7.5多体量子体系(多粒子态)求解：二次量子化背景：多体波函数原则上包含了所有信息，但直接求解薛定方程很困难：CH =[T(x)+Vex()]+V(x),X2...,X)ihy(x...n,t)= Hy(Xi...X,t)at由于粒子间相互作用势V(x1,...,XN)的存在，中不能分离变量(平均场近似?)由于全同性，中需要具有相应的交换粒子坐标（空间与内坐标）的对称性(对称性要求会影响所寻求的解，如He例子中看到的)解决办法？常采用：1.二次量子化：用二次量子化算符（波函数>算符)体现全同粒子的统计性比用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描述全同粒子的统计方便也是相对论性量子理论描述粒子产生与潼灭所必需。此外，常可作合理的物理近似，将二次量子化哈密顿算符简化为二次形式而有严格解2.量子场论：基于二次量子化而发展出。在具体物理问题处理中，可以避免直接处理多粒子波函数和坐标，而只关注感兴趣的几个矩阵元。3.格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态能量、寿命和对外扰的线性响应等物理信息，可用Feynman-Dyson微扰理论和Feynman图、Feynman规则求得
背景:多体波函数原则上包含了所有信息, 但直接求解薛定谔方程很困难: 由于粒子间相互作用势V(x1,.,xN)的存在, Ψ不能分离变量(平均场近似?) 由于全同性， Ψ需要具有相应的交换粒子坐标（空间与内禀坐标）的对称 性(对称性要求会影响所寻求的解，如He例子中看到的) 解决办法？常采用： 1. 二次量子化：用二次量子化算符(波函数→算符)体现全同粒子的统计性 比用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描述全同粒子的统计方便， 也是相对论性量子理论描述粒子产生与湮灭所必需。此外，常可作合 理的物理近似，将二次量子化哈密顿算符简化为二次形式而有严格解。 2. 量子场论：基于二次量子化而发展出。在具体物理问题处理中，可以避 免直接处理多粒子波函数和坐标，而只关注感兴趣的几个矩阵元。 3. 格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态能量、寿命和对外扰 的线性响应等物理信息，可用Feynman-Dyson微扰理论和Feynman 图、Feynman规则求得。 1 1 ( . , ) ( . , ) N N i x x t H x x t t = 1 2 1 [ ( ) ( )] ( , ,., ) N k ext k N k H T x V x V x x x = = + + 7.5 多体量子体系(多粒子态)求解：二次量子化
一次量子化的薛定方程aihy(x...X,t)=Hy(X...Xn,t)y(xx,t)=+y(x.x.,t)at这里x是第k粒子的（空间和分立变量如自旋）坐标。用单粒子定态波函数的完备集合或完备基（依问题而定、不含时间)展开多粒子波函数(理论上是严格的)：y(x.xy,t)=ZC(E...EN,t)(x)..V(x)E...EN-2(Y)= Z C(E.EN,)|E..EN))E...ENEk：单粒子量子数集合（如nlmm）全同性的充分+必要条件：C(EE.,t)=C(EE.,t)充分性可通过代入得到证明：必要性则可通过上式投影出特定系数及波函数的交换对称性证明。态失的全同对称性由完备基失上的展开系数体现
一、一次量子化的薛定谔方程 这里xk是第k粒子的（空间和分立变量如自旋）坐标。 用单粒子定态波函数的完备集合或完备基(依问题而定、不含时间)展开 多粒子波函数(理论上是严格的)： Ek：单粒子量子数集合（如nlmms ) 全同性的充分+必要条件： 充分性可通过代入得到证明； 必要性则可通过上式投影出特定系数及波函数的交换对称性证明。 态矢的全同对称性由完备基矢上的展开系数体现 1 1 ( . , ) ( . , ) N N i x x t H x x t t = ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 1 1 . ' ' ' ' 1 1 . ( . , ) ( . , ) ( ). ( ) ( . , ) . N N N N N N E E E E N N E E x x t C E E t x x C E E t E E = = （ ） ( , ) ( , ) i j j i x x t x x t = ( , ) ( , ) C E E t C E E t i j j i =
二、一次量子化向二次量子化的过渡y(x...XN,t)= Z C(E,.EN,t) Ve(x)..e (xN)态矢的全同对称性由E..E完备基矢上的展开系数体现(Y)= Z C(E...EN,t)|E,..EN)E...E考虑展开系数特点，对玻色子，可选基矢n,n2,nj..Omn (x.x)=(in.)ZVe (x)..e(xn)N!E...ENEn,na...n.蛇(x). 蚂(x)对费米子，基矢:Dnnxx (x)..中e(XN)Zn,= N[4(t))= E f(nn .n.,t)|nn .n)n-no完全（反）对称的波函数用完全（反）对称和正交的完备基展开（且对量子数集的求和转化为对占据数态的求和f给出了一次与二次量子化态矢之间的联系（物理问题本身并没有因为表述而变）
二、一次量子化向二次量子化的过渡 态矢的全同对称性由 完备基矢上的展开系数体现 考虑展开系数特点，对玻色子，可选基矢 对费米子，基矢 ◼ 完全（反）对称的波函数用完全（反）对称和正交的完备基展开（且 对量子数集的求和转化为对占据数态的求和） ◼ f 给出了一次与二次量子化态矢之间的联系（物理问题本身并没有因 为表述而变） ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 1 1 . ' ' ' ' 1 1 . ( . , ) ( . , ) ( ). ( ) ( . , ) . N N N N N N E E E E N N E E x x t C E E t x x C E E t E E = = （ ） , ,., ,. n1 n2 ni 1 2 1 2 1 2 ( ) ( , ) n n n t f n n n t n n n = 1 1 1 0 0 E 1 1 2 1 0 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ! ( ) ( ) N N E N n n N E E N x x x x N x x = ) ( ). ( ) ! ! !. ! ( . ) ( 1 . . 2 1 1 2 . 1 2 1 2 1 1 2 1 E N n n n E E n n n N E x x N n n n x x x N N = i i n N=
三、多粒子态基失的构造多粒子希尔伯特空间（福克空间：以占据数表述）1..抽象不含时态失（粒子数表象)n,n.n.正交性(nn...nn..)=.......nnmm完备性n.=0,1,2,..,0E [nn....)(nn .. -11n,n..-n,2真空态0,0..0.=03单粒子态：0,0.n,=1.=k4.产生算符：α0)=k)5.灭算符：1=(kk)=(0a,a0)=(0a,k,);ak)=0)不妨要求：ak)=8l0),a0)=0对两粒子态，应有：aao)=a,a0)；可要求：[at,aj=0，[a,a,]=0又c=(nn.aann.=n，可归纳要求[at,a=[a,a,=0,[a,a}=,和粒子数算符：N=a,a
三、多粒子态基矢的构造 多粒子希尔伯特空间（福克空间：以占据数表述） 1. 抽象不含时态矢(粒子数表象) ◼ 正交性 ◼ 完备性 2. 真空态 3. 单粒子态： 4. 产生算符： 5. 湮灭算符： ◼ 不妨要求： ◼ 对两粒子态，应有： ；可要求： ◼ 又： , 可归纳要求： ◼ 和粒子数算符： , ,., ,. n1 n2 ni ' ' ' 1 1 2 2 ' ' ' 1 2 1 2 n n n n n n n n n n n n = 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n = = 0,1,2, , k k n 0,0,.,0,. 0 i i 0,0,.,n =1,. k i i a k + 0 1= = 0 0 = 0 ; = 0 + i i i i i i i i k k a a a k a k ai k j = ij 0 , ai 0 = 0 0 0 + + + + ai aj = aj ai [ , ] = 0, [ , ] = 0 + + ai aj ai aj n n ai ai n n ni c = = + . . 1 2 1 2 ai aj = ai aj = ai aj =ij + + + [ , ] [ , ] 0; [ , ] + = i N ai ai
四、单粒子算符对)=n,n,n.），可预期K→nk,==kN,=kaa[k)=)a =(),a,=()b,K=Zk,Zbt(mk,Xk,|n)b, =Ebmb,(m[Zk|k,Xk, [ln)mnmmK=Ebmb,(m[K|n)mm是c数(1m|K|.)aaf((n,),tIZininV]f((n,), t) (n,)(n,]) =Z[ZT2atat(n,)k=1k+1=1(n,]af((n,),t)Z(n,)Z[(n,) +..inatk=(n
四、单粒子算符 对 ，可预期 ◼ 是c数 , ,., ,. = n1 n2 ni i i i i i i i i K ni ki K k N k a a + → = = = → = = + + j j i i i j j j j i i j j ki l j l k a b l k , a k l b m n m n i i n i m i i n n m n m i mn m i i K b b l K l K k b l k k l b b b l k k k l + + + = = = mn mn [ ] m n l K l { } { } . ({ }, ) ] ({ }, ){ } 2 1 { } [ ({ }, ) 1 { } { } { } 1 1 = + = + = = = = l i i n k l n k i i n k i i N k l i k k l n i n T n t f n t i n T V f n t n t f n t i t i
五、双粒子算符对 =VN,N,+N,(N,-1)，可改写为V(N,N,-N,0,)-V对分布算符：,=aja,-aa,o=a(8,±a)a,-a,o,=±a,a,a,a, =±±a,ajaja, =a,a,ajaZ(mn/pq)bmb,b,bbVata,a,a,=mnpg[)=)→a =(k),a,=(k)b注意pq的顺序（对费米子很重要）<mnVpq)是c数
五、双粒子算符 对 ，可改写为 对分布算符： ◼ 注意pq的顺序（对费米子很重要） ◼ 是c数 ( 1) 2 1 2 1 = + − i i i i j i i i j V Vi jN N V N N i j i j i j i i j i j i j V = Vi j N N − N = V 2 1 ( ) 2 1 i j i j i j j i i j j i i j i i j j i i i j i i j j i j i i i j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + + + + + + + + + = = = = − = ( ) − m n q p mnpq i j j i i j V Vi ja a a a m nV pq b b b b + + + + = = 2 1 2 1 mnV pq = → = = + + j j i i i j j j j i i j j ki l j l k a b l k , a k l b
六、归纳：二次量子化的薛定方程H=T(x)+1ZV(x,x)2k+/=1[y(t)= E f(nn,...n.,t)|nn .n.)i%[4(t))=|4(1))2n,n2..-n=()b,+(V|kl)bbkjjikiH是抽象占据数Hilbert空间（福克空间）的(二次量子化)哈密顿算符。粒子的统计性和算符性质包含于产生和潼灭算符中：[a,,a,]+=[a,a,l+ =0, [a,a,]+ =8]和是c数。f给出了一次与二次量子化态矢之间的联系
六、归纳：二次量子化的薛定谔方程 1 2 1 2 1 2 ( ) ( , ) n n n t f n n n t n n n = ( ) ( ) ˆ i t H t t = 1 ˆ 2 i j i j l k ij ijkl H b i T j b b b ij V kl b b + + + = + H是抽象占据数Hilbert空间（福克空间）的(二次量子化)哈密顿算符。 粒子的统计性和算符性质包含于产生和湮灭算符中: 和是c数。 f 给出了一次与二次量子化态矢之间的联系 1 1 1 ( ) ( , ) 2 N N k k l k k l H T x V x x = = = + ai aj = ai aj = ai aj =ij + + + [ , ] [ , ] 0; [ , ]
七、应用例子：简并电子气（均匀正电背景中运动的电子气）一%（周期性大箱，边长L，H = He, + H, + Hel-bμL>>1)H, =je'[ d'xd'x n(x)n(r)e4-Z[dx, n(x)e-4x-rlH-ez.1[x-xx-rli=l-e() dde-μx-rl-e[axx-x'Ix-rN24元1N24元-0()[a-[a2Vu7VH =N4-1 4元μ-2 +H感兴趣的物理效应均体现于H。2
七、应用例子：简并电子气（均匀正电背景中运动的电子气） H H H H = + + el b el b− 2 2 1 1 2 2 i j r r N N i el i i j i j P e H e m r r − − = = + − ' 2 3 3 2 ' 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 1 ( ) ( ') ' 2 ' 1 ' 2 ' 1 1 4 2 2 x x b x x z n x n x e H e d xd x x x N e e d xd x V x x N e N e d x d z e V z V − − − − − = − = − = = ( L L 1) 周期性大箱，边长 ， 2 3 1 2 3 1 2 2 3. 2 2 1 ( ) 4 i i N x r el b i i N x r i i N z i n x e H e d x x r N e e d x V x r N e N e d z e V z V − − − = − − = − = = − − = − − = − = − 1 2 2 1 2 4 2 H e N V H el − − = − + 感兴趣的物理效应均体现于Hel
二次量子化形式（平面波为基）2元n(周期性边界条件*n(-hv)elik*nz1h?k2h'k?h'k2-k,)T=Okk>2ml2m2mka3xd'xe-knz,(1)()=-ux2Cxe-iknz, (2)n, (1)eik*n (2)X-x2-Hre(+-- d ye)- Sy=x -x,, =xryo4元+hb+ (-k)+h?k?e?N?4元1ZH:aka+C72VP2mka4元6EEZEOh O Oh+hh+k2(k -k)+)2Vk,kzkggkgg
二次量子化形式（平面波为基） 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 3 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ( ) 1 ( ) 2 2 2 ik x ik x i k k x k k k T k d xe e mV k k d xe mV m − + − = − = = 2 2 ^ † 2 k k k k T a a m ➔ = (周期性边界条件 ) 2 i i n k L = 1 1 1 1 2 2 2 4 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 1 3 2 4 1 3 2 4 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 2 1 2 2 3 3 ( ) ( ) 1 2 2 , 2 2 , , (1) (2) (1) (2) , − + − − − + − − + − − − + = − = − = = ik x x x ik x ik x ik x y i k k k k x i k k y k e k k V k k d x d x e V e e e e x x e e y x x x x d xe d ye V y e V 2 3 4 , 2 2 1 3 4 ( ) + − + k k k k k 1 3 2 4 1 2 3 4 1 1 2 2 4 4 3 3 1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 ^ 2 2 , 2 2 1 3 1 4 2 2 4 2 ( ) k k k k k k k k k k k k k k k e N k H a a V m e a a a a V k k + + + + + = − + + − +
4元ZZH的最后一项：C2Vuqkpg222o4元4元eMMZZ2V2V+uLkpqkpe4元由于：ZZatara(apaaph-Smo.2.2-2Vukaph2ee?N2e2 N 4元4元4元第一项与前面H的NN2V2V2Vu?u第一项相消考虑先L一>α后μ一>0(L>>1/μ)的极限，得：7h?k?4元H=NN>2V2mqkakpq=H. + H
1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 , , 2 2 ' 2 2 2 , , 4 2 4 4 2 2 k q p q p k kpq k q p q p k k p p k kpq kp e a a a a V q e e a a a a a a a a V q V + + + − + + + + + − + = + + H的最后一项： 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ^ ^ 2 2 2 4 ( ) 2 4 4 4 ( ) 2 2 2 k k p p kp k p e a a a a V e e N e N N N V V V + + − = − = − 由于： 第一项与前面H的 第一项相消 考虑先L－>∞后µ－>0 (L>>1/µ)的极限，得： 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ^ ' 2 , , 0 1 4 2 2 =H k k k q p q p k k kpq k e H a a a a a a m V q H + + + = + + − +