九、自旋1/2体系的时间反演@=UK因 [n; +)= e-1S:a/he-is,B/h]+) [n;-)=e-iαs:/he-i(m+β)S,/h]+)0[n;+>=e-1S:α/he-1S,B/ho|+）=mln;-）(时间反演的效果)2S,得O= ne"irs,/hK = - inKhe-ins,/h}+)= +/-),e-ins,/h]-)= -[+)由于 有0(c+/+>+c_/->)=+nc*/-)-nc*/+)02(c+1+)+c_/-))= -[ml℃+I+)-Imlc_-)=-(c+/+)+c_/))所以：2=－1对无自旋体系 02=1 很不相同！(02[lm)=0(-)"|1-m)=|lm)(-inxn,)sin(号cosin,sin二gndcos()+in,sin(号)x+n,)sin(in.二元
九、自旋1/2体系的时间反演 Θ=UK ◼ 因 ◼ (时间反演的效果) ◼ 得 ◼ 由于 ◼ 有 ◼ 所以： ◼ 对无自旋体系 Θ2=1 很不相同！ 2 ( ( ) ) m = − − = lm l m lm
十、一般角动量体系的时间反演由①=ne-inly/"K，得0′[α)=0(0Z|jm)(jmα))=0(nZe-i,/"[jm)(jmα)*)=[n/ e-12元,/"Z[jm)(jmα)e-12/,/"[jm)=Z|jm")《jm*le-12/,/"[jm)=《jmle-12/,/"[jm)]jim)=d(2元)=(-1)"[jm)故对任意α>：@jhalf-integer)=-[jhalf-integer)@j integer)= + lj integer)O[l,m) =(-1)"l, - m)此外，由于Olj, m)=(-1)"lj,-m) (j an integer)不妨约定一般地可约定：lj,m）=i2mlj,一m）注：相位约定依处理问题方便而定，但①2=士1与相位约定无关。(j+ m)!(j- m)!(j+ m')!(j- m')!dm(β)=E(-1)k-m+m(j+m-k)k!(j-k-m)!(k-m+m')!kβ)2k-m+m(3.8.33)sin2
十、一般角动量体系的时间反演 ◼ 由 ，得 ◼ 故对任意|α>: ◼ 此外，由于 ◼ 不妨约定 ◼ 一般地可约定： ◼ 注：相位约定依处理问题方便而定，但Θ2=±1与相位约定无关。 / 2 / 2 2 ( ) ( ) *) − − = = = y y i J i J jm jm e jm jm e jm jm 2 / 2 / 2 / ( ) 2 ' ' (2 ) ( 1) − − − = = = = − y y y i J i J i J j j mm e jm jm jm e jm jm e jm jm d jm
=0，这对非宇称本征态亦成立
十一、球张量的时间反演性质 ◼ 对 ◼ 若A是 的分量，由于Wigner-Eckart定理 ◼ 只要考虑q=0的分量即可。 ◼ 对厄米球张量，其时间反演奇偶性由q=0分量确定： ◼ ； ◼ 由于x对应于k=1，且对时间反演是偶的，故对jm的本征态 =0，这对非宇称本征态亦成立 (k ) Tq ( ) ( ) ; ; 2 1 k k q j T j j m T jm jk mq jk j m j = + ( ) 1 ( ) ( ) 0 0 0 A k k k T T T q q q − = = = = = .对 ，有 ΘAΘ-1=±A
十二、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并电荷在静电场中，V(x)=eΦ(x)，[H,]=0由于[①,U(t,to)]+0,不存在量子数的时间反演守恒。但[H,?]=0导致非简并态波函数为实数更重要的推论是Kramers简并。由于|n>与@|n>同为H的本征态，若非简并，?|n>=ein>.对j半整数体系，则-[n>=@?|n>=ein>=n>,故|n>与|n>不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度因此，具有不同奇偶电子数的晶体在外电场中的行为很不相同。有外磁场时,H含 S.B,P·A+A·P,(B=V×A).由于p,S在时间反演下是奇的，[O,H]0,不存在Kramers简并
十二、粒子与电和磁场的相互作用：Kramers简并 ◼ 电荷在静电场中，V(x)=eΦ(x), [H,Θ]=0 ◼ 由于[Θ,U(t,t0 )]≠0, 不存在量子数的时间反演守恒。但 [H,Θ]=0导致非简并态波函数为实数 ◼ 更重要的推论是Kramers简并。由于|n>与Θ|n>同为H的本 征态，若非简并， Θ|n>=e iδ |n>. ◼ 对j半整数体系，则-|n>=ΘΘ|n>=Θe iδ |n>=|n>,故|n>与Θ|n> 不可能为同一状态，存在简并，这不依赖于E的复杂程度。 因此，具有不同奇偶电子数的晶体在外电场中的行为很不 相同。 ◼ 有外磁场时,H含 ◼ 在时间反演下是奇的, [Θ,H]≠0 ,不存在Kramers简并 S B p A A p B A p S + = , , ( ). , 由于
第五章近似方法大部分量子力学问题需用近似方法及数值解法。数值解常比解析近似精确、灵活，但解析性更益于理解基本物理。85.1不含时微扰理论：非简并情况已知：Hn(o))=En(0))，求Hn)=(H。+V)|n)=E,|n）的近似解V为微扰势(H。+aV)|n(a))= Enn(a)非简并定态微扰理论的起点通常是：或简单写成：H|n)=(H。+V)n)=E,|n)入～[0,1]。入=1是真正要求的微扰问题。引入入可了解微扰作用的特点，且使我们能通过比较入不同幂次的系数而方便地求得微扰展开序列。当然，这意味着本征态与本征值在入的复平面上，对应于入=0附近是解析连续的。此外，如果微扰法在实用上可行，则要求取少数几项展开便应是较好的近似
第五章 近似方法 ◼ 大部分量子力学问题需用近似方法及数值解法。数值解常比解 析近似精确、灵活，但解析性更益于理解基本物理。 §5.1 不含时微扰理论：非简并情况 ◼ 已知： 求 的近似解 ◼ V为微扰势 ◼ 非简并定态微扰理论的起点通常是： ◼ 或简单写成： ◼ λ~[0,1]。 λ=1是真正要求的微扰问题。引入λ可了解微扰作用的 特点，且使我们能通过比较λ不同幂次的系数而方便地求得微扰 展开序列。当然，这意味着本征态与本征值在λ的复平面上，对 应于λ =0附近是解析连续的。此外，如果微扰法在实用上可行， 则要求取少数几项展开便应是较好的近似。 (0) 0 (0) 0 , H n E n = n 0 ( ) H n H V n E n = + = n ( ) ( ) 0 ( ) H V n E n n + = 0 ( ) H n H V n E n = + = n
、两能态问题先讨论两能态严格解的的级数展开特点H = E(0) |1(0))(1(0) |+ E2)|2(0))(2(0) |+ 2V12 |1(0)(2(0) |+ V21 |2(0))(1(0)(E(0) E0)E(0)E(0)E,+严格解：+入3V1212X2E24[E(0) E,0)JV12]若 (微扰小于能级差的一半)，则有22/V12/2入3|V1212E, = E(0) -E(0)+E,=(E(0) - E(0)(E(0) _ E(0)注：1)在入V12l<|E(0)-E.时级数才能快速收敛2能级不因微扰而交叉3）并非微扰足够小便能级数展开，还需满足收敛条件
一、两能态问题 ◼ 先讨论两能态严格解的的级数展开特点 ◼ 严格解： ◼ 若 (微扰小于能级差的一半)，则有 ◼ 注：1)在 时级数才能快速收敛 ◼ 2）能级不因微扰而交叉 ◼ 3）并非微扰足够小便能级数展开，还需满足收敛条件。 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) 1 2 12 21 H E E V V = + + + 1 1 2 2 1 2 2 1
微扰展开与戴森级数的重要差别(E(0) + E(0)(E(0) E,(0)E,+x3Vi21+24E2(n4(n + 1)!dt,H(t)u(ti,to):1 +n(二)" dt,H(t)u(t,f0)dt,H(t)[1 +(=1+h()H()+()TH(6)()(c)=1+h()dd.. )(.. ()Z=1+h
微扰展开与戴森级数的重要差别 ( 1) 1 0 ( ) ( ) ( 1)! + + = − + n n n f x x n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 2 2 2 0 2 1 1 1 2 1 2 2 0 1 2 1 1 , 1 ( , ) 1 [1 ( , )] 1 ( , ) 1 − = − = + − − = + + − − = + + − = + o o o o o o n o t t t t t t t t t t t t n t t t n t t t n i u t t dt t u t t i i dt t dt t u t t i i dt t dt dt t t u t t i dt dt dt t t( 2 ) (t n )
(H。 + aV) n(a)= E, n(a)、微扰理论记 A,=E,-E,(0).,有(E(0)-Ho)In)=(入V-△,)In)可见暂不归一化dnA, =入(n(0))Vin)(入V-,)In)和有相应解军 (n)=|n(0)>+E,(0)-Ho
二、微扰理论 ◼ 记 ，有 ◼ 可见 ◼ 定义 ◼ 有 ◼ 和 ◼ 可解得： ◼ 因 ◼ 取 （|n>暂不归一化 ◼ 有相应解 和 ( ) ( ) 0 ( ) H V n E n n + =
dnn)= n(0)(入V-A,)(n), = 入(n(0)Vin)E(0) - Ho利用 [n)=[n(0))+入|n(1)>+ 入3|n(2)>+ . , = 入A(1) + 入2(2) + :得：0(入):△(1) = (n(0)|V|n(0) )△(2) = <n(0)/V|n(1))0(入2):): (N)= (n(0))VIn(N-1))0CXN求解精确至N阶的能量修正，只需精确至N-1阶的态矢修正
◼ 利用 ◼ 得： 求解精确至N阶的能量修正，只需精确至N-1阶的态矢修正
本征矢方程为：[n(0)) + 入|n(1)) + 入|n(2) + . .pn(入V-入a() - 入2(2) - ..- ) (In(0)>+ 入[n(1))+ . . .=|n(0)E(0) - Hodn比较解得：0(入):h(E(0) - HoΦnSOHo8pn0(入2):[n(2)VE(0)E,(0)-HoHo-dn9Vin(oE(0) _E(0) - HoHornn
◼ 本征矢方程为： ◼ 比较解得： 3 (0) (2) n = n V n