[)与[0)的关系（续）由于[a,at]=1，对由a及a+组成的函数，求与该函数的对易0等价，a与-%等关系时，a与等价，有Qataeαat-αa [0 >= αeαa'-αa [0>故eαa*-αa0>是a的本征值为α的本征态h2hI ateiot + a(0)e-iot=cos ot = Lcos otα >=2momo考虑到a并非厄米算符，本征值不一定为实数，可对在复平面作解析延拓，记为入，即I>=eat-a[0>
与 的关系（续） ◼ 由于[a,a+ ]=1，对由a及a +组成的函数，求与该函数的对易 关系时，a与 等价， a + 与 等价，有 ◼ 故 是a的本征值为 α的本征态 ◼ 考虑到a并非厄米算符，本征值不一定为实数，可对在复 平面作解析延拓，记为λ，即 0 + a a − | 0 | 0 a a a a ae e + + − − = − + | 0 a a e 0 2 | ( )| | (0) | cos cos 2 i t i t t a e a e t L t m m + − = + = = = − + | | 0 * a a e
2.6传播子和Feynman路径积分一、波动力学的传播子不含时哈密顿量体系的时间演化，可以用与H对易的观测量的本征展开初态即可求得：H(-t)/α,taa,>(0)I α,to;t>=ea或y(X, t)=(x'lα,to;t) =Zca.(t。)ua.(x")e-iEa.(t-to)/ha'其中，ua (x')=Ca(to)==Jd'x'(d'x'ua (x')y(x',to)
2.6 传播子和Feynman路径积分 一、波动力学的传播子 ◼ 不含时哈密顿量体系的时间演化，可以用与H对易的观测 量的本征矢展开初态即可求得： ◼ 或 ◼ 其中， a' 0 iE (t t )/ 0 0 0 0 a' iH(t t ) / | α, t ;t e | α, t | a' a' | α, t e − − − − = = ' 0 iE (t t )/ 0 ' 0 ' a' ψ(x', t) ' , ; (t ) ( ')e a a a x t t c u x − − = = ua' (x') = x'| a' 3 ' 0 0 0 3 * ' 0 (t ) ' | , t ' ' | ' ' | , t ' ( ') ( ',t ) a a c a d x a x x d x u x x = = =
将上述表达式改写成：=Ze-i.(-0)/a=Jd'xZe-F.(-0)/ha'=Jd'xZa'|x">y(x,to)e-E.(-0)/ha'即(x",t)=[d'x'K(x",t;x',to)w(x',t。)K(x",t,x',to)=Ze-iEa(t-t0)/h这里称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。可见：1)波函数的时间演化由K确定(波动力学是纯粹的因果理论：2）波函数的时间变化与经典力学物理量一样完全确定。3不同处：当测量介入时，波函数将转化为所测观测量的本征函数之一。该转化或“投影”呈概率性，但统计几率确定
◼ 将上述表达式改写成： ◼ 即 ◼ 这里 ◼ 称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量 的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。 ◼ 可见：1) 波函数的时间演化由K确定(波动力学是纯粹的因果理 论); 2) 波函数的时间变化与经典力学物理量一样完全确定。3) 不同处：当测量介入时，波函数将转化为所测观测量的本征函 数之一。该转化或“投影”呈概率性，但统计几率确定。 ' 0 ' 0 ' 0 ( )/ 0 0 ' 3 ( )/ 0 ' 3 ( )/ 0 ' "| , ; "| ' ' | , ' "| ' ' | ' ' | , ' "| ' ' | ' ( ', ) a a a iE t t a iE t t a iE t t a x t t x a a t e d x x a a x x t e d x x a a x x t e − − − − − − = = = (x" , t) d x'K(x" , t; x' , t ) (x' , t ) 0 0 3 = ' 0 ( )/ 0 ' ( ", ; ', ) "| ' '| ' a iE t t a K x t x t x a a x e− − =
二、传播子的基本性质K(x",t;x,t)=Ze-iE(-0)/h1.传播子 K(x",t;x",t)满足含时薛定谔波动方程（x",t>to为变h: ih% k(x",t,x',to)=[-量，to,x不变）：V"2+V(x")]K(x",t,x',to)at2m2. limK(x",t;x,to)=S'(x'-x")（即)t-→to这两性质说明传播子可看作是to时处于x’的粒子在时刻的波函数( K(x",t;x,t。)=初态有空间分布时，则将初态波函数乘以传播子并对空间积分，与静电学求电势相似（但K有“相位”）d(x) = / d3x _P(x)[x-x3.传播子是含时波动方程的格林函数 2 +V(x"))-iaK"(x",t;x',to) = -in83(x'-x")8(t -to)2mat和边界条件 K(x",t;x',t）=O（对t<to）
二、传播子的基本性质 ◼ 1. 传播子 满足含时薛定谔波动方程（ ,t>t0为变 量， 不变）： ◼ 2. （即 ） ◼ 这两性质说明传播子可看作是t0 时处于 的粒子在t时刻的波 函数（ ） ◼ 初态有空间分布时，则将初态波函数乘以传播子并对空间积分， 与静电学求电势相似（但K有“相位”）： ◼ 3. 传播子是含时波动方程的格林函数： ◼ 和边界条件 （对t<t0）. 0 K x t x t ( ", ; ', ) x" t , x' 0 x x "| ' 0 3 0 t lim ( ", ; ', t ) ( ' ") t K x t x x x → = − = − − K(x" , t; x' ,t ) x"| e | x' i H(t t ) / 0 0 x ' | x x'| (x') (x) d x' 3 − = 2 2 0 0 ( ", ; ', t ) [ '' ( '')] ( ", ; ', t ) 2 i K x t x V x K x t x t m = − + ' 0 ( )/ 0 ' ( ", ; ', ) "| ' '| ' a iE t t a K x t x t x a a x e− − = K"(x" ,t;x' ,t ) i (x' x") (t t ) t " V(x") i 2m 0 3 0 2 2 = − − − − + − K(x" ,t;x' ,t 0 ) = 0
K(x",t,x,to)=Za'|x>e-.(-0)/h三、传播子的例子a传播子的具体形式依赖于粒子所受的势。1.一维自由粒子。P与H对易，共同本征态[p'>, plp'>= p'lp'>, H|p")Ip'2m1ip'x'/h<x'lp's由 /2元h可得1ip'2(t - to)ip'(x"-x)K(x",t.h2mh2元him(x"- x')mexp2h(t -to)V2元ih(t-to)
三、传播子的 例子 ◼ 传播子的具体形式依赖于粒子所受的势。 ◼ 1. 一维自由粒子。P与H对易，共同本征态 ◼ 由 ◼ 可得 2 ' |p' , p|p' p'|p' , ' ' 2 = = p H p p m i p'x'/ e 2 1 x'| p' = 2 0 0 2 0 0 1 '( " ') ' ( ) ( ", ; ' ) 'exp 2 2 ( " ') exp 2 ( ) 2 ( ) ip x x ip t t K x t x t dp m m im x x i t t t t − − − = − − = − − ' 0 ( )/ 0 ' ( ", ; ', ) "| ' '| ' a iE t t a K x t x t x a a x e− − =
自由空间高斯波包的扩散由im(x"_mK(x",t,x'to)=expV2元ih(t-to)2h(t-to)和exp(- x"Y(x,0) = e'pox/h(d)可得: Y(x,t)= [K(x,t,x,0)P(x',0)dx2 exp[-(x- Pgt / m) (1-iht / md.int=[元/2(d。 +2d.(1+h't / m'd。)md2m1/2= d /21/2, 1/2= h /(21/2 d.)d = do(1+h*t? / m’d.*)1/2
自由空间高斯波包的扩散 ◼ 由 和 可得： 2 0 0 0 ( " ') ( ", ; ' ) exp 2 ( ) 2 ( ) − = − − m im x x K x t x t i t t t t 2 1/ 4 0 2 0 2 '/ ( ) ) 2 ' exp( ( ' ,0) 0 d d x x e i p x − = 4 1/ 2 0 2 2 2 0 0 2 1/ 2 1/ 2 2 1/ 2 1/ 2 (1 / ) ( ) / 2 , ( ) /(2 ) d d t m d x d p d = + = = )] 2 ]exp[ ( 2 (1 / ) ( / ) (1 / ) [ ( )] exp[ ( , ) ( , ; ',0) ( ',0) ' 0 0 4 0 2 2 2 2 0 2 0 2 1/ 2 0 0 0 1/ 2 m p t x ip d t m d x p t m i t m d m d i t d x t K x t x x dx − + − − − = + = −
2.谐振子的传播子1momo-mo波函数为 u,(x)e-E,g/hHexp2hh2% Jn!元himomo其传播子为 K(x"t;x't。)=V2元in sin [o(t - t)]2hsin o(t -to)(x"2 +x"2)cos[o(t - t。)}2x"x') )该式的直接证明非常复杂，需利用特殊函数的性质-(92 +2-29n)2=p[-(+)()(9)H,()exlV1-52(1-5)?也可通过a和at算符方法最方便的是利用即将描述的路径积分方法。由于传播子是以w为角频率的时间周期函数，位于x的粒2n元子将在 t=回到原位置。0
2. 谐振子 的传播子 ◼ 波函数为 ◼ 其传播子为 ◼ 该式的直接证明非常复杂，需利用特殊函数的性质 ◼ 也可通过a和a +算符方法 ◼ 最方便的是利用即将描述的路径积分方法。 ◼ 由于传播子是以ω为角频率的时间周期函数，位于x’的粒 子将在 回到原位置。 ( ) 1 2 2 1 4 / 2 2 1 exp 2 2 ! n i n t iE t n n n m m x m u x e H x e n − + − − = ( ) ( ) (x" x' )cos (t t ) 2x"x' * 2 sin t t im exp 2 i sin t t m K(x"t; x't ) 0 2 2 0 0 0 + − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1 2 exp exp 1 1 2 ! n n n n n H H n = − + − = − + − − = 2n t
四、传播子的时间与空间积分空间积分:G(t)=[d'x'K(x,t;x,0)=JdxZkxa'>Pe-E.u/ =-Ee-f.a/h由于K(x",t;x't)=，取 x"=x并积分相当于求坐标表象中时间演化算符的迹。由于迹不随表象变，在Ia'>表象中H对角，便于求出G(t)。在G(t)的表达式中若令t为纯虚数且 β=it/h为正实数，则G(t)演化为 Z=Zexp(-βE。），与统计力学的配分函数是有相同形式。因此，研究量子力学传播子的一些技巧与方法对统计力学也有用（反之亦然）
四、传播子的时间与空间积分 ◼ 空间积分： ◼ 由于 ，取 并积分相 当于求坐标表象中时间演化算符的迹。由于迹不随表象变， 在 表象中H对角，便于求出G(t) 。 ◼ 在G(t)的表达式中若令t为纯虚数且 为正实数，则 G(t)演化为 ，与统计力学的配分函数是有 相同形式。因此，研究量子力学传播子的一些技巧与方法 对统计力学也有用（反之亦然）。 ( ) ( ) ' ' 3 3 2 / / ' ' ' ', ; ',0 ' | ' | ' | a a iE t iE t a a G t d x K x t x d x x a e e − − = = ( ) 0 ( )/ 0 ", ; ' "| | ' iH t t K x t x t x e x − − = x" x' = | a' = it/ ( ' ) ' Z exp a a = − E
G(t)的Laplace-Fourier变换G(E) = -if~ dG(t)eiEu/ / h = -il~ dt exp(-iEgt / h)eiEu/ / h被积函数振荡，积分不易求。令E一E+iε.且&一>0，则(-i/ h) J°e-*dxG(E)= lim -if° dtZe-(E,-E)ie-sh / hl=limi(E。-E)+6>06-0aah111= lim(E-E)+iE-E6-→0可见体系的完整能谱都表现在复E一平面的G(E)的极点。研究物理体系的能谱，只需要研究G(E)的解析性质
G(t)的Laplace-Fourier变换 ( ) ( ) ( ) / / ' 0 0 ' / exp / / iEt iEt a a G E i dtG t e i dt iE t e − = − − 被积函数振荡，积分不易求。令E→E+iε,且ε→0，则 可见体系的完整能谱都表现在复E—平面的 的极点。 研究物理体系的能谱，只需要研究 的解析性质 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' / / 0 0 0 0 ' ' ' 0 ' ' ' ' / lim / lim 1 1 lim − − − − → → → − − = − + = = − + − a x i E E t t a a a a a a a i e dx G E i dt e e i E E E E i E E G(E) ~ G(E) ~
2.6传播子和费曼路径积分五、传播子作为跃迁振幅波函数是位置左与随时间变化右矢的内积，也可被认为是海森堡绘景中反向时间演化的位置左与不含时状态右天之乘积。类似地，传播子可写为K(x",t;x,t)=Ze-E.(-0)/=Z=a这里是海森堡绘景中位置算符的本征左矢和右矢。因是从la',t。>到lb',t>态的跃迁振幅，故是t,时处于x'的粒子在t时处于x”的几率振幅。或者说是由时空点（t。）到另一时空点（x"，t）的跃迁振幅。另种解释由于海森堡绘景中任一时刻观测量的本征矢都可选作基失，我们也可称为链接不同时间的两组基的变换函数。因此，在海森堡绘景中，时间演化可看作改变基函数的么正变化这与经典力学物理量随时间变化可看作由哈密顿量产生的正则变换相似
2.6 传播子和费曼路径积分 五、传播子作为跃迁振幅 ◼ 波函数是位置左矢与随时间变化右矢的内积，也可被认为是海森堡绘 景中反向时间演化的位置左矢与不含时状态右矢之乘积。类似地，传 播子可写为 ◼ 这里 和 是海森堡绘景中位置算符的本征左矢和右矢。 ◼ 因 是从 到 态的跃迁振幅，故 是t0时处于 的粒子在t时处于 的几率振幅。或者说 是 由时空点 到另一时空点 的跃迁振幅。 另种解释 ◼ 由于海森堡绘景中任一时刻观测量的本征矢都可选作基矢，我们也可 称 为链接不同时间的两组基矢的变换函数。 ◼ 因此，在海森堡绘景中，时间演化可看作改变基函数的幺正变化。 这与经典力学物理量随时间变化可看作由哈密顿量产生的正则变换相似。 ( ) ( ) ' 0 0 / 0 ' / / 0 ' K x",t;x',t "| ' ' | ' "| | ' ' | ' ", | ', a iE t t a iHt iHt a x a a x e x e a a e x x t x t − − − = = = x t ", | | x' ,t 0 b' ,t | a' ,t 0 | a' ,t 0 | b' , t x" ,t | x' ,t 0 x' x" x" ,t | x' ,t 0 (x' ,t ) 0 ( ", ) x t x" ,t | x' ,t 0