第六章二阶电路 上海交通大本科学课程 2003年9月
第六章 二阶电路 上海交通大学本科学位课程 2003年9月
线性定常RLC电路的零状态响应 当is()=u(t)时,为单位阶跃响 R t≥0时的电路方程 vC(0)=0i2(0)=0 d LC +i1=is=l(t)=1 dtr dt t=0时的初始条件:i(0)=i(0)=0,Vc(O)=Vc(0)=0 齐次解 i=kei+ke2 (过阻尼情况) ib= keu cos(n+6)(欠阻尼情况)
线性定常RLC电路的零状态响应 t=0+时的初始条件：iL (0+ )=iL (0- )=0，vC(0+ )=vC(0- )=0 齐次解 当iS(t)=u(t)时，为单位阶跃响 应。 t≥0+时的电路方程 (过阻尼情况) 2 2 ( ) 1 L L L S d i di L LC i i u t dt R dt + + = = = (0 ) (0 ) 0 L C di v dt L + + = = 1 2 1 2 s t s t Lh i k e k e = +cos( ) t Lh d i ke t − = + (欠阻尼情况) S i C i R i L i C R L v (0) 0 Cv = (0) 0 L i =
特解:为响应的稳态分量或强制分量)p=s 所以过阻尼情况=bb+1=ke+ke+is 定常数/+k+=0解得 S1-S2 LS,K,+s,k2=0
特解：为响应的稳态分量(或强制分量)iLp=iS 所以过阻尼情况 1 2 1 2 s t s t L Lh Lp S i i i k e k e i = + = + + 定常数 1 2 1 1 2 2 0 0 S k k i s k s k + + = + = 解得 2 1 1 2 1 2 2 1 S S s k i s s s k i s s = − = − L i 1 0 t
欠阻尼情况i1= ke- cos(Ot+)+is i2(0+)= k cos 0+1=0 定常数 (0) kacos0-ko, sing=0 解得k= cos e C 0= tan ()在瞬态过程中的数值 可能大于电流源的电流 称过电流效应
欠阻尼情况 cos( ) t L d S i ke t i − = + + 定常数 (0 ) cos 1 0 (0 ) cos sin 0 L L d i k di k k dt + + = + = = − − = 解得 1 cos tan S d i k − = − = − iL (t) 在瞬态过程中的数值 可能大于电流源的电流， 称过电流效应。 L i 1 0 t
●同一电路描述同一变量零输入响应时的微分方程与零状 态响应的微分方程的特征方程是相同的,特征根即固有 频率是相同的。因此可认为,特征根仅由电路参数和电 路拓扑结构所决定,与输入无关。 ●特征根在s复平面的位置,决定了电路响应的暂态情况 过阻尼、临界阻尼、欠阻尼和无损耗 ●输入决定电路响应的稳态情况。零输入响应稳态时为零 零状态响应,稳态时强制为与输入一致。 ●初始条件只决定响应的起点。零状态响应在t<0时总为零, 因此定义域可以用响应乘u(表示。 ●零输入响应是初态的线性函数,零状态响应是输入的线 性函数
同一电路 描述同一变量零输入响应时的微分方程与零状 态响应的微分方程的特征方程是相同的，特征根(即固有 频率)是相同的。因此可认为，特征根仅由电路参数和电 路拓扑结构所决定，与输入无关。 特征根在s复平面的位置，决定了电路响应的暂态情况： 过阻尼、临界阻尼、欠阻尼和无损耗。 输入决定电路响应的稳态情况。零输入响应稳态时为零； 零状态响应，稳态时强制为与输入一致。 初始条件只决定响应的起点。零状态响应在t＜0时总为零， 因此定义域可以用响应乘u(t)表示。 零输入响应是初态的线性函数，零状态响应是输入的线 性函数
当is()=8()时,为单位冲激响应 ●取电容电压v(为求解变量 vC(0)=01(0)=0 KCL: ic+iR+i=is=8(t) 电路方程c4+"+1n=0 冲激电流作用于电路的时间是t0,从0~0这一瞬间, 将使电容电压得到1C的跳变,即 c(O)=1 这也可对电路方程两边从0~0积分得到。 电感电流仍是连续量,i1(0+)=iL(0)=0
当iS(t)= (t)时，为单位冲激响应 KCL：iC+iR+iL=iS=(t) 电路方程 0 1 ( ) t C C C dv v C v dt t dt R L − + + = 冲激电流作用于电路的时间是t=0，从0- ~0+这一瞬间， 将使电容电压得到1/C的跳变，即 1 (0 ) C v C + = 这也可对电路方程两边从0- ~0+积分得到。 电感电流仍是连续量，iL (0+ )=iL (0- )=0 取电容电压vC(t)为求解变量 S i C i R i L i C R L v (0) 0 Cv = (0) 0 L i =
●取电感电流L(为求解变量 KCL:ic+i+iL=is=δ( LC d t r dt +i=d(0) 直接对方程两边从0~0积分 02)+0)-40)+f0 因为 (t)dt=0 L(0+)=L(0)=0 则d(0,)d(0)_1 →2(O4) LO
取电感电流iL (t)为求解变量 KCL：iC+iR+iL=iS=(t) 2 2 ( ) L L L d i di L LC i t dt R dt + + = 直接对方程两边从0- ~0+积分 0 0 (0 ) (0 ) [ (0 ) (0 )] ( ) 1 L L L L L di di L LC i i i t dt dt dt R + − + − + − − + − + = 因为 ，iL (0+ )=iL (0- )=0 0 0 ( ) 0 L i t dt + − = 则 (0 ) (0 ) 1 L L di di dt dt LC + − − = (0 ) 1 L di dt LC + =
当t>0时,δ(t)=0,电路方程是齐次微分方程, 即是零输入响应问题。说明冲激电流在t=0时加 入电路,使得i(在t=0+时的微分有一个初值 1LC。 因为y=L 所以v(0,) L 1 LC C 和前面的分析是一致的 ●冲激响应也可以从阶跃响应的微分来求取
因为 当t＞0时，(t)=0，电路方程是齐次微分方程， 即是零输入响应问题。说明冲激电流在t=0时加 入电路，使得 iL (t) 在 t=0+ 时的微分有一个初值 1/LC。 L di v L dt = 所以 1 (0 ) L v LC C + = = ，和前面的分析是一致的。 冲激响应也可以从阶跃响应的微分来求取
线性定常RLC电路的完全响应 v(0,)=V。1(04)=1 全响应=零输入响应+零状态响 应 =自由分量+强制分量 注意:全响忘靓森初是输入的线 性函数
线性定常RLC电路的完全响应 全响应=零输入响应+零状态响 应 = 自由分量 + 强制分量 = 暂态分量 + 稳态分量 注意：全响应既不是初始条件，也不是输入的线 性函数。 S i C i R i L i v 0 (0 ) Cv V + = R L 0 (0 ) L i I + =
例已知E=200V,E0=100V 1(D)R K(t=0 R1=309,R2=1092,L=0.1H C=1000μF,换路前电路处稳态 E ①E R2 求换路后支路电流i(t) 解1、根据换路前电路处稳态vc(0-)=-100V(0)=i(0-) =E(R1+R2)=5A t≥0的电路如右图,此题求全响应i1(t)9A 2、建立电路方程。由外回路 E R2T C VC Ri,+L-l+v=e 对方程求导Ra+m2+=0 d-i icle dt - rc 由内回路k+la+R(-)=E
例 已知 E=200V，E0=100V， R1=30，R2=10，L=0.1H， C=1000F，换路前电路处稳态 求换路后支路电流 iL (t) 解1、根据换路前电路处稳态vC(0-)=-100V,i1 (0-)=iL (0-) =E/(R1+R2 )=5A t0+的电路如右图，此题求全响应i1 (t) 2、建立电路方程。由外回路 对方程求导 Cv C E 1 R1 i t( ) E0 L K t( 0) = R2 Cv C E 1 R1 i t( ) C L i R2 1 1 1 C di R i L v E dt + + = 2 1 1 1 2 0 C di d i i R L dt dt C + + = 2 1 1 C 2 1 d i di i LC R C dt dt = − − 由内回路 ( ) 1 1 1 2 1 C di R i L R i i E dt + + − =