《基本电路理论》第六章（6-1） 二阶线性常微分方程

第六章二阶电路 上海交通大本科学课程 2003年9月

第六章 二阶电路 上海交通大学本科学位课程 2003年9月

线性定常RLC电路的零输入响应 二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路。描述 这种电路的方程是二阶线性常微分方程。 初始条件 C R dh1(0)v(O,)v(0) vC(0)=112(0)=0 L L KCL ic+iR+iL=O 电路方程 C",+n+L=0 l di LC +in=0 dt R dtr dt 因为v=L i2(04)=0 dh2(01)V dt- r at 2L=0 所以LC+ L

线性定常RLC电路的零输入响应 KCL：iC+iR+iL=0 因为 初始条件 电路方程 二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路。描述 这种电路的方程是二阶线性常微分方程。 0 L dv v C i dt R + + =L di v L dt = 所以 2 2 0 L L L d i di L LC i dt R dt + + = (0 ) 0 L i + = 0 (0 ) (0 ) (0 ) L C di v v V dt L L L + + + = = = 2 2 0 0 (0 ) 0 (0 ) L L L L L d i di L LC i dt R dt i di V dt L + +  + + =    =   =  C i R i L i C R L v 0 (0 ) Cv V + = (0 ) 0 L i + =

LC +LL 0特征方程LC32+1s+1=0 dtr dt 特征根 L -4LC R R S C± 2LC 2RC认(2RC丿LC 其中 称衰减系数,阻尼系数 2RO 称谐振频率

特征方程 2 2 0 L L L d i di L LC i dt R dt + + = 2 1 0 L LCs s R + + = 特征根 2 2 2 2 1,2 0 4 1 1 1 2 2 2 L L LC R R s LC RC RC LC      −  −       = = −  − = −  −     其中 1 2RC  称衰减系数，阻尼系数 0 1 LC  称谐振频率

当a>00时,S1<0,2<0,S1S2,为两个不相等的 负实根。 (t)=kei+k,e 由 (04)=k+k2 dl2(0) dtv(0)=Ls k+ Ls2 h2=Vo 求得 k k2 则有 L e e2)t..0 称过阻尼情况

当＞0 时，s1＜0，s2＜0，s1s2，为两个不相等的 负实根。则 1 2 1 2 ( ) s t s t L i t k e k e = + 由 1 2 1 1 2 2 0 (0 ) 0 (0 ) (0 ) L L C i k k di L v Ls k Ls k V dt + + +  = + =   = = + =   求得 0 1 2 1 2 1 V k k s s L = = − − 则有 0 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 0 s t s t L V i t e e t L s s = − − … 称过阻尼情况

(t) 2)t.0 并求得2()=1 )t?0( a()=c (Se-S, 2 )u(t) RR S,-S2 i(1)=C CV e- u

并求得 0 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 0 s t s t L V i t e e t L s s = − − … 0 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 L s t s t C di V v t L s e s e t dt s s = = − − ? 0 0 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) C s t s t R v V i t s e s e u t R R s s = = − − 0 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) C s t s t C dv CV i t C s e s e u t dt s s = = − − , R i v t 0 L i m t 2 m t C i

电路响应的物理过程 一致参考方向下, P0吸收功率, P0发出功率 0P0 P P.0P0 P.0 P 0 Pp 0 P o

电路响应的物理过程 , R i v t 0 L i m t 2 m t C i 0 PC 0 PC 0 PL 0 PL 0 PC 0 PL 0 PR 0 PR 0 PR 0 0 P P 一致参考方向下， 吸收功率， 发出功率

●当=0o时,s1=S2=-0=00=S,为两个相等的负实根。 i (t)=ke+k,te=(k,+k,t )e (0+)=k1=0 di,(o,) L dt =L(sk1+k2)=V0 L 则有 2()≈ te”t..0 称临界阻尼情况

当=0 时，s1=s2=-=-0=s，为两个相等的负实根。 则 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) s t s t st L i t k e k te k k t e = + = + 由 1 1 2 0 (0 ) 0 (0 ) ( ) L L i k di L L sk k V dt + +  = =   = + =   0 1 2 0, V k k L = = 则有 0 ( ) 0 st L V i t te t L = … 称临界阻尼情况

当a<o时,s1 d 为一对共轭复根。则i1()= ke u cos((o1+0) i2(0+)=kcos=0 k dl(0) Lk(a 0+@ sin)=Vo 6=90 则有 i2(t) ecos(Ont+90°)t.0 Lo 并求得 w Ve a sin(o-)=ne a cos(o,t +90-) C 称欠阻尼情况

当＜0 时，s1,2=-jd， 2 2    d 0 − 为一对共轭复根。则 ( ) cos( ) t L d i t ke t    − = + 由 0 (0 ) cos 0 (0 ) ( cos sin ) L L d i k di L Lk V dt      + +  = =   = − + =   0 90 d V k L    = −    = 则有 0 ( ) cos( 90 0 t L d d V i t e t t L    − = − + ) … 称欠阻尼情况 并求得 0 0 0 0 sin( ) cos( 90 ) t t C d d d d v V e t V e t           − − = − − = + − 2 0 0 sin( 2 ) t C d d C i V e t      − = −

ot 2 0 15

V t d V e    − t d V e    − − ci L i c v  2  d  t

●当=0时,S12=+jo0,为一对共轭虚根。则 i, (t)=kcos(ot+6 i1(0+)=kcos6=0 k Lo di (o,)=-Lko, sine=v 6=90 则有 coS(@ot+90) 称无损耗情况

当=0时，s1 ,2=j0，为一对共轭虚根。则 0 ( ) cos( ) L i t k t = +   由 0 0 (0 ) cos 0 (0 ) sin L L i k di L Lk V dt    + +  = =   = − =   0 0 90 V k L    = −    = 则有 称无损耗情况 0 0 ( ) cos( 90 0 L d V i t t t L   = − + ) …