第八章 交通流理论 重点第一节概率统计模型 重点二第二节排队论及其应用 中0000040400中000 重点第三节跟驰模型 重点巴第四节流体模拟理论 ★：要求掌握并学会应用
第八章 交通流理论
第三节 跟驰理论 Fundamentals of Tralfic Eengineering 原理：跟驰理论是运用动力学方法，探究在无法超车的 单一车道上车辆列队行驶时，用数学理论描述后车跟随 前车的行驶状态。 适用范圈：非自由行驶状态下车队的特性：密度高、车 间距离不大，车队中人一辆车的车速都受前车速度的制 约，司机只能按照前车所提供的信息采用相应的车速。 发最： 1950年鲁契尔与1953年派普斯奠定基础； 1960年赫尔曼与罗瑟瑞进一步扩充； 1961年伽塞斯提出了最一般跟驰模型。 研究意义：通过求解跟驰方程，可以得到任意时刻车队 中各车辆的速度、加速度和位置等参数，还可以通过进 一 步推导，得到平均速度、密度、流率等参数，描述交 通流的宏观特性
• 原理：跟驰理论是运用动力学方法，探究在无法超车的 单一车道上车辆列队行驶时，用数学理论描述后车跟随 前车的行驶状态。 • 适用范围：非自由行驶状态下车队的特性：密度高、车 间距离不大，车队中人一辆车的车速都受前车速度的制 约，司机只能按照前车所提供的信息采用相应的车速。 • 发展：1950年 鲁契尔与1953年派普斯奠定基础； 1960年 赫尔曼与罗瑟瑞进一步扩充； 1961年 伽塞斯提出了最一般跟驰模型。 第三节 跟驰理论 研究意义：通过求解跟驰方程，可以得到任意时刻车队 中各车辆的速度、加速度和位置等参数，还可以通过进 一步推导，得到平均速度、密度、流率等参数，描述交 通流的宏观特性
一、 车辆跟驰特性分析 Fundamentals of Tvaffie Eengineering 非自由状态行驶的车队有以下三个特性： 1.制约性 紧随要求：司机不愿落后很多，而是紧跟前车前进 车速条件：后车速度不能长时间大于前车的速度，否则会追尾 间距条件：前后车之间必须保持一个安全距离 2.延迟性 前后车运行状态的改变不同步，后车运行状态的改变滞后于 前车，因为驾驶员需要反应时间。 3.传递性 第1辆车的状态改变→第2辆车状态改变→第3辆车改变. 由于延迟性的存在，这种传递不是平滑连续的，而是脉 冲一样间断连续的
1．制约性 紧随要求：司机不愿落后很多，而是紧跟前车前进 车速条件：后车速度不能长时间大于前车的速度，否则会追尾 间距条件：前后车之间必须保持一个安全距离 2. 延迟性 前后车运行状态的改变不同步，后车运行状态的改变滞后于 前车，因为驾驶员需要反应时间。 3．传递性 第1辆车的状态改变第2辆车状态改变第3辆车改变. 由于延迟性的存在，这种传递不是平滑连续的，而是脉 冲一样间断连续的 非自由状态行驶的车队有以下三个特性： 一、车辆跟驰特性分析
三、线性跟驰模型 Fundamentals of Tralfic Eengineexing ,跟驰模型是一种刺激一反应的表达式。 一个驾驶员所接受的刺激是指其前方导引车的加 速、减速以及随之而发生的这两车之间的速度差 和车间距离的变化； ·该驾驶员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地 跟踪前车地加速或减速动作及其实际效果
跟驰模型是一种刺激－反应的表达式。 一个驾驶员所接受的刺激是指其前方导引车的加 速、减速以及随之而发生的这两车之间的速度差 和车间距离的变化； 该驾驶员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地 跟踪前车地加速或减速动作及其实际效果。 二、线性跟驰模型
二、线性跟驰模型 Fundamentals of Tralfic Eengineering Xn+i(t) Xn(t) Xn+i(t') Xnt'） d!n车制动距离副 n+ 前车开始减速 t艹T n+1 ○后车开始减速 d, 反应时间内 t 行驶的距离 n+1 安全距离 d2 n+1车制动距离
n t n+1 Xn+1(t) Xn(t) n+1 n n+1 n t+T t' Xn+1(t’) Xn(t’) d1 d2 d3 L 前车开始减速 后车开始减速 反应时间内 行驶的距离 安全距离 二、线性跟驰模型 n车制动距离 n+1车制动距离 0
二、线性跟驰模型 Fundamentals of Tralfic Eengineering 两车不发生碰撞的条件：L=安全间隔+车身长度 Lo=x(1)-x(t) x,(t)=x,(t)+d3 x(t)=x(t)+d+d [xn(t)+d3]-[xn+1(t)+d1+d2]=Lo 假设：前车与后车在减速期间行驶的距离相同，于是d2=d3 xn (t)-xn(t)=d +Lo 假设：后车在反应时间保持车速不变，于是d,=优1()=+1t+T) x()-x(t)=Tim(t+T)+Lo
两车不发生碰撞的条件： L0 =安全间隔+车身长度 L= ( ) ( ) 1 x t x t n n ′ − ′ + 3 xn (t′) = xn (t) + d 1 1 1 2 xn+ (t′) = xn+ (t) + d + d 3 1 1 2 0 [xn (t) + d ] −[xn+ (t) + d + d ] = L 假设：前车与后车在减速期间行驶的距离相同，于是 d2=d3 1 1 0 xn (t) − xn+ (t) = d + L 假设：后车在反应时间保持车速不变，于是 ( ) ( ) d1 = Txn+1 t = Txn+1 t + T 1 1 0 xn (t) − xn+ (t) = Txn+ (t +T) + L 二、线性跟驰模型 L0
二、线性跟驰模型 Fundamentals of Faffic Eengineering x(t)-x(t)=T(t+T)+L 两边对t微分： (t)-(t)=Tn(t+T) xa1+T)=T{x,(0-xa1(0} xn+1(t+T)为后车在时刻(t+T)的加速度，理解为后车的反应； 为司机反应敏感度； T xn(t)-xn+1(t)为时刻t的刺激， 从而认为：反应=敏感度×刺激 ⑤
xn (t) − xn+1(t) = Txn+1(t +T) + L 两边对 t 微分： ( ) ( ) ( ) xn t − xn+1 t = T x n+1 t + T { ( ) ( )} 1 ( ) 1 . . 1 . x t x t T x t T n n n+ + = − + 1( ) . xn+ t +T 为后车在时刻（t+T）的加速度，理解为后车的反应； T 1 为司机反应敏感度； ( ) 1 ( ) . . x n t − x n+ t 为时刻 t 的刺激， 从而认为：反应=敏感度×刺激 二、线性跟驰模型
二、线性跟驰模型 Fundamentals of Tralfic Eengineexing xa+1(t+T)=T{xn(0-xn+1(0)} 上述公式的推导是基于三点假设： (1)前车刹车 (2)前车、后车的减速距离相等d2=d3 (3)后车在反应时间保持车速不变，d,=T优n+1(t)=Tm+1(t+T) 实际情况比此要复杂多 戈n+1(t+T)=2[xn(t)-xm+1(t]) 入一反应强度系数，量纲为s1。 模型表明即跟驶车的加减速度与前后车的相对速度呈线性关系 故称为线性跟驰模型
上述公式的推导是基于三点假设： (1) 前车刹车 (2) 前车、后车的减速距离相等 d2=d3 (3) 后车在反应时间保持车速不变， ( ) ( ) d1 = Txn+1 t = Txn+1 t + T 实际情况比此要复杂多 ( ) [ ( ) ( )]) 1 1 x t T x t x t n+ + = n − n+ λ { ( ) ( )} 1 ( ) 1 . . 1 . x t x t T x t T n n n+ + = − + 二、线性跟驰模型 λ——反应强度系数，量纲为s-1 。 模型表明即跟驶车的加减速度与前后车的相对速度呈线性关系， 故称为线性跟驰模型
三、线性跟驰模型的稳定性 Fundamentals of Traffic Eengineering 线性跟驰模型的两类波动稳定性： (1)局部稳定性：关注跟驰车对前面车运行波动的反应，如前后两 车车间距变化是否稳定，摆动大则不稳定，摆动小则不稳定 (2)渐进稳定性：关注车队中每一辆车的波动特性在车队中的表现， 即车队的整体波动特性（长期行为)，如前车向后面各车传播 速度的变化，速度振幅扩大则不稳定，振幅衰减则渐进稳定。 线性模型为一个复杂的二阶微分方程，求解需用拉普拉斯 变换。赫尔曼用IBM704计算机解该微分方程，并推导出 如下关系式： C=λT C一表示两车间距摆动特性的数值。C越大，车间距摆动越大； C值越小，车间距的摆动则趋近于零。 灵敏系数或反应强度系数，其值大则表示反应过分强烈 T 反应时间
三、线性跟驰模型的稳定性 线性跟驰模型的两类波动稳定性： (1)局部稳定性：关注跟驰车对前面车运行波动的反应，如前后两 车车间距变化是否稳定，摆动大则不稳定，摆动小则不稳定 (2) 渐进稳定性：关注车队中每一辆车的波动特性在车队中的表现， 即车队的整体波动特性（长期行为） ，如前车向后面各车传播 速度的变化，速度振幅扩大则不稳定，振幅衰减则渐进稳定。 线性模型为一个复杂的二阶微分方程，求解需用拉普拉斯 变换。赫尔曼用 IBM704计算机解该微分方程，并推导出 如下关系式： C——表示两车间距摆动特性的数值。C越大，车间距摆动越大； C值越小，车间距的摆动则趋近于零。 ——灵敏系数或反应强度系数，其值大则表示反应过分强烈。 T——反应时间。 C = λT λ
1、局部稳定 Fundamentals of affie Eengineering 针对C=T取不同的值，跟驰行驶两辆车的运动情况可 以分为以下四类： (1)0sC≤e1时，车头间距不发生波动，基本稳定； (2)e1π2，车头间距发生波动，振幅增大。 G-0.50 C=0.80 57 时间
针对C=λT 取不同的值，跟驰行驶两辆车的运动情况可 以分为以下四类： （1）0≤C≤e-1时，车头间距不发生波动，基本稳定； （2） e-1π/2，车头间距发生波动，振幅增大。 1、局部稳定