九、关联振幅和能量-时间测不准关系态随时间变化仍保留原态成份的多少可用关联振幅描述：C(t)=(α|α,to = 0;t)=(αu(t,0)|α)1. 若|α)是H本征态。则 C(t)=e%，其模总为1。2. 对一般a)=Zla) ,c(0=Zc([2ce /)] =ZlePe %由于振荡项的作用，一般c()l随时间而变小。原则上，态消亡后仍有可能复活。对准连续谱,→『dEp(E)，p(E)为能量本征态的态密度,Cα→g(E) l=Ee , 有 c(t)=JdEp(E)g(E)Pe-"E% ,其中「dEp(E)|g(E)=1
九、关联振幅和能量-时间测不准关系 态随时间变化仍保留原态成份的多少可用关联振幅描述： 1. 若 是H本征态。则 ，其模总为1。 2. 对一般 ， ◼ 由于振荡项的作用，一般 随时间而变小。 ◼ 原则上，态消亡后仍有可能复活。 ◼ 对准连续谱， ， 为能量本征态的态密度， ，有 ， 其中 。 C t t t u t ( ) = = = , 0; ,0 0 ( ) ( ) a iE t C t e − = a a c a = ( ) * a t iE a a a a C t c a c e a − = 2 a t iE a a c e − = C t( ) ( ) a' → dE E (E) ( )| a a E E c g E → = ( ) ( ) ( ) 2 t iE C t dE E g E e − = ( ) ( ) 2 dE E g E =1
九、关联振幅和能量一时间测不准关系（续）3.若初态近似为能量为E。的本征态，能量展宽为△E。■则 c(t)=e50%[dEp(E)]g(E)e(E-E)%，积分贡献主要来源于(E-E)t/h≤1 。五即当时间大于特征时间t~E后，c(t)将与1有较大差别。h可见对非能量本征态，当演化时间超过^t~时原态的AE特征便消失了（△t→>寿命）。△t△E ～h 常被称为时间---能量测不准关系。要注意的是，这种测不准关系与不兼容算符的测不准关系有本质的不同（时间是参量，不是算符。）
九、关联振幅和能量一时间测不准关系（续） 3. 若初态近似为能量为 的本征态，能量展宽为 。 ◼ 则 ，积分贡献主要来源 于 。 ◼ 即当时间大于特征时间 后， 将与1有较大差别。 可见对非能量本征态，当演化时间超过 时原态的 特征便消失了 （∆t→寿命）。 ◼ 常被称为时间-能量测不准关系。 要注意的是，这种测不准关系与不兼容算符的测不准关系 有本质的不同（时间是参量，不是算符。） E0 E ( ) ( ) ( ) 0 0 2 ( ) t t iE i E E C t e dE E g E e − − − = (E E t − 0 ) 1 E c t( ) t E t tE
2.2薛定绘景与海森堡绘景、量子动力学的两种描述方法薛定绘景：i）态随时间变化（通过作用于态的时间演化算符描述），ii）观测量算符与时间无关海森堡绘景：i)态矢与时间无关，i)观测量算符随时间变化海森堡绘景和薛定谔绘景是等价的。二、么正算符量子力学中么正算符有多种功用：1）一种表象的基失与另一表象的基失可由么正算符联系，态本身不变，但其展开系数则因表象而变：2）作用于态矢的空间平移和时间演化算符。在这种么正算符作用下，态矢改变，但态矢的内积不变：(βα)→(βutuα)=(βα)
2.2 薛定谔绘景与海森堡绘景 一、量子动力学的两种描述方法 ◼ 薛定谔绘景：i）态矢随时间变化（通过作用于态矢的时 间演化算符描述），ii）观测量算符与时间无关。 ◼ 海森堡绘景: i)态矢与时间无关, ii)观测量算符随时间变化 ◼ 海森堡绘景和薛定谔绘景是等价的。 二、么正算符 ◼ 量子力学中么正算符有多种功用： ◼ 1）一种表象的基矢与另一表象的基矢可由么正算符联系， 态矢本身不变，但其展开系数则因表象而变； ◼ 2）作用于态矢的空间平移和时间演化算符。在这种么正 算符作用下，态矢改变，但态矢的内积不变 ： u u → = +
三、么正变换对态或算符作用的等价性由于 (β|X|α)→(βU+),X(U|α)=(βIU+XUIα)=(β(U+XU)α可有两种等价方法：1）态矢变（lα)→Uα）），算符不变；2）态矢不变，算符变X→U*XU例如对于无穷小平移算符 T(d刘），方法一：→，lα)→i-idlα)，的期待值ip-dx'l_ipdx[α)=(αx+[p.dx,x]α)=(ax+dxα1[1-pd =x+[dx,]=+dx方法二：[α)→α)，[1+dh(3)→(x+dx)两者都得到相同的结果经典物理并无态矢的概念，但有平移、时间演化等。平移和时间演化等作用于物理量如坐标，角动量等可观测量而使其改变。因此，方法2）似乎与经典力学的联系更密切
三、么正变换对态或算符作用的等价性 ◼ 由于 ◼ 可有两种等价方法：1）态矢变（ ），算符不变；2） 态矢不变，算符变 ◼ 例如对于无穷小平移算符 ， ◼ 方法一： 的期待值 → ◼ 方法二： ， ◼ 两者都得到相同的结果 ◼ 经典物理并无态矢的概念，但有平移、时间演化等。平移和时 间演化等作用于物理量如坐标，角动量等可观测量而使其改变。 因此，方法2）似乎与经典力学的联系更密切。 T d x ( ) 1 , i p d x → − x x → , x 1 1 ', ' i p d x i p d x i x x p d x x x d x + − = + = + → 1 1 ', i p d x i p d x i x x p d x x x d x + − = + = + x x d x → + X U X U U XU U XU ( ) ( ) | | ( ) → = = + + + →U X U XU → +
四、薛定绘景与海森堡绘景中的态矢和观测量在薛定谔绘景中态矢随时间变化，α,t=0;t)s=u(t)|α,t=0这里u(1)=u(t,t=0)=e"% ，算符不变 A()(0)= A() (=0) 在海森堡绘景，[α,f=0;t)=α,t=0),A(H) (t) = ut () A(u(t)但在 to =0 时,A(H) (0)= A(), α,t=0;t),=α,to =0)在这两种绘景中，算符的期待值是相同的，(α,t。 =0;t| A() [α,t =0;t),=(α,t。 =0|ut A()u|α,t =0, (α,tα = 0;t/ A" (t)/α,t =0,t)
四、薛定谔绘景与海森堡绘景中的态矢和观测量 ◼ 在薛定谔绘景中态矢随时间变化， 这里 ，算符不变 。 ◼ 在海森堡绘景， ◼ 但 ◼ 在 时， ， ◼ 在这两种绘景中，算符的期待值是相同的， , 0; , 0 0 0 ( ) S t t u t t = = = ( ) ( , 0 0 ) iHt u t u t t e − = = = ( ) ( ) ( ) ( 0 0) S S A t A t = = 0 0 , 0; , 0 , H t t t = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H s A t u t A u t + = 0 t = 0 ( ) ( ) ( ) 0 H s A A = 0 0 , 0; , 0 s H t t t = = = ( ) ( ) 0 0 0 0 , 0; | | , 0; , 0 | | , 0 + = = = = = S S S S t t A t t t u A u t , 0; | | , 0; 0 0 ( ) H H H = = = t t A t t t
五、海森堡运动方程对A(S)不是时间显函数的情形（适于大部分物理问题）dA(n)1Qutau1u+utA(S)A(S)u* Huu*A(S)u +u* A(S)uu* Huatdtininat1in-iHt/(对H(H) =u*Hu= H )万u=edA(H)H得Heisenberg（狄拉克）运动方程：dtin它是根据 A(H)的定义和u的性质推导出来的
五、海森堡运动方程 ◼ 对 不是时间显函数的情形（适于大部分物理问题）， （对 ） ◼ 得Heisenberg（狄拉克）运动方程： 它是根据 的定义和u的性质推导出来的。 (S ) A , iHt u e − = (H) H u u H + = = ( ) A [ , ] 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H H S S S S H A H i u A uu Hu i u Huu A u t i u A u u A t u dt dA = = − + + = + + + + + + [ , ] 1 ( ) ( ) A H dt i dA H H =
五、海森堡运动方程（续）经典物理中，对不是时间显函数的A(q,p），有dA[A, H leassicaldt由此，根据Dirac的量子化规则便得海森堡运动方程。但在海森堡运动方程中A(H）可以无经典对应，例如自旋算符也满足 ds(H)（但S，不能写成q和p的函数）[s(),H]JidtihL[,]即经典力学可由对应关系推出，反之却不然ih
五、海森堡运动方程（续) ◼ 经典物理中，对不是时间显函数的 ，有 由此，根据Dirac的量子化规则便得海森堡运动方程。但 在海森堡运动方程中 可以无经典对应，例如自旋算符 也满足 （但 不能写成q 和p的函数） ◼ 即经典力学可由对应关系 推出，反之却不然 ( ) A A q p ( , ) , classical dA A H dt = i S , , i → classical ( ) 1 ( ) , i i ds s dt ih =
六、量子力学与经典力学观察量的对应时间演化算符的薛定方程和海森堡运动方程的使用都需要有合适的哈密顿算符H。对有经典对应的物理体系，我们假定H与经典物理有相同的形式而将经典的 x,和 p.用量子力学的相应算符来代替当对应规则牵涉不对易观测量时，则要求H是厄米的。(xp+ px) 。例如，经典力学的乘积邓之量子力学对应为物理体系无经典对应时，需要猜想H算符的形式。猜想形式的正确性以所用H给出与实验观测结果相同来检验
六、量子力学与经典力学观察量的对应 时间演化算符的薛定谔方程和海森堡运动方程的使用都需 要有合适的哈密顿算符H。 ◼ 对有经典对应的物理体系，我们假定H与经典物理有相同 的形式而将经典的 和 用量子力学的相应算符来代替。 ◼ 当对应规则牵涉不对易观测量时，则要求H是厄米的。 例如，经典力学的乘积xp之量子力学对应为 。 ◼ 物理体系无经典对应时，需要猜想H算符的形式。猜想形 式的正确性以所用H给出与实验观测结果相同来检验。 i x i p ( ) 1 2 xp px +
七、自由粒子的运动由经典哈密顿的形式:H=_(P++)2m2m并将观测量x，和p，理解成Heisenberg绘景的算符，d=[p,H]=01)dtih即对自由粒子，动量算符是运动常量，即p,(t)=p,(O)。一般而言，若A(H)与H对易，则A(H)是运动常量。H_P().. x; (0) = x (0) + P (0)dx =[x,H2)dtiih op,mmm与匀速直线运动的经典轨迹方程相似。由于 [(0),x(0)]-[(0),x,(0) --,不同时刻的坐标算符不对易m根据测不准关系《)(）管表明粒子的位置会随时间而变得越来越不确定（对应于波动力学的波包扩展）
七、自由粒子的运动 由经典哈密顿的形式： 并将观测量 和 理解成Heisenberg绘景的算符， 1） 即对自由粒子，动量算符是运动常量，即 。 ◼ 一般而言，若 与H对易，则 是运动常量。 2） 与匀速直线运动的经典轨迹方程相似。 ◼ 由于 不同时刻的坐标算符不对易 根据测不准关系， 表明粒子的位置会随时间而变得越来越不确定(对应于波动力学的波包扩展) ( ) 222 2 2 2 x y z p ppp H m m + + = = 1 , 0 i i dp p H dt i = = i x i p p t p i i ( ) = (0) (H ) A (H ) A 1 (0) , i i i i i dx p i p x H dt i i p m m = = = = ( ) ( ) (0) 0 i i i p x t x t m = + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 , 0 , i i i i p t i t x t x x m m − = = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 4 i i t t t x x = m
八、1Ehrenfest定理考虑粒子在势场V(冈)中运动。H=+v()，v(a)是x，y，z算符的函数2mav(aHYdx,Pi/-ihHdp-=[p,H]Hlit一-dtih达op:dt达axm17Oxdx;由于xi与V()对易,与自由粒子情形相同。dt1 av(xd'x_1[dx,1 dp.PiHLIdt?ihl dtax,m dtnmmd2x-V(x)，与牛顿第二定律相仿（海森堡绘景）即dt?取期望值，m()=-(vv()）（适用于薛定调和海森堡绘景）由于Ehrenfest定理里无h(要求空间和时间平移算符中相关常数相等),波包中心的运动与经典粒子受势场V(x)作用的形式相同经典粒子运动轨迹反映的是量子体系波包中心的位置变化！
八、 Ehrenfest定理 ◼ 考虑粒子在势场 中运动。 ◼ 是x，y，z算符的函数 ◼ 由于 与 对易， 与自由粒子情形相同。 ◼ 即 ，与牛顿第二定律相仿（海森堡绘景） ◼ 取期望值， （适用于薛定谔和海森堡绘景） ◼ 由于Ehrenfest定理里无 (要求空间和时间平移算符中相关常数 相等),波包中心的运动与经典粒子受势场 作用的形式相同 ◼ 经典粒子运动轨迹反映的是量子体系波包中心的位置变化！ V x( ) ( ) 2 , 2 p V x m = + V x( ) 1 1 ( ) , ; i i i i dp V x p i dt i i x x = = − = − 1 1 , i i i i dx p x i dt i i p m = = = i x V x( ) i dx dt 2 2 1 1 , , i i i d x dx p dt i dt i m = = 1 1 ( ) i i V x dp m x m dt = − = ( ) 2 2 d x m V x dt = − ( ) 2 2 d m x V x dt = − V x( )