于对给定的（ j1 ,j2 ）, m1和m2的完整组合是 完备的， 有： 展开系数 称为Clebsch-Gordan系数 z z J J J J 1 2 2 2 2 1 , , , 222 1 2 , z JJJJ
五、CG系数的基本特征1)由《jij2;mm2 (J-Ji.-J2)[jij.jm)=0=(m-m -m2)=4)由于CG系数为两基组的变换矩阵，组成(实)幺正矩阵,即正交矩阵：Z<jij2;mm2lijz;jmjjiz;mim2liji;jm)=8mm0mmjmEE<jijz;m,m2ljij2; jmjij2;mjm2ljij2; j'm')=8j,omm类似地，mim2
五、CG系数的基本特征 1) 由 ◼ 可知只有m=m1+m2的CG系数才可能不为零 2) 由矢量叠加模型可知，只有满足 的CG 系数才可能不为零。 3) CG系数约定取实数（可能性见下面的递推关系），故 = 4) 由于CG系数为两基组的变换矩阵，组成(实)幺正矩阵,即 正交矩阵： ◼ 类似地， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ; ( ) 0 ( ) ; z z z j j m m J J J j j jm m m m j j m m j j jm − − = = − − 1 2 1 2 j − j j j + j
六、CG系数的递推关系J+ljij2; jm)=(Ji++J2+)EZljij2;mjm2)<jij2;mim2ljijz; jm)由m m2得(j干m)(j±m+1)ljijz;j,m±1)=ZE(V(j+mi)(ji±mi+1)lij2;mi±1,m2)mim2+/(jz 干m2)(jz ±m2 +1)ljij2;mi,m2 ±1)X<jij2;mim2ljij2; jm).用<jij2;m,m2l左乘上式,得CG系数的递推关系：V(j干m)(j±m+1)<jij2;mim2ljij2; j,m±1)=/(ji干mi+1)(ji±mi)<jij2;m,于1,m2ljijz;jm)+(jz干m2+1)(j2±m2)<jij2;m1,m干1ljij2;jm）上式给出了不同CG系数间的关系。除符号约定外，递推关系和归一化条件完全确定了CG系数
六、CG系数的递推关系 ◼ 由 ◼ 得 ◼ 用<j1 j2 ;m1m2 |左乘上式,得CG系数的递推关系： ◼ 上式给出了不同CG系数间的关系。除符号约定外，递推关系和 归一化条件完全确定了CG系数
V(j于m)(j±m+1)<jj2;m,m2ljij2;j,m±1)由递推关系联系的CG系数=/(j,干m +1)(ji±m)<jj2;m,1,m2ljij2; jm)(m1-1,m2)(m1,m2+1)LHS+(jzmz+1)(jz±m2）<jj2;m1,mz干1ljij2;jm）(m1,m2)RHSRHSJ.J.RHS(m1,m2-1)LHSRHS(m+1,m2)(mi,m2)(b) J-relation(a)J,relationm2-j2m十m2=ALForbidden!!m1=-/1m,=jiAm1+m2=-1m2=-j2(a)(b)
◼ 由递推关系联系的CG系数
七、CG系数关系的应用例子：轨道与自旋的叠加j1=l, j2=S=1/2; j=l± 1/2 (I>0)或 j=1/2(I=0)讨论i=/+1/2情形。11由递推关系：/(j干m)(j±m+1)=1，得m2'221+12
七、CG系数关系的应用例子：轨道与自旋的叠加 ◼ j1=l, j2=S=1/2; j=l±1/2 (l>0)或 j=1/2(l=0). ◼ 讨论j=l+1/2情形。 ◼ 由递推关系: ◼ 即 ◼ 结合 ，得
1+m+2mm22/ +1耦合态的展开：[1 +1/2,m)(m-1/2,+1/2)m-1/2,+1/2sinαcosα([1-1/2,m)m+1/2,-1/2)cosα人|m+1/2,-1/2)-sinα1 +m+1/2[1-m+1/2得：21 +121 + 1-m+1/21+m+1/22l + 12l +1即:1-m+1/21mm22/ +1m+1/2[+m+1/2mm2221 +122/ +11
◼ 耦合态的展开： ◼ 得： ◼ 即： + − − + − = + − − + = − + 1/ 2, 1/ 2 1/ 2, 1/ 2 sin cos cos sin 1/ 2, 1/ 2 1/ 2, 1/ 2 1/ 2, 1/ 2, m m m m l m l m + + + + − + − + − + + + + = 2 1 1/ 2 2 1 1/ 2 2 1 1/ 2 2 1 1/ 2 l l m l l m l l m l l m 1 1 1 1/ 2 , , ; 2 2 2 2 1 1 1 1 1/ 2 1 1 1 1/ 2 , , ; , , 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 l m m l m l l m l m m l m m l m l l − + + − + = + − + + + − − = − + − − = + +
八、自旋角函数(二分量球谐函数旋量)1-m++1+m+}m21 +121 +11 -m+J[ +m+m+定义2/ +121 +11±m+2ym-1/2(0,Φ)xj=/±1/2,m=± 12/ + 11干m+2Ym+1/2(0,Φ)x-+12/+1±/l ±m+1 Ym-1/2(0,0)1V21 +1V1+m+ Ym+1/2(0,Φ)该函数是L2，S2，J2和J,的本征函数由L·S=(1/2)(J2-L2-S2),知自旋球谐函数也是L·S的本征函Ih2数，本征值为：for j =I +2()[(j+1)-1(+1)--(1 +1)h2for j = / -}2
八、自旋角函数(二分量球谐函数旋量) ◼ 定义： ◼ 该函数是L 2 ，S2 ，J 2和Jz的本征函数 ◼ 由L•S=(1/2)(J 2 -L 2 -S2 ),知自旋球谐函数也是L•S的本征函 数，本征值为： + − − + + + + + − + − + − + + + + = − + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , , 2 1 2 1 2 1 2 1 , , m m l l m l l m l l m l l m l m l m