免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 多边形的内角和与外角和 教学目的 1.使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2.使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会利用它们进行有关计 重点、难点 1.重点:多边形的内角和与外角和定理 2.难点:多边形的内角和,外角和定理的推导。 教学过程 复习提问 1.什么叫三角形? 2.三角形的内角和是多少? 3.什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少? 新授 1.多边形的概念 三角形有三个内角、三条边,我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们 知道:不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形 你能说出什么叫四边形、五边形吗? 如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形,记为四边形ABCD (按顺时针或逆时针方向书写) B B 图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形,记为五边形 般地,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形,记为n边形,又 称多边形 与三角形类似如图,∠A、∠D、∠C、∠ABC是 四边形ABCD的四个内角,延长AB、CB得四边 形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF,这两个外 角是对顶角。一个n边形有n个内角,有2n 个外角 如果多边形的各边都相等,各内角也都相 等,则称为正多边形,如正三角形、正四边形(-正方形)、正五边形等等。连结多边形不相 邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线,如图1,线段AC是四边形ABCD的对角线,如图 2,线段AD、AC是四边形 ABCDE的对角线,如图3中线段AC、AD、AE是六边形 ABCDEF的对 角线 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 多边形的内角和与外角和 教学目的 1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会利用它们进行有关计 算。 重点、难点 1．重点：多边形的内角和与外角和定理。 2．难点：多边形的内角和，外角和定理的推导。 教学过程 一、复习提问 1．什么叫三角形? 2．三角形的内角和是多少? 3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少? 二、新授 1．多边形的概念， 三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们 知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。 你能说出什么叫四边形、五边形吗? 如图(1)它是由不在同一直线上的 4 条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形 ABCD。 (按顺时针或逆时针方向书写) D D C A C E A B B 图(2)是由不在同一直线上的 5 条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形 ABCDE。 一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为 n 边形，又 称多边形。 与三角形类似如图，∠A、∠D、∠C、∠ABC 是 四边形 ABCD 的四个内角，延长 AB、CB 得四边 形 ABCD 的两个外角∠CBE 和∠ABF，这两个外 角是对顶角。一个 n 边形有 n 个内角，有 2n 个外角。 如果多边形的各边都相等，各内角也都相 等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形( 正方形)、正五边形等等。连结多边形不相 邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图 1，线段 AC 是四边形 ABCD 的对角线，如图 2，线段 AD、AC 是四边形 ABCDE 的对角线，如图 3 中线段 AC、AD、AE 是六边形 ABCDEF 的对 角线。 图 8.3.2
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (3) 问:(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD) (2)五边形有几条对角线? 以A为端点的对角线有两条AC、AD,同样以月为端点的对角线也有2条,以C为端点 也有2条,但AC与CA是同一条线段,以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同 条线段。所以只有5条 (3)六边形有几条对角线?n边形呢?六边形有9条对角线。 从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线,可以引(n-3)条,(除本身这个点以及 和这点相邻的两点外),那么n个顶点,就有n(n-3)条,但其中每一条都重复计算一次, 如AB与BA,所以n边形一共有条对角线 大家可以加以验证:当n=3时,没有对角线,当n=时,有2条:;当n=5时,有5条 当n=6时,有9条 2.多边形的内角和公式 三角形是边数最少的多边形,它的内角和等于180°,那么一般n边形是否也有内角和 公式呢?让我们先从四边形,正边形,六边形……开始。 从上面对角线的研究可知,一条对角线把四边形分成2个三角形,这两个三角形的内角 和的和就是四边形的内角和,五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。 让学生填写教科书表8.3.1由此,你可以得到”边形的内角和公式吗? n边形的内角和=(n-2)·180°知道一个多边形的内角和,根据公式也可以求边数n 例1.一个多边形的内角和等于2340°,求它的边数。 问题:一个正多边形的一个内角为150°,你知道它是几边形?分析:正多边形的每个 内角都相等 多边形的内角和等于(n-2)·180°,还可以用以下的划分来说明,即在n边形内任取 点P,连结点P与多边形的每个顶点,可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多 边的各内角之间有什么关系?请你试一试 对有困难的学生教师可以加以引导。 如图(教科书图9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边,因此n边形就可划分 成n个三角形,这n个三角形的内角和减去以P为顶点的周角所得的差就是”边形的内角 和。因此,n边形的内角和为 n·180°-360°=n·180°-2·180°=(n-2)·180° 问:还有其他方法吗?让学生自主探索,对不同方法给予鼓励。 3.多边形的外角和。 什么叫多边形的外角和。 与三角形的外角和一样,与多边形的每个内角相邻的外角有两个,这两个角是对顶角, 从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加, 得到的和称为多边形的外角和,如教科书图9.2.6,∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形的外角和。 多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?下面我们也来探讨 因为n边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角,所以可先求出多边形的内角与外角 的总和,再减去内角和,就可得到外角和。 让学生填写填教科写表9.2.2 n边形的内角与外角的总和为n·180° n边形的内角和为(n-2)·180° 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 问：(1)四边形有几条对角线 图 8.3.3 ?(两条 AC、BD) (2)五边形有几条对角线? 以 A 为端点的对角线有两条 AC、AD，同样以月为端点的对角线也有 2 条，以 C 为端点 也有 2 条，但 AC 与 CA 是同一条线段，以 D 为端点的两条 DA、DB 与 AD、BD 都分别表示同一 条线段。所以只有 5 条。 (3)六边形有几条对角线?n 边形呢? 六边形有 9 条对角线。 从以上分析可知从 n 边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条， (除本身这个点以及 和这点相邻的两点外)，那么 n 个顶点，就有 n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次， 如 AB 与 BA，所以 n 边形一共有条对角线。 大家可以加以验证：当 n=3 时，没有对角线，当 n=4 时，有 2 条；当 n=5 时，有 5 条： 当 n=6 时，有 9 条… 2．多边形的内角和公式。 三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于 180°，那么一般 n 边形是否也有内角和 公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。 从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成 2 个三角形，这两个三角形的内角 和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中 3 个三角表内角和的和。 让学生填写教科书表 8.3.1 由此，你可以得到”边形的内角和公式吗? n 边形的内角和＝(n-2)·180°知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数 n。 例 1．一个多边形的内角和等于 2340°，求它的边数。 问题：一个正多边形的一个内角为 150°，你知道它是几边形?分析：正多边形的每个 内角都相等。 多边形的内角和等 于(n-2)·180°，还可以用以下的划分来说明，即在 n 边形内任取 一点 P，连结点 P 与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多 边的各内角之间有什么关系?请你试一试。 对有困难的学生教师可以加以引导。 如图(教科书图 9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此 n 边形就可划分 成 n 个三角形，这 n 个三角形的内角和减去以 P 为顶点的周角所得的差就是”边形的内角 和。因此，n 边形的内角和为： n·180°-360°＝n·180°-2·180°=(n-2)·180° 问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励。 3．多边形的外角和。 什么叫多边形的外角和。 与三角形的外角和一样，与多边形的每个内角相邻的外角有两个，这两个角是对顶角， 从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加， 得到的和称为多边形的外角和，如教科书图 9.2.6，∠1+∠2+∠3+∠4 就是四边形的外角和。 多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?下面我们也来探讨。 因为 n 边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可先求出多边形的内角与外角 的总和，再减去内角和，就可得到外角和。 让学生填写填教科写表 9.2.2 n 边形的内角与外角的总和为 n·180° n 边形的内角和为(n-2)·180°
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 那么n边形的外角和为n·180°-(n-2)·180°=n·180°-n·180°+360°=360° 这就是说多边形的9角和与边数无关,都等于360° 例2.一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°,求这个正多边形的边数 分析:正多边形的各个内角都相等,那么各个外角也都相等,而多边形的外角和是 360°,因此只要求出每个外角度数,就可知是几边形了。 点拨:多边形的外角和等于360°,与边数无关,故常把多边形内角的问题转化为外角 和来处理。 、巩固练习 1.教科书第70页练习1、2。 第2题引导学生从外角考虑,多边形的内角是锐角,那么和这个内角相邻的外角是什么 样的角?[钝角] 多边形的外角和是360°,那么在这些外角中钝角的个数最多可以是几个?3个可以吗?4 个呢?让学生动手算一算,由他们自己得出结论 从而得到最多可以有3个外角是钝角,即多边形的内角中最多可以有3个是锐角 四、小结 本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形,用三角形内角和去求多边形的内角和, 从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°。这种化未知为已知的转化方法,必须在学习 中逐步掌握。由于多边形的外角和等于360°,与边数无关,所以常把多边形内角的问题转 化为外角和来处理。 五、作业 教科书P7a1习题9.2第1、2、3、4题 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 那么 n边形的外角和为 n·180°－(n－2)·180°=n·180°-n·180°+360°=360° 这就是说多边形的 9L 角和与边数无关，都等于 360°。 例 2．一个正多边形的一个内角比相邻外角大 36°，求这个正多边形的边数。 分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是 360°，因此只要求出每个外角度数，就可知是几边形了。 点拨；多边形的外角和等于 360°，与边数无关，故常把多边形内角的问题转化为外角 和来处理。 三、巩固练习 1．教科书第 70 页练习 1、2。 第 2 题引导学生从外角考虑，多边形的内角是锐角，那么和这个内角相邻的外角是什么 样的角?[钝角] 多边形的外角和是 360°，那么在这些外角中钝角的个数最多可以是几个?3 个可以吗?4 个呢?让学生动手算一算，由他们自己得出结论． 从而得到最多可以有 3 个外角是钝角，即多边形的内角中最多可以有 3 个是锐角。 四、小结 本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和， 从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习 中逐步掌握。由于多边形的外角和等于 360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转 化为外角和来处理。 五、作业 教科书 P7 1 习题 9.2 第 1、2、3、4 题