Review 常用统计分布 (一)X一分耐 设X,X2,X是来自总体X~N(0,1)的样本，令 2=X好+X好+.+X 称X2服从自由度为n的分布，记为x2~x2(n) 分布的数学期望与方差 E(x2)=n D(X2)=2n ·X2(n)的上侧分位点记为X2(n) xa(n) 概率论与数理统计
2 2 2 2 = + + + X X X 1 2 n 2 是来自总体 X ~ N( 0 ,1) 1 2 设 X X X , , , n 的样本,令 称 2 服从自由度为 的 2 −分布，记为 2 2 n ~ ( ) n . 2 E n ( ) = 2 D n ( ) 2 = 2 − 概率论与数理统计 ( ) 2 n 的上侧分位点记为 2 ( ) n O 2 ( ) n Review
Review 常用统计分布 )1 师 设X~N(0,1),Y~2(n),且X,Y相互独立，令 t=1 √YIn 称t服从自由度为n的t-分布，记为t~t(n) ·t(n)的上侧分位点记为ta(n) t(n)的双侧分位点记为ta/2(n) -ta/2(n) a/2(n) 概率论与数理统计
/ X t Y n = t− 且 X Y, 2 设 X N Y n ~ (0,1), ~ ( ) , 相互独立,令 称 t 服从自由度为 n 的 t −分布，记为 t t n ~ ( ). 概率论与数理统计 t n( ) 的上侧分位点记为 t n ( ) t n( ) 的双侧分位点记为 / 2 t n ( ) O / 2 t n ( ) / 2 −t n ( ) Review
Review 常用统计分布 ()F 分亦 设U~x(m),V~2(n2),且U,V相互独立，令 F=Ulm VIn2 称F服从自由度为(n,n2)的F分布，记为F~F(n,n2) ·F(n,n2)的上侧分位点记为Fa(n,n2) Fa(n1,n2）
1 2 / / U n F V n = F − 且 U V, 2 2 U n V n ~ ( ), ~ ( ) , 1 2 设 相互独立,令 称 F 服从自由度为 的 F −分布，记为 1 2 ( , ) n n1 2 F F n n ~ ( , ). O 1 2 F n( ) , n F n n ( , ) 1 2 的上侧分位点记为 ( 1 2 F n n , ) Review
鈾样分布与统计推断 抽样分布的途径： (1) 精确地求出抽样分布，并称相应的统 计推断为小样本推断； 概率论与数理统计
抽样分布的途径： （1） 精确地求出抽样分布，并称相应的统 计推断为小样本推断； （2） 让小样本容量趋于无穷，并求出抽样 分布的极限分布。然后，在样本容量 充分大时，再利用该极限分布作为抽 样分布的近似分布，进而对未知参数 进行统计推断，称与此相应的统计推 断 为大样本推断。 概率论与数理统计
学小均值与样外方差的致字特征 设总体X的均值和方差 E(X)4,D(X)≌σ2 都存在.X1,X2,X是来自总体X的样本，则 E()=4,DR)=2,ES)=O 证 EX0=F(哈含X)=2(X)=“ D西=D2X)京名DX)= (n-1)S2=2(x-)2=2(x-0+(u- (n-1)E(S2)=2E(X-4)2-nE(X-02 =含03-n=m-0g2 .E(S2)=o2 概率论与数理统计
设总体 X 的均值和方差 1 2 都存在. X X X , , , n 是来自总体 X 的样本，则 2 2 2 E X D X E S ( ) , ( ) , ( ) n = = = 1 1 ( ) ( ) n i i E X E X n = = 1 1 ( ) n i i E X n = = = 1 1 ( ) ( ) n i i D X D X n = = 2 1 1 ( ) n i i D X n = = 2 n = 2 ( 1) n S − 2 E X D X ( ) , ( ) = = 2 1 [( ) ( )] n i i X X = = − + − 2 1 ( ) n i i X X = = − 2 2 1 1 ( ) 2( ) ( ) ( ) n n i i i i X X X n X = = = − − − − + − 2 2 1 ( ) ( ) n i i X n X = = − − − 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) n i i X n X n X = = − − − + − 2 2 2 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) n i i n E S E X nE X = − = − − − 2 2 1 n i n n = = − 2 = − ( 1) n 2 2 = ( ) E S 概率论与数理统计
单正态总你的抽样分布 抽样分布定理 最重要的总体：X~N(4,σ2) 如何由样本X,X2X推断4，σ2？ 分析： 对4，σ2的推断是通过构造统计量实现的 (1)如何构造“好”的统计量(X,X2,X) (2)g(X,X2,Xm)服从什么分布？ 概率论与数理统计
抽样分布定理 最重要的总体： 2 X N~ ( , ) 如何由样本 1 2 , ,. X X X n推 断 ， 2 ？ 分析： 对 ， 2 的推断是通过构造统计量实现的 （1）如何构造“好”的统计量 1 2 ( , ,. ) X X X n （2） 1 2 ( , ,. ) n g X X X 服从什么分布？ 概率论与数理统计
单正态总孙抽样分布定理 定理1设总体X~N(4,o2),X,X2,Xn是取自X 的一个样本，为该样本的样本均值，则有 (1)~N(4,σ21n (2)U=-4N0,) ol/n 概率论与数理统计
定 理 1 设总体 2 X N~ ( , ) ， 1 2 , ,. X X X n是取自 X 的一个样本， X 为该样本的样本均值，则有 （1） 2 X N n ~ ( , / ) （2） ~ (0,1) / X U N n − = 概率论与数理统计
完理一设X1,X2,Xn是来自总体X~N(4,o2)的样 本，则 x~N(4,) 证X1,X2,X独立同分布N(4,02) .由正态分布的性质知，线性组合 x=方(X1+X2++Xm) 仍服从正态分布 E(X)=H,DX)=元 x~N(4,元) 概率论与数理统计
仍服从正态分布 设 X X X 1 2 , , , n 是来自总体 X ~ N(, 2 ) 的样 本,则 2 X N ~ ( , ) n 1 2 1 X X X X ( ) n n = + + + 2 , , , X X X 1 2 n 独立同分布 N( , ) 由正态分布的性质知，线性组合 2 E X D X ( ) , ( ) n = = 2 ~ ( , ) X N n 概率论与数理统计
单正态总孙抽样分布定理 定理2设总体X~N(4,o2),X,X2,Xn是 取自X的一个样本，X与S2为该样本的样 本均值与样本方差，则有 ()2-s=22x-x-m- (2)X与S2相互独立 概率论与数理统计
定理 2 设总体 2 X N~ ( , ) ， 1 2 , ,. X X X n 是 取自 X 的一个样本， X 与 2 S 为该样本的样 本均值与样本方差，则有 （1） 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ~ ( 1) n i i n S X X n = − = = − − （2） X 与 2 S 相互独立 概率论与数理统计
单正态总孙抽样分布定理 定理3设总体X≈N(4,o2),X,X2Xn是取自X 的一个样本，x与S2为该样本的样本均值与 样本方差，则有 (1)x-。x-侧 (2)1 X-4 SIn ~tn-) 概率论与数理统计
定理 3 设总体 2 X N~ ( , ) ， 1 2 , ,. X X X n是取自 X 的一个样本， X 与 2 S 为该样本的样本均值与 样本方差，则有 （1） 2 2 2 2 1 1 ( ) ~ ( ) n i i X n = = − （2） ~ ( 1) / X T t n S n − = − 概率论与数理统计