83.5角动量的本征值和本征态本节讨论一般的角动量的本征值和本征态，并给出角动量算符矩阵表示的矩阵元一、对易关系和本征态失[Ji,J, ]= ihgikJk角动量算符的基本对易关系为这里J是绕轴无穷小角转动的生成元，定义角动量的平方算符2=JJ+JJ,+J,J由角动量算符的基本对易关系可知J2与任何J对易。由于不同J.不对易，只能选择某个J.与J2的共同本征态为基通常选J2与J的共同本征态。若用la,b>标记该本征态，则有J2 la,b> =a la,b> , Jz [a,b> =b [a,b>
§3.5 角动量的本征值和本征态 ◼ 本节讨论一般的角动量的本征值和本征态，并给出角动量 算符矩阵表示的矩阵元。 一、对易关系和本征态矢 ◼ 角动量算符的基本对易关系为 这里Ji是绕i轴无穷小角转动的生成元。 ◼ 定义角动量的平方算符 由角动量算符的基本对易关系可知J 2与任何Ji对易。 ◼ 由于不同Ji不对易, 只能选择某个Ji与J 2的共同本征态为基, 通常选J 2与Jz的共同本征态。 ◼ 若用|a,b>标记该本征态，则有 J 2 |a,b> =a |a,b> ，Jz |a,b> =b |a,b> 。 i j ijk k J ,J = i J 2 x x y y z z J J J J J J J = + +
二、阶梯算符定义：J+=Jx土iJy，J+是非厄米的。[2, J ] -= 0[Jz, J↓ ] = ±hJ +容易证明：[+,J]=2J,,由于 J.(J±[a,b))=[J.,J↓]+J+J.}la,b)=(b±h)J[a,b)J+la,b>也是J,的本征态，对应于本征值(b土h）。既J+作用于J,的本征态结果仍为J,的本征态，但相应本征值增加土π。因此，J+称为阶梯算符，或角动量的升(降)算符，是自旋升降算符在一般角动量情形的推广。又由于J+与J2对易，J+不改变J2的本征值，即：J+la,b>=C+la,b±h>，C+由归一化条件确定
二、阶梯算符 ◼ 定义: J±=Jx±iJy，J±是非厄米的。 ◼ 容易证明： ◼ 由于 J±|a,b>也是Jz的本征态，对应于本征值 。 既J±作用于Jz的本征态结果仍为Jz的本征态，但相应本征 值增加 。因此， J±称为阶梯算符，或角动量的升(降) 算符，是自旋升降算符在一般角动量情形的推广。 又由于J±与J 2对易, J±不改变J 2的本征值. 即： J±|a,b> = c±|a,b > ， c±由归一化条件确定。 J ,J 2 J , J ,J J , J ,J 0 2 + − = z z = = (b ) J J a b J J J J a b b J a b z z z ( , , , , ) = + = ( )
三、J2与J，的本征值由于J2=J2+J+J，Jx、J,是厄米算符，其任意态的期望值为实数，故a-b≥0>对给定a，b有上限bmax和下限bmin’且J-la,bmax>=0,J.[a,bmin>=0,由JJ=J2-J?-hJ.J.J [a,bmax)=(a-bmax -hbma)=0a.b.....maxaa得 a = bmx (bmx +h); 类似有 a=bmin (bmin -h)> bmin=-bmax由bmin和bmax的唯一性知，J+作用于|a,bmin>有限次数应能达到[a,bmax>，故 bmax =bmin +nh, bmax = nh/2
三、J 2与Jz的本征值 ◼ 由于 ，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的期 望值为实数，故 a-b 2≥0 →对给定a, b有上限bmax和下限 bmin，且J+ |a,bmax>=0，J- |a,bmin>=0. ◼ 由 得 ；类似有 → bmin=-bmax ◼ 由bmin和bmax的唯一性知，J+作用于|a,bmin>有限次数应能 达到|a,bmax>，故 2 2 2 2 z x y J J J J = + + ( ) 2 2 2 max max max max , , , 0 z z J J J J J J J a b a b b a b − + − + = − − = − − = = ( + ) bmax bmax a = ( − ) bmin bmin a max min max b b n b n = + = , / 2
记J,的最大本征值为jh，则j=n/2为整数或半整数，而J2的本征值为 j(i+1)n2。J,的本征值一般为mh，其中-j≤m≤j，共有2j+1个可能值-j,-j+1..., j-1, j。改记|a,b>为li,m>，则J2[j,m)=j(j+1)h2[j,m), J.|j,m)=mh|j,m)上述推导只用了角动量对易关系，即角动量的量子化源于转动和角动量作为转动生成元的基本性质
◼ 记Jz的最大本征值为 ，则j=n/2为整数或半整数，而J 2 的本征值为 。 ◼ Jz的本征值一般为 ，其中-j≤m≤j，共有2j+1个可能值 -j，-j+1.，j-1，j。 ◼ 改记|a,b>为|j,m>，则 ◼ 上述推导只用了角动量对易关系，即角动量的量子化源于 转动和角动量作为转动生成元的基本性质。 ( ) 2 2 , 1 , , , , z J j m j j j m J j m m j m = + = j ( ) 2 j j+1 m
四、角动量算符的矩阵元为归一化的，则<j', mJ.lj,m)=mh8,omm因J+lj,m)=ctmlj,m+1)而《j,mJtJ+lj,m)=<j,m(J2-J?-.)lj.m)= h2[j(j+1)-m2- m]故Icjm)2=h2[(j+1)-m(m+1)]= h2(j-m)(j+ m +1)取Cm为正实数，有：J+lj,m）=V(j-m)(j+m+1)lj.m+1)J_lj,m)=y(j+m)(j-m+1)hlj,m-1)类似地J+的矩阵元为<j,m±lj,m）=V(j+m)(j±m+1)h8,8mm±1而由Jx=(J.+J.)/2，Jy=(J+-J.)/2i可定出J和J,的矩阵元(J;不改变i)
四、角动量算符的矩阵元 ◼
五、转动算符的表示对绕n转Φ角的转动R，转动算符的矩阵元为-iJ.npli,m）(D在不同j之间的矩阵元为零)Dm(R)=<j,mlexplh这些矩阵元有时称Wigner函数。由のm(R)形成的(2j+1)x(2j+1)矩阵称为D(R)的(2j+1)维的不可约表示。即对一般的转动，D可按不同而成分块对角形式，且每一块不可用任何基而进一步划分为更小的块对角形式，即2j+1-k2/+D(R)=
五、转动算符的表示 ◼ 对绕 转Φ角的转动R，转动算符的矩阵元为 ◼ (D在不同j之间的矩阵元为零) ◼ 这些矩阵元有时称Wigner函数。 ◼ 由 形成的(2j+1)x(2j+1)矩阵称为D(R)的(2j+1) 维 的不可约表示。即对一般的转动，D可按不同j而成分块对 角形式，且每一块不可用任何基而进一步划分为更小的块 对角形式，即 ◼ D(R)= , n ˆ
六、转动算符表示的一般性质1.由任一确定i所表征的转动矩阵形成一个群a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-Φ角），c)乘积Zm（R)（R2）=（R,R2）也是成员，其中乘积R,R表示单一转动；d)结合律也满足。2.么正性：Dm(R)-(jmle/|jm)=(jmle-1-0/|jm)=Dw.(R)3.のm(R)是lim>经R转动后在lim>态中找到的几率振幅：①(R)Ij, m)= Zlj, m'><j,m(R)lj,m)m-Elj,m')のMm(R),m
六、转动算符表示的一般性质 ◼ 1. 由任一确定 j 所表征的转动矩阵形成一个群 a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-Φ角），c)乘 积 也是成员，其中乘积 R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。 ◼ 2. 幺正性： ◼ 3. 是|jm>经R转动后在|jm’>态中找到的几率振幅: ( ) ( ) * 1 iJ n iJ n ˆ ˆ D D m m mm R jm e jm jm e jm R − − = = =
七、Euler转动的转动算符矩阵表示对用Euler角表征的转动，有iJ.α①Mm(α,β,) =<j,mexphh5iJ.B=e-i(m'a+my)<j,m'jexp(3.5hdmm(β)=<j,mexp可见只要求出hmm(α,β,)则可得到(-in-ny)2Oio-nd例如对j=1/2,exr2cos(鲁)+ in,sin(鲁)BβCOS22BBsincOs22
七、 Euler转动的转动算符矩阵表示 ◼ 对用Euler角表征的转动，有 ◼ 可见只要求出 ◼ 则可得到 ◼ 例如对j=1/2, ( ) − − 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos m 2 1 m e 2 1 d 2 i 2 1 m m y
对j=1，d(1)是3x3矩阵.利用Jv=(J+-J.)/2i及J+的矩阵元可知：m=1m=0m=-10-V2i0m'=1hAV2i-V2i0m'=0.V2i00m'=-1J(=l)h可以验证：hiJ.Bsinexp可知利用级数展开，h从而得到)(1 + cos β))(1-cosβ)sinβd()(β)=sinsinβcosβ-()(1 + cos β)(2)(1 - cos β)sinβ类似方法可给出di>1)（β），只是过程比较复杂。简便获得d()的方法将在下次课介绍
◼ 对j=1，d (1)是3x3矩阵.利用Jy=(J+ -J- )/2i及J±的矩阵元可知： ◼ 可以验证： ◼ 利用级数展开，可知 ◼ 从而得到 ◼ 类似方法可给出d (j>1)(β)，只是过程比较复杂。简便获得d (j) 的方法将在下次课介绍
83.6轨道角动量经典物理中，粒子的轨道角动量为L=x×p。量子化后，根据位置与动量的对易关系，容易验证L满足角动量的基本对易关系：[L,L]=ieujkhLk即轨道角动量是一类角动量。其实，不考虑内慕（自旋）角动量时，粒子的角动量J即与轨道角动量L=X×p相同。此外，将1-i,=1-i(ap,-yp）作用于xyz>，有C方h[1- (%)2, ]1x, y,z)=[1-i(%)(8x)+ (会)(8y)]1x, y,2)(3.6.5)=x'-yo,y'+x8p,z')正是绕z轴无穷小转动的结果。即若p是平移的生成元，则L是转动的生成元
§3.6 轨道角动量 ◼ 经典物理中，粒子的轨道角动量为L=x×p。量子化后，根 据位置与动量的对易关系，容易验证L满足角动量的基本 对易关系: ◼ 即轨道角动量是一类角动量。其实，不考虑内禀（自旋） 角动量时，粒子的角动量J即与轨道角动量L=x×p相同。 ◼ 此外，将 作用于|x’y’z’>，有 ◼ 正是绕z轴无穷小转动的结果。即若p是平移的生成元，则 L是转动的生成元。 ( ) z xPy yPx 1 i L 1 i − = − −