第八章 线性动态网络复频城分析
第八章 线性动态网络复频域分析
第八章线性动态网络复频域分析 8,1拉普拉斯变换及其重要性质 8,2拉普拉斯反变换的部分分式法 83两类约束的复频域形式 84复频域分析法 8.5网终函数及其应用
第八章 线性动态网络复频域分析 • 8.1 拉普拉斯变换及其重要性质 • 8.2 拉普拉斯反变换的部分分式法 • 8.3 两类约束的复频域形式 • 8.4 复频域分析法 • 8.5 网络函数及其应用
81拉普拉斯变换及其重要性质 线性动态网络复频域分析法(也称运算法)是数 学中的拉普拉斯变换(简称拉氏变换将线性动态网 络的时域微分方程转换为复频域代数方程的求解 方法 步骤;首先把时域形式的两类约束、激励函 数通过拉氏变换转换为复频域形式,同时引入复 频域阻抗、导纳等概念,建立复频域的电路模型; 其次选用分析线性网络的各种方法求出响应的象 函数;最后经拉氏反变换求出响应的时域函数 本节介绍拉普拉斯变换及其重要性质
线性动态网络复频域分析法(也称运算法)是数 学中的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)将线性动态网 络的时域微分方程转换为复频域代数方程的求解 方法． 步骤；首先把时域形式的两类约束、激励函 数通过拉氏变换转换为复频域形式，同时引入复 频域阻抗、导纳等概念，建立复频域的电路模型; 其次选用分析线性网络的各种方法求出响应的象 函数；最后经拉氏反变换求出响应的时域函数． 本节介绍拉普拉斯变换及其重要性质． 8.1 拉普拉斯变换及其重要性质
从傅立叶变换到拉普拉斯变换 对函数f)取积分 F(a)=。f(eod(8 称为傅立叶正变换.对F(o)取相反的变换 f(t)= F(oeu d (8-2) 2兀 称为傅立叶反变换 傅氏变换要求满足狄里赫利条件,而且要求函 数绝对可积,即」。(ole<∞,虽然实际信号 般满足狄里赫利条件,但是最常用到的阶跃信号 1()和正弦信号 Am sin at·()等都不满足绝对可积 条件.因此,要对它进行改进
一．从傅立叶变换到拉普拉斯变换 对函数f(t)取积分 ( ) ( ) d (8 1) j = − − − F f t e t t ( ) d (8 2) 2 1 ( ) j = − − t f t F e 称为傅立叶反变换． 称为傅立叶正变换．对 F() 取相反的变换 傅氏变换要求满足狄里赫利条件，而且要求函 数绝对可积，即 ，虽然实际信号 一般满足狄里赫利条件，但是最常用到的阶跃信号 1(t)和正弦信号 等都不满足绝对可积 条件．因此，要对它进行改进． − − f t e t t ( ) d j sin ( ) m A t 1 t
考虑0时,(t=0将(8-1)式修正为 F(o)=f()e-jo dt (8-3) (8-3)称为单边傅氏变换.为保证(绝对可积,将 乘以e,其中o为正实数.再将函数∫(r)e取 单边傅氏变换,有 F()=f(eone jo dt= f(e lo+jo)dt 令S=+ja,s称为复频率,则上式写为 PoO F f(te dt (8-4) 式(8-4)称为拉氏正变换.F(s)称为八的象函数 拉氏变换记为F()=zrol
考虑 t<0 时，f(t)=0 将(8-1)式修正为 ( ) ( ) d (8 3) 0 j = − − F f t e t t (8-3)称为单边傅氏变换．为保证f(t)绝对可积，将它 乘以 ，其中σ为正实数．再将函数 取 单边傅氏变换，有 t e − t f t e − ( ) − + − − − − = = 0 ( j ) 0 j F(s) f (t)e e dt f (t)e dt t t t 令 s = + j ，s 称为复频率，则上式写为 ( ) ( ) d (8 4) 0 = − − − F s f t e t st 式(8-4)称为拉氏正变换．F(s)称为f(t)的象函数． 拉氏变换记为 F(s) = Lf (t)
因∫(t)e的傅氏变换是F(),则 f(te-orsi roo F(o+jojeJo da 2兀 等式两边同时乘以et,得 f(t) 1 F(o+jO)e e (8-5) 2兀 一0o 将式(8-5进行变量代换,得 f(t)= F()ed(8-6) 21i jo 式(8-6称为拉氏反变换.f(称为F(s)的原函数 从上面的分析可知,拉氏变换是傅氏变换的推 ,而傅氏变换是拉氏变换的特例
− − = + ( j ) d 2 1 ( ) t j t f t e F e 因 的傅氏变换是F(s)，则 t f t e − ( ) ( j ) d (8 5) 2 1 ( ) j = + − − t t f t F e e 等式两边同时乘以 e t ，得 将式(8-5)进行变量代换，得 ( ) d (8 6) 2 j 1 ( ) j j = − + − f t F s e s st 式(8-6)称为拉氏反变换．f(t)称为F(s)的原函数． 从上面的分析可知，拉氏变换是傅氏变换的推 广，而傅氏变换是拉氏变换的特例．
例求1(0,(和e"()的象函数 解 st z[)= co 1(tedt zlo(o=o 8(e d(tdt=1 z"10)-""c=c (s+a)t s+a Sa 常见函数的象函数见表8-1
求 1(t) ， (t) 和 e 1(t) 的象函数． −at 解 − − = 0 1(t) 1(t)e dt st L − − = 0 (t) (t)e dt st L − − − − = 0 e 1(t) e e dt a t a t st L 常见函数的象函数见表 8-1. 例 s s e st 1 0 = − = − − ( )d 1 0 = = − t t s a s a e s a t + = + − = + − 1 0 ( )
表8-1常见函数的象函数 象函数 原函数 象函数原函数 1(t) δ(t) 1( s+a ds(t) tI(t) dt r"1()n为正整数 te -at n (S+a) 1(t) S n+1 t"e l(t) (1-ao)e“l(t s+a (S+a) sin ati(t) s+a sto cos ot1(t) (S+a eat (S+a)+ e sin at1(t) cos ati(t S+a+a
表 8-1 常见函数的象函数 象函数 原函数 象函数 原函数 1 A s 1 s A 1 1 n+ s ( ) 1 1 + + n s a 2 2 s + s s + a 1 2 1 s ( ) 2 2 s+a + 1(t) t t d d ( ) 1( )(n为正整数) ! 1 t t n n 1( ) ! 1 t e t n n −at sin t1(t) e sin t1(t) at − (t) e 1(t) −at t1(t) 2 ( ) 1 s + a te 1(t) −at 2 (s a) s + (1 at)e 1(t) −at − 2 2 s + s cos t1(t) 2 2 ( ) ( ) + + + s a s a e cos t1(t) at −
拉氏变换的重要性质 (1)线性性质( inear combination theorem) 若z[()=F1(s),z[/2()=F2(s),ab是常数, 则z14f1()±b/2()=aF1()±bF2(s) (2)微分性质( differentiation theorem) 若x[f(o)=F(s),则 df(t) SF(S)-f(0-) dt (3)积分性质( integration theorem 若z[()]=r(s),则 ZI。f(o)drl
若 , ，a, b是常数, 则 ( ) ( ) 1 1 L f t = F s ( ) ( ) 2 2 L f t = F s 二．拉氏变换的重要性质 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 1 2 L af t bf t = aF s bF s (2) 微分性质 (differentiation theorem) ( ) (0 ) d d ( ) = − − sF s f t f t L s F s f t t t ( ) [ ( )d ] 0 = − L (3) 积分性质 (integration theorem) (1) 线性性质 (linear combination theorem) 若 L f (t)= F(s) , 则 若 L f (t)= F(s) , 则
(4)延迟性质( time-shift theorem) 若x[f()]=F(s),则 cIf(t-toi(t-to=e0F(s) 例矩形脉冲f0如图所示,求其象函数。 解0可表示为: f() f(t)=1(1)-1(t-t0) 将上式两边取拉氏变换, F()=[
矩形脉冲 f(t) 如图所示，求其象函数。 [ ( )1( )] ( ) 0 0 0 f t t t t e F s −st L − − = (4) 延迟性质 (time-shift theorem) 若 L f (t)= F(s) , 则 例 f(t) t0 1 0 t 解 ( ) 1( ) 1( ) 0 f t = t − t − t f(t) 可表示为： 将上式两边取拉氏变换， (1 ) 1 1 1 ( ) ( ) 0 0 t s t s e s e s s F s f t − − = − = − = L