《高等量子力学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 近似方法 5.3 微扰理论应用举例

5.3微扰理论应用举例（续）

5.3 微扰理论应用举例（续）

一、类氢原子的动能相对论修正(p")2-11AK=p°c? +m*c+-mc?- PH8m2c2m2mca1a2apaaHsing2marsingag00sin?0 ap2maiL1(1 +1)Ze2naaC1.1.22mh?rOr0arar2m217-mZe41能级：E°mc2z2α2 (n=k+l+1)2h'n?2Ze2110)2+2E(0)(nlml[nlm)+(nlm|()[nlm)]22mc

一、类氢原子的动能相对论修正 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) [ (sin ) ] ( ) 2 2 sin sin 1 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 2       −        = + = + + +          −   −   + −     = − + = − +             p H V r r V r m m r r r r L l l Ze r V r r m r r r r m r r r r r 2 4 0 2 2 2 2 2 1 E =- Z ( 1) 2 2 能级：  − n = = + + mZ e mc n k l n 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 0 ( ) 1 ( ) 2 8 2 K= -mc - −  + = − = + p p Ze p c m c H m m c mc r 2 2 (1) (0) 2 (0) 2 2 1 [( ) 2 ( ) ] 2  = − + + nl n n Ze Ze E E nlm nlm nlm nlm mc r r

一、类氢原子的动能相对论修正（续）Ze-1微扰V,(r)==;V(t)-(Ze? → Ze? -);m(Ze? - 2)?dE,(a)E,(a)=E(1=0)+2h'n?da-nlm)=-2Enim元h=1(I + 1)h1(l'+1)α h1(l+1)对微扰势：V,(r)=722mr222mr?2mr?mZedE,(a)E.(a)(2h2(k+1'+1)da4nEonlm1 +23n)moh242t修正为原能级能量的(Zα/n)^2倍的量级

一、类氢原子的动能相对论修正（续） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 0 2 4 0 2 2 ( 1) ( 1) '( ' 1) V (r) 2 2 2 ( ) ( ) ( 0) | . 2 ( ' 1) 4 ( ) 1 2 对微扰势：  ，         = + + + = → + = = − = = + + + + → = + n n n n l l l l l l r mr mr r mr mZ e dE E E k l d Z e n nlm nlm E r l 2 2 (1) 0 2 4 4 2 4 3 3 1 3 1 [ )] [ ] 4 2 4 1 1 ( ) 2 2 (- + -   = = − +  + + nl n Z n E mc Z n n l n l 2 2 2 2 2 2 2 0 V (r) ;V(r) - (Ze ); ( ) ( ) ( ) ( 0) | . 2 微扰            = − = → → − − = − = = + + n n Ze Ze r r m Ze dE E E n d 2 0 = −2 n Ze nlm nlm E r 修正为原能级能量的(Zα/n)^2倍的量级

原子的精细结构：自旋轨道作用类似氢的原子如碱金属，外层电子所受势为非纯库仑形式的中心势。不同1的能级分裂，1越大能量越高。自旋轨道作用可定性地理解为：在电场中运动的电子感受到等效磁场V×E=二×VV(r），其对电子磁矩作用导致（李纳-韦谢尔势）B effCceespdv(r)1x1dvHis = -ii . B.(L. S)XFm2c2rdrrdrmcmce上式比实际大一倍，需用相对论性量子力学解释。下面我们取11dVJ?-L-$21 dv1(L.S)Hts2m,c222mc2rdrrdr对Ho=p2/2m+Vc(r)，可选基：[s;mm,>或[Is;jm,>由于HLs与J2、J对易，选[Is;jm>为基：中nlm=Rn/(r)j-1±12.m

二、 原子的精细结构：自旋轨道作用 ◼ 类似氢的原子如碱金属, 外层电子所受势为非纯库仑形式的中心势。 不同l 的能级分裂，l 越大能量越高。 ◼ 自旋轨道作用可定性地理解为：在电场中运动的电子感受到等效磁场 ◼ , 其对电子磁矩作用导致（李纳-韦谢尔势） ◼ 上式比实际大一倍，需用相对论性量子力学解释。 ◼ 下面我们取 ◼ 对H0=p2 /2m+Vc (r) ，可选基：|ls;mms >或|ls;jmj> ◼ 由于HLS与J 2 、Jz对易，选|ls;jmj>为基： ( ) eff c v v B E V r c ce = −  =   2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 c c LS e e dV dV J L S H L S m c r dr m c r dr − − =  = ( ) ( ) 1 1 2 2 L S dr dV dr m c r dV r r x mce p mc eS H B c c L S eff        = −  = −   = 

由于Hs在中nlm下已对角化，故一级能量修正为1i=2152OV（朗德间隔定则）2/[-(1+1)]2m2c21dr2dv1ayRLddrdrCHLs对不同j产生的能移差正比于(2I+1)和nl对Na,基态为(1s)2(2s)2(2p)(3s),3p与3s能量不简并，而HLs使3p1/2和3p3/2进一步分裂，使其向3s的跃迁产生所谓Na的两条D线，波长为5890和5896A(黄光)由于n~e2/ag3,精细结构的分裂量级为：2)(h)=e即约为Balmer分裂(e2/ao)的aomnα2=(1/137)2倍，非常小，与相对论质量修正导致的能移同量级

◼ 由于HLS在Ψnlm下已对角化，故一级能量修正为 ◼ HLS对不同 j 产生的能移差正比于(2l+1)和nl ◼ 对Na,基态为(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s),3p与3s能量不简并，而HLS使3p1/2和3p3/2 进一步分裂，使其向3s的跃迁产生所谓Na的两条D线，波长为5890和 5896A(黄光) ◼ 由于nl ~ e2 /a0 3 , 精细结构的分裂量级为： ◼ 即约为Balmer分裂(e2 /a0 )的 α 2=(1/137)2倍，非常小，与相对论质量修正导致的能移同量级。 2 2 2 2 2 2 3 2 0 0 0 ( )( ) ( ) ( ), = = e e e e e a a m c a c m e （朗德间隔定则）

氢原子的超精细结构质子的磁矩与电子的磁矩相互作用pes.5.6eS,15.6mAH一faom.c 2m,c ampm5.6m4氢原子基态分裂：Ah2比精细结构还小mm.c1约三个量级所得跃迁波长为21.4cm。该21-cm线是探测宇宙中氢分布的一种途径

氢原子的超精细结构 ◼ 质子的磁矩与电子的磁矩相互作用： ◼ 氢原子基态分裂： 比精细结构还小 约三个量级 所得跃迁波长为21.4cm。该21-cm线是探测宇宙中氢分布 的一种途径 1 2 2 3 3 3 1 2 0 0 0 5.6 1 1 5.6 ; [( ) ] 2 2 e p e hf e p p e eS eS m e H AS S A a m c m c a m m c a   = − =  =  = 2 2 3 0 5.6 1 [( ) ] 2 e p e m e A m m c a =

三、Zeeman效应均匀磁场可由势A=(Bxr)/2得出。取B沿z方向电子的H(除自旋项外)：e?A?p?H:·A+A·p)2me2m2m.c2因A无散，A·p+p·A=2A·p=BLz, A2=/4B2(x2+y2)p2故H:e4B/2Y122me2m8m（B2项一般可忽略考虑电子自旋磁矩与磁场的作用，可将H分为：p2V.(r)Ho=2me11 dV(relBHHLsL·S2mecdrS2m2cI

三、Zeeman效应 ◼ 均匀磁场可由矢势A=(Bxr)/2得出。取B沿z方向, ◼ 电子的H(除自旋项外)： ◼ 因A无散，A•p+p•A=2A•p=BLz , A2=¼B2 (x2+y2 ) ◼ 故 ◼ （B2 项一般可忽略 ◼ 考虑电子自旋磁矩与磁场的作用，可将H分为：

磁场不强时将HB作为微扰，采用H+Hs的J2,J,本征态为基矢，则一- eB阶能移为：J, + S,)j=/±1/2,m2mecS,的期待值可求出为mhh=+m=号(SICmm2 (2 +1)(21 +1)ehB得AEB，此即（反常）Zeeman2mec效应

磁场不强时 ◼ 将HB作为微扰，采用H0+HLS的J 2 ,Jz本征态为基矢，则一 阶能移为： ◼ Sz的期待值可求出为 ◼ 得 ，此即（反常）Zeeman 效应。 1 2 2 2 , 1 1 1 ( ) [( ) ( )] 2 2 (2 1) 2 2 (2 1) =  = − =  + − + =  + − + + z j l m m S c c l m l m l l

磁场比较强时如果HB比His大很多，则应用H.+HB作零阶H，而将Hs作为微扰，并用|1,s=%;m,m>为基e|B|h由于<Hg)mm=一m,+2m,)2mec原2(21+1)简并的H,态分裂，新简并态具有相同m,+2m(m=1/2,-1/2;最多2重兼并）h?mjms/1dv由于<HLs)mm,rdr2m2c2此时m+2m简并的态进一步分裂

磁场比较强时 ◼ 如果HB比HLS大很多，则应用H0+HB作零阶H，而将HLS作 为微扰，并用|l,s=½;ml,ms>为基。 ◼ 由于 ◼ 原2(2l+1)简并的H0态分裂，新简并态具有相同ml+2ms (ms=1/2,-1/2; 最多2重兼并） ◼ 由于 ◼ 此时ml+2ms简并的态进一步分裂

微扰方法的选取：由于HB ~ ehB/,HLs ~(1/137)2e/2m.c"据B的大小，可定出应用Ho+HLs，还是Ho+HB的本征态为基。对HB~HLs的B，则应以简并态微扰形式处理HB+HLS磁场中原子的微扰方法主导作用磁场强度量子数：不好近似好总是好的弱HLsJ (或L·S)L?, S2, JzLz, Sz强HLz, SzJ2 (或L·S)

◼ 微扰方法的选取： ◼ 由于 ◼ 据B的大小，可定出应用H0+HLS，还是H0+HB的本征态为基。 ◼ 对HB~HLS的B，则应以简并态微扰形式处理HB+HLS ◼ 磁场中原子的微扰方法 2 2 0 ~ , ~ (1/137) , 2 B LS e H H e B e m c a 磁场强度 主导作用 量子数： 近似好 不好 总是好的 弱 HLS J² (或L·S) Lz , Sz L² , S², Jz 强 HB Lz , Sz J² (或L·S)