《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 全同粒子 7.6 电磁场（光子）的量子化

7.6电磁场（光子）的量子化自由空间的麦克斯韦方程1aB1 aAV.E=0;V.B=0,B=V×A: V×E+VXE+V0c atcat取库仑规范，.A=0，有：E=-1则A同时确定了B和Ecat1 A1 ?A又: V×B_10EV?A= V×(V×A)=0c?at?at?c2c ot可得：A(x, t)= A(k)e+ike+iot → A(k)e±i(k-t-or)且0=0, =kc; k.A(k)=0-i(k-x-ot)ik.sA(x,t)=é,A (x,t) (箱归一化); Aka(x,t)= Ak2记k的线单位矢量为e)和e(2，取圆偏振单位矢量(el) ±ie(2)6-é_k=tk212有：..éxe.=±8,=±i2822±.入2±k,2

7.6 电磁场（光子）的量子化 ◼ 一、自由空间的麦克斯韦方程 ◼ 取库仑规范， ，有： ，则A同时确定了B和E. ◼ 又： ◼ 可得： ◼ 且 ◼ 记┴k的线单位矢量为 ，取圆偏振单位矢量 ◼ 有： 1 1 =0; =0, ; 0     =   + =  +  =   B A E B B A E E c t c t   = A 0 1  = −  A E c t 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 0     − =   − =  − =    E A A B A A c t c t c t ( ) ( , ) ( ) ( )       − = → ik x i t i k x t A x t A k e e A k e  =  =  = ; ( ) 0 k kc k A k ( ) * ( ) , , , , , , ( , ) ( , ) ( ); ( , ) ˆ 箱归一化  − −  −       = = +  i k x t i k x t k k k k k k A x t e A x t A x t A e A e (1) (2) ˆ 和ˆ k k e e (1) (2) , , 1 ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ 2 = − = =  = − k k k k e e ie e * * ' ' , , ' , , ' ˆ ˆ ˆ ; ˆ ˆ          =   =   k k k k e e e e i k

电磁场能量E=-1a(k-x-ot)Ae-i(k-x-o[A,lec ot=(, +B(, CkaA..e-i(k-i-or)B=VxA=iZ[A,e(kx-o)--1kxekK.入J[d=%V[AaAra +AA +AAke2o +AAke-2i0][Bdx=if dxE[Ar,eKx-on) -A,e-(kx-on] xera(Z[Araoi(k-x-ot)-i(k'xk'xeea!-Z(-kxex.a).(k'xera)f dx[Akae(kx-o) -A,e-i(k--or) Aei(k'x-on) - A,e-i(kx-on)k,akia-ZZ(-xer)(ker.[AkxAue-2V8x.+AiAs.e2oV8-x--ArAsaV8x-AaAeVou.]k,aka=EV((-xer,)(-xekx)[ArAkae-2or +ArAkae2r]+(xer).(kxer)[Ak,Ak..+At,Ak)k.2.2V([AARe-2+AAke2]+8[AA,+ArA,]k,2,0-2or+AtaAke2io]+[AkA+AkAk]k,入[AA +AaA.](不依赖于时间41

二、电磁场能量 1 2 2 [ ( , ) ( , ) 8   = +  V E x t B x t dx ( ) * ( ) , , , , 1 [ ]ˆ  − −  −      = − =  −   i k x t i k x t k k k k k A i E A e A e e c t c 2 2 * * * * 2 2 2 , , , , , , , , , [ ]  −       −   −     = + + +  k i t i t k k k k k k k k V k E dx V A A A A A A e A A e c ( ) * ( ) , , , , [ ] ˆ  − −  −     =  = −   i k x t i k x t k k k k B A i A e A e k e 2 ( ) * ( ) ( ' ) * ( ' ) * , , , ', ' ', ' ', ' , ', ' * ( ) , ', ' , , ', ' [ ] { [ ] ' } ˆ ˆ = ( ) ( ' ) [ ˆ ˆ  − −  −  − −  −          −      = −  −  −   −       i k x t i k x t i k x t i k x t k k k k k k V V k k i k x t k k k k k B dx i dx A e A e k e i A e A e k e k e k e dx A e * ( ) ( ' ) * ( ' ) , ', ' ', ' * 2 * * 2 * * , ', ' , ', ' ' , ', ' ' , ', ' ' , ', ' , ', ' ][ ] ( ) ( ' )[ ˆ ˆ −  −  − −  −    −       −   −       − = −    +  −  −     i k x t i k x t i k x t k k k V i t i t k k k k kk k k kk k k kk k k k k A e A e A e k e k e A A e V A A e V A A V A A V ' * 2 * * 2 * * * , , ' , , ' , , ' , , ' , , ' , , ' , , ' 2 2 * * 2 2 ' , , , , , , ' ] {( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]} ˆ ˆ ˆ ˆ { [ ] −    −   −   −          −      −   −    = −   −  + +    + = −  + +    kk i t i t k k k k k k k k k k k k k i t i t k k k k k V k e k e A A e A A e k e k e A A A A V k A A e A A e k * * ' , , , , 2 2 * * 2 * * 2 , , , , , , , , , [ ]} { [ ] [ ]}      −    −   −       +  = − + + +  k k k k k i t i t k k k k k k k k k A A A A V A A e A A e A A A A c 2 * * 2 , , , , , [ ] 4         = +  k k k k k k V A A A A c (不依赖于时间

三、光子和能量量子化0LE%4,A,]=ha.+AVo10002元TTH=ihor[atar,+axa.a]K2由于绕k转动对=+方(+i）的影响：tioA(1)±神(2)7t{[cos el)-sin pe?']+i[sin e! + cos te?i=三于kk.tV12类比e-i/h，知光子是角动量为1的玻色子：[k,a,味,]=1对Jz本征失的结果 e-im，1H-ho[at.a.a+a.at.a]-ho[a.aak,22k,2H=ho =hok真空能量：2k.入kHo是个无穷大的常量，有可观测的效应(如卡西米尔效应)E(A)：光子产生、灭；O:光子叠加态

三、光子和能量量子化 ◼ 由于绕k转动对 的影响： ◼ 类比 对Jz本征矢的结果 ，知光子是角动量为1的玻色子: ◼ 真空能量： ◼ H0 是个无穷大的常量，有可观测的效应(如卡西米尔效应)。 ◼ E(A): 光子产生、湮灭；≠0: 光子叠加态 − / z iJ e 2 * * * * 2 2 , , , , , , , , , , * * 2 2 2 2 , , , , , , , , , , [ ] [ ] 4 4 1 [( )( ) ( )( )] 2 2 2 2 2 1 [ ] 2                                     + + = + = + = + → = +     k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k V V A A A A A A A A c c V V V V A A A A c c c c H a a a a (1) (2) , 1 ˆ ( ) ˆ ˆ 2 = =  k k k e e ie (1) (2) (1) (2) (1) (2) , , 1 1 ˆ {[cos sin ] [sin cos ]} [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2         =  −    +  =  = i i i k k k k k k k k e e e i e e e e ie e e e −  im e , , [ , ] 1   + = k k a a , , , , , , , , 1 1 [ ] [ ] 2 2           + + + = + = +   k k k k k k k k k k H a a a a a a 0 , 1 2  = =     k k k k H

第八章相对论性量子力学简介：狄拉克方程非相对论量子力学适用于v/c~Z/137<<1情形(对重元素有明显问题)。即使对轻元素，也有可观测的修正如精细结构[(vlc)4等需要人为引入为自然地阐述一些重要概念如电子的自旋、磁矩（g=2）、自旋-轨道耦合等和精确描述重原子体系，需要采用相对论性的量子力学方程相对论在薛定谭方程建立时已获得公认。即使没有上述问题，发展符合相对论时空协变的量子理论，也是理论物理的重要任务。本简介仅处理无粒子产生或灭的情形（一次量子化），侧重解决与电子的非相对论量子理论相关的一些问题

第八章 相对论性量子力学简介：狄拉克方程 ◼ 非相对论量子力学适用于v/c~Z/137<<1情形(对重元素有明显问题)。 ◼ 即使对轻元素，也有可观测的修正如精细结构[~(v/c)4 ]等需要人为引入。 ◼ 为自然地阐述一些重要概念如电子的自旋、磁矩（g=2）、自旋-轨道耦 合等和精确描述重原子体系，需要采用相对论性的量子力学方程。 ◼ 相对论在薛定谔方程建立时已获得公认。即使没有上述问题，发展符合 相对论时空协变的量子理论，也是理论物理的重要任务。 ◼ 本简介仅处理无粒子产生或湮灭的情形（一次量子化），侧重解决与电 子的非相对论量子理论相关的一些问题

一、自由粒子的相对论性方程iho/非相对论关系：H=p2/2m,p>p(算符），H>Tat有薛定方程：ihat2mH =(c’p +m2c)/2相对论能量关系：ay(cp? +mc*)1/2 /4)ihat上式对时空处理不对称p2p4(p,t)4 +...)4(p,t),2 →>-h?2mc2(1 +ih-at2m2c28m*c解决方法？

◼ 非相对论关系：H=p 2 /2m, p→ p(算符）， H → , ◼ 有薛定谔方程： ◼ 相对论能量关系： ◼ → ◼ 上式对时空处理不对称 ◼ 解决方法？ 2 4 2 2 2 4 4 ( , ) (1 .) ( , ), 2 8 p t p p i mc p t t m c m c  = + − +   2 2 2 p → −  一、自由粒子的相对论性方程 i t   2 2 p i t m   =   2 2 2 4 1/ 2 H c p m c = + ( ) 2 2 2 4 1/ 2 i c p m c ( ) t   = +  

Klein-Gordon方程解决方法1：H2=cp2+m2cmc2/)cp?→Klein-Gordon方程：P1at?h?h?O-V)2/4)=(c2p2 +m2c*)/4)(ih非自由粒子：at问题:（1）率密度不正定（2）有负能解，且无下限（考虑跃迁，似乎很不合理）（3）时间二阶方程，初始条件需要中及其时间一阶导数(4)中是标量，只可能描述无自旋粒子如介子、k中介子，不能描述电子（所得氢原子能级也与实验符合不好）

◼ 解决方法1： ◼ → Klein-Gordon方程： ◼ 非自由粒子： ◼ 问题： ◼ （1）几率密度不正定 ◼ （2）有负能解，且无下限（考虑跃迁，似乎很不合理） ◼ （3）时间二阶方程，初始条件需要Ψ及其时间一阶导数 ◼ （4）Ψ是标量，只可能描述无自旋粒子如п介子、к中介 子，不能描述电子（所得氢原子能级也与实验符合不好） 2 2 2 2 4 H c p m c = + 2 2 2 2 4 2 2 2 ( ) c p m c t   = − −   二、Klein-Gordon方程 2 2 2 2 4 (i V) ( ) c p m c t  −  = +  

三、Dirac方程解决方法2：设H算符可写为p的一次形式H=cα·p+βmc2c p? +m2c4 =(ca·p+ βmc*) =(caxPx+ca,P, +ca.P. + βmc*)α、β与空间坐标无关H+=cpα+β+mc2→β+=β,α+=α,[α,P]=0c( +p, + p?)+m?c4 =[c?(αp +α,p, +α?p?)+βmc]+[cpp,(α,+α,)+cp.(αα+α,)+cp(αα,+αα)+[mcp,(α,β+βα,)+mcp,(α,β+βα,)+mcp.(α.β+βα,)]α = β2 =1 (i= x,y,z)α,α, +α,α, =(α,α,}=[α,,α,l+=0 (i j)α;β+βα, =[α,,β]+=0

三、Dirac方程 ◼ 解决方法2：设H算符可写为p的一次形式 ◼ α、β与空间坐标无关 2 2 2 4 2 2 2 2 ( ) ( ) x x y y z z c p m c c p mc c p c p c p mc + =  + = + + +       2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 3 3 3 ( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )] x y z x x y y z z x y x y y x y z y z z y z x z x x z x x x y y y z z z c p p p m c c p p p m c c p p c p p c p p mc p mc p mc p                          + + + = + + + + + + + + + + + + + + + 2 H = c  p + mc   , , [ , ] 0 2 =  + → = = = + + + + + H cp mc p              [ , ] 0 { , } [ , ] 0 ( ) 1 ( , , ) 2 2 + = = + = = =  = = = + +                 i i i i j j i i j i j i i j i x y z

α、β的基本性质α、β为厄米矩阵、本征值为±1(α2=β2=1）、迹为0（Tr[α,(α,α,+α,α,))=2Tr(α,)=0），故为偶数阶矩阵，最低可能阶数为4（构造不出与泡利矩阵反对易的β）Dirac表象：1：Ai(ca·p+βmc)/)由此有自由粒子的狄拉克方程：at（1）方程关于时空对称，符合相对论要求（2）中含4分量，称为Lorentz旋量。确是描述电子（2分量）的方程？！（3）连续性方程：:+.j=0; p=*y, j=c**ay.at

α、β 的基本性质 ◼ α、β为厄米矩阵、本征值为±1( )、迹为0 （ ），故为偶数阶矩阵，最低 可能阶数为4（构造不出与泡利矩阵反对易的β） ◼ Dirac表象： ◼ 由此有自由粒子的狄拉克方程： ◼ （1）方程关于时空对称，符合相对论要求 ◼ （2） Ψ含4分量，称为Lorentz旋量。确是描述电子（2分 量）的方程？！ ◼ （3）连续性方程： 2 2 1   i = = [ ( )] 2 ( ) 0 Tr Tr       i i j j i j + = = 0 0 , 0 0 I I         = =         − 2 i (c p mc ) t     =  +   j j c 0; , . t     + + +  = =   =   

四、狄拉克粒子与电磁场的作用H =[(p-eA/c)°c? +m°c*]/2 +e→a=[cα.(p-eA/c)+βmc?+ed]4ihat1.电子的自旋与磁矩取Φ=0和展开精确至(v/c),对能量本征态(t)=yexp(-iEt /h),有1.x和Φ各为2分量旋量Ey=(ca·il+βmc)y)V=则：E-mc2co.il-co.l(D-co.11E+mcE+mc2低速时，E+mc2=E,+2mc2,Φ/ xl<<1→×:大分量，Φ：小分量。2c

四、狄拉克粒子与电磁场的作用 ◼ → ◼ 1. 电子的自旋与磁矩 ◼ 取ϕ=0和展开精确至 ,对能量本征态 ◼ 则： ◼ 低速时， 2 2 2 4 1/2 H c = − + + [(p eA/ c) m c ] e 2 E c m ( c ) ; [ ], 2        =  + =   和 各为 分量旋量 2 (v/ c) 2 i [c (p eA/ c) mc e ] t     =  − + +    = − (t) exp( / ),  iEt 有 2 2 2 0 [ ][ ] [ ] ( ) 0 E mc c c c E mc E mc      − −    = →  = −  +  + 2 2 2 , / 1 : 2 s v E mc E mc c + = +    →    大分量， ：小分量

四、狄拉克粒子与电磁场的作用（续）?(.)(.)i.(ixm)E,x=co.il~.Ao.B= A.B+ig·(AxB)22m2m2mIIxI= iehnP[(P-eA/ c)?eh.Bx=H,xc2m2mc对均匀磁场,A=B×r/2，得p?eL.Bp2eS.BO(B2H.·B-is·B+O(B)2m2m2mcmceLgesg=2Lu2mc2mc可见，狄拉克方程自然地给出了电子为具有自旋1/2（两独立分量）的粒子，且其g因子为2。Dirac方程确是描述电子的合适方程精确至p平方→薛定谔方程、自旋角动量、g因子自旋是种“相对论效应

四、狄拉克粒子与电磁场的作用（续） ◼ 对均匀磁场， ，得 ◼ 可见，狄拉克方程自然地给出了电子为具有自旋1/2（两独立分量）的 粒子，且其g因子为2。 ◼ Dirac方程确是描述电子的合适方程 ◼ 精确至p平方→薛定谔方程、自旋角动量、g因子 ◼ 自旋是种“相对论效应” 2 2 ( )( ) ( ) [ ] 2 2 2 (p eA/ c) [ ] 2 2                 =   = + − = −  = s s i E c m m m e B H m mc A B r =  / 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 ; , 2 2 2       = − + − = −  −  + = = = s L S L S p eL B eS B p H O B B B O B m mc mc m eL geS g mc mc A B A B i A B ( ) ie B c      =  +     =