85.7含时微扰理论、直接微扰法：dih%c.(t)=EVmeioam"cm(t),mT1W12c1C111c2C221e'w21!V22Vihc3C333c(0) + c(1) +(2)(i-1)阶的[C)决定了i阶C)的时间变换和相应的解
§5.7 含时微扰理论 ◼ 一、直接微扰法： (i-1)阶的{C}决定了i阶{C}的时间变换和相应的解
二、含时微扰的Dyson级数ala, to;t),=etHot/hja, to;t)s, la,to; t),=Ec,(t)n). inla, o; ),=V,la, fo; 1),nidIa, to; t)r =U,(t, to)ia, to; torU,(t, to) =Vi(t)U,(t, to)dtU,(t, o) =1- f'v;(r)u,(t, to) dt*hI'v(0)1-J"v(r")u,(r", o) da" ar"U,(t, to) =1h"'dr'v(r)+()T'd' T'd"V()(")dt'dthdt(n)V,(t')Vi(t") .. . Vi(t(n))+
二、含时微扰的Dyson级数
三、跃迁几率由 li, to=0; t),=U;(t,0)li) =Ein)nU,(t,0)li)n及 lα, o; t),=etHo /hJa, to; t)s =eiHo/hU(t,to)lα,lo;to>s=eiHot/hU(t, to)e-iHorto/hja, to; to)i知 U,(t, to)=eiHot/hU(t, to)e-iHoto/h对H本征态的初末态（主要感兴趣情形）：<n|U,(t, to)li) = e(E,t-E,o0)/h(n|U(t, to)li)有Kn|U,(t, to)li)/2 = Kn|U(t, to)li)/3
三、跃迁几率 ◼ 由 ◼ 及 ◼ 知 ◼ 对H本征态的初末态（主要感兴趣情形）： ◼ 有
若 [i,to;to>s=e-IE,to/hji)[i, to; to)r = [i)li, to; t), =U,(t,to)[i)= Ecn(t)in)U,(tt)-1'(f'()(r"to)aldncn(t) = =ewm'Vn.(t')dt"hto()-()2'd da"(t)e*.(")e'(E,-E,)t/h=e'wn.t其中初末态为H本征态的跃迁几率：P(i -→ n) = Ich1)(t)+ c(2)(t)+ .. /3(in)
◼ 若 则 ◼ 将微扰展开代入Dyson级数得 ◼ 其中 ◼ 初末态为H本征态的跃迁几率： ( ) i n
0fort<o四、定势微扰：v(t)V(independent of t),for t ≥ 0据上述微扰理论，有c(0)=c(0)(0)=8,Vni.(1)Snh2E,-E0IVaj24/Va.l?(E,-E)t2cosw,sin?2hIE,-EIIE, - EJ24sin(wt/2)/w22㎡2mh[w]IEn-EIAt△E~h（时间-能量测不准关系）2m/hW=0ATI-2″/TFIGURE5.6.Plotof 4sin*(wt/2)/w2versuswfor afixed 1,where inw=(E,-E,)/hwehaveregardedE,asacontinuousvariable
四、定势微扰： ◼ 据上述微扰理论，有 ◼ (时间-能量测不准关系)
Nearlythe末态为准连续态时sameenergy+z-direction对末态求和：FIGURE 5.7.Elastic scattering of plane wave by some finite range potential.E1c(1)/2=/dE.p(E,)c(1)2n,E,-E1V.12(En - E,)t41sin)dE2h|E, -E1sin'αx(E, - E,)t1TI(En-E,)因8(x)limsin2lim2h22hax2IE,ETTt→8α-82T故limdEnp(E,)Ica)(t)i2p(E.)h1-→8E,=E,2TdV.12o(E.Elc(p2)E,=EWi-→[n]h跃迁速率：dt2TT128(En -E,)专费米黄金规则(在要用[dE,p(E,)的理解下)：
末态为准连续态时 ◼ 对末态求和： ◼ 因 ◼ 故 ◼ 跃迁速率： → ◼ 费米黄金规则(在要用 dE E n n ( ) 的理解下)：
22阶微扰：Z(2)VVnmmhCmVnmm!Zolwnmt) dt"hEE-0mc(l)相同，第二部分是随大t快速震荡(略去)t积分的第一部分与总跃迁速率(设对E～E，VmVm,=O)：nmmV...V.2㎡nmmiVAZp(En).+AinhE,-E,mE,=E（二阶修正来自于能量不守恒的虚跃迁）
◼ 2阶微扰： ◼ t积分的第一部分与 相同, 第二部分是随大t快速震荡(略去) ◼ 总跃迁速率 ： ◼ （二阶修正来自于能量不守恒的虚跃迁） ( 0) 设对 = , E E V V m i nm mi (1) n c
五、谐波微扰V(t)= Yeiwt + yte-iwt(t>0)初态为i>,.(1)eiwt'+plw(w+wn)-w)wn.1-n!hnw+wnw+wnieior1-()与前面的V相比，可知ni17hot→>00时要求：Wn. +w= 0orE, -E,-haWn.-W=0orE,=E,+hw2 ㎡Yr.Ip(E.)受激发射W,→ [n] =nEn=E;-hw27W,-→[n]吸收nEn=E,+hu
五、谐波微扰 (t>0) ◼ 初态为|i>, ◼ t→∞时要求： (1) 1 c i t n ni e V − 与前面的 = 相比，可知 受激发射 吸收
综合有：Iyr2 mnt8(En-E,±hw)WhY(i)()EnE.AhwhwEnEFIGURE5.9.(i)Stimulatedemission:Quantum-mechanical systemgivesuphw toV(possible only if initial state is excited).(ii)Absorption:Quantum mechanical systemreceiveshwfromvandendsupasanexcitedstate由于1Y./?={vt?故有细致平衡关系emission rate for i-nabsorption ratefor n-→[ildensity of final statesforndensity of final states for [i]
◼ 综合有： ◼ 由于 ◼ 故有细致平衡关系
85.8与经典辐射场作用的应用V(t)=Yeiwr +yrte-iwr2HW,-[n] =hEE,-hu、吸收与受激发射21ctp(EW,→[n] =hnE,+huH:2meV·A=0A=2A.Ecos-n·x-wtC= Aoe[ei(u/c)n-x-iwt + e-i(w/c)n·x+iw!]A.e.plei(w/c)n·x-iwr+e-i(w/c)n·x+iwt)m.c根据初末态的能量关系，可知exp(-iwt)对应于吸收exp(iwt)对应于受激发射
§5.8 与经典辐射场作用的应用 ◼ 一、吸收与受激发射 ◼ 根据初末态的能量关系，可知exp(-iωt)对应于吸收， exp(iωt)对应于受激发射