5梁弯曲时的位移 51梁的位移—挠度及转角 52梁的挠曲线近似微分方程 53积分法计算梁的变形 54叠加法计算梁的变形 55梁的刚度条件及提高梁刚度的措施8
5 梁弯曲时的位移 5.1 梁的位移——挠度及转角 5.2 梁的挠曲线近似微分方程 5.3 积分法计算梁的变形 5.4 叠加法计算梁的变形 5.5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
5.1梁的位移—挠度及转角 梁在平面弯曲时,其轴线弯成 一平面曲线,称为梁的挠曲线。 =f(x) 梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度,用ν来表示。 规定:挠度以向下为正,向上为负。 梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角,用θ来表示。 规定:由变形前的横截面转到变形后,转角以顺时针为正,逆时针为负 梁不同截面的挠度和转角不同,它们是截面坐标的函数,称为梁的 挠度方程和转角方程
5.1 梁的位移——挠度及转角 x y x w F w = f (x) 梁在平面弯曲时，其轴线弯成 一平面曲线，称为梁的挠曲线。 梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用w 来表示。 规定：挠度以向下为正，向上为负。 梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用 来表示。 规定：由变形前的横截面转到变形后，转角以顺时针为正，逆时针为负。 梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的 挠度方程 和 转角方程。
挠度和转角的关系 w=f(x) 挠曲线方程 6=6(x) 转角方程 =f(x) tan 6= dxf(x)=w 挠曲线为一条平坦的曲线 6≈tan6→6=w
w = f（x） 挠曲线方程 θ =θ（x） 转角方程 ⚫ 挠度和转角的关系 d tan ( ) d w f x w x = = = 挠曲线为一条平坦的曲线 = tan w x y x w F w = f (x)
52梁的挠曲线近似微分方程 曲率与弯矩的关系: 推导纯弯曲梁的正应力时 横力弯曲,忽略剪力对变形的影响 o(x) El. ●曲率与挠曲线的关系(数学表达式) , v<<1,∴ + 1+() 挠曲线与弯矩的关系 M(x) 或E2w"=±M(x)
5.2 梁的挠曲线近似微分方程 ⚫ 曲率与弯矩的关系： ⚫ 曲率与挠曲线的关系（数学表达式) 3 2 2 1 ( ) 1 ( ) w x w = + 1 ( ) w x = ⚫ 挠曲线与弯矩的关系 1 ( ) ( ) z M x x EI = w 1, 推导纯弯曲梁的正应力时 1 z M EI = 横力弯曲，忽略剪力对变形的影响 ( ) z x w = ( ) 或 z w = Μ x
在规定的坐标系中,x轴水平向右为 正,y轴竖直向下为正。 曲线向上凸时:wy>0,M0 M与w的正负号正好相反,所以 M0 El -M(x) dx 挠曲线近似微分方程 M 挠曲线近似微分方程的近似性: 忽略了“F5”以及)2对变形的影响 使用条件:弹性范围内工作的细长梁。 M>0 0
O x y M M M0 w" 0 在规定的坐标系中, x 轴水平向右为 正, y 轴竖直向下为正。 曲线向上凸时 ： w > 0 , M 0 M 与 w 的正负号正好相反，所以 挠曲线近似微分方程的近似性： 忽略了“ Fs ”以及 ( ) w 2 对变形的影响 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。 ——挠曲线近似微分方程 2 2 d ( ) d z w ΕΙ M x x = −
53积分法计算梁的变形 步骤 根据荷载分段列出弯矩方程M(x) 根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分(E2为常量) El d w__M( El dw-E10=-M(xdx+Cv Elw= M(x)dx )dx+Cx+C ●根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数
5.3 积分法计算梁的变形 2 2 d ( ) d z w EI M x x = − 1 d ( )d d z z w EI EI M x x C x = = − + 1 2 EI w M x x x C x C z = − + + ( ( )d )d 步骤： ⚫ 根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 ⚫ 根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分（EIz为常量） ⚫ 根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数
B 边界条件 0 Db=0=0 连续条件:Wc=cC左=右 (1)、固定支座处:挠度等于零、转角等于零。 (2)、固定铰支座处;可动铰支座处:挠度等于零。 (3)、在弯矩方程分段处:一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。 确定挠曲线方程和转角方程 计算任意截面的挠度、转角;挠度的最大值、转角的最大值
0 wA = wB = 0 wD = 0 D = 0 连续条件： 边界条件： P A C B F （1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。 （2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。 （3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。 ⚫ 确定挠曲线方程和转角方程 。 ⚫ 计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。 w w C左 = C右 C左 = C右 D F P
例5-1求图示悬臂梁自由端的挠度及转角(E=常数) 解:a)建立坐标系并写出弯矩方程 F M(x)=-F(L-x) b)写出微分方程并积分 Elw=-M(x)=F(L-x El F(L-x)2+C1 3Lx 6El Elw=F(L-x)+Cx+C2 6 F = 2L c)应用位移边界条件求积分常数 2EI x=0,w=0;6=0 e)自由端的挠度及转角 Fl ∴C1=FL;C2= Fl 0)=FL2 2 L 3EI 2EI 确定挠曲线、转角方程
3 ( ) 3 z FL w L EI = 例5-1 求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EIz = 常数）。 解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程 M (x) = −F(L − x) b) 写出微分方程并积分 c) 应用位移边界条件求积分常数 ( ) ( ) EI w M x F L x z = − = − 2 1 1 ( ) 2 EI w F L x C z = − − + 3 1 2 1 ( ) 6 EI w F L x C x C z = − + +3 2 2 1 6 1 ; 2 1 C = FL C = − FL d) 确定挠曲线、转角方程 2 3 ( ) 3 6 z F w x Lx x EI = − 2 2 2 z F w x Lx EI = = − − 2 ( ) 2 z FL L EI = x = 0, w = 0 ; = 0 e) 自由端的挠度及转角 F L x x y
例5-2求分布载荷简支的最大挠度和最大转角(E2=常数) 解:a)建立坐标系并写出弯矩方程 q D2 M(x) x (x-x2) 22 A B b)写出微分方程并积分 El Ix-x 2 d确定挠曲线和转角方程 Lx x EⅠw +c (7-2x2+x3) 223 24EⅠ EI w )+C1x+C2 dEl (-6x2+4x3) c)应用位移边界条件求积分常数 e)最大挠度及最大转角 x=0 0;x=l,w=0 5q1 24EI n C C,=0 x=2384E 24
q l A B x C 解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程 b)写出微分方程并积分 c)应用位移边界条件求积分常数 d)确定挠曲线和转角方程 e)最大挠度及最大转角 ql/2 ql/2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 lx x qx q x ql M x = − = − 2 2 3 1 3 4 1 2 ( ) 2 ( ) 2 2 3 ( ) 2 6 12 z z z q EI w lx x q lx x EI w C q lx x EI w C x C = − − = − − + = − − + + x = 0 , w = 0 ; x = l , w = 0 . 3 2 3 3 2 3 ( 2 ) 24 ( 6 4 ) 24 z z qx w l lx x EI q w l lx x EI = − + = = − + , 0 24 2 3 1 = C = ql C 4 3 max max 2 5 384 24 A l x z z B ql ql w EI EI = = = = 例5-2 求分布载荷简支的最大挠度和最大转角( EIz = 常数 ）
例5-3求图示梁的跨中的挠度和转角(EL=常数)a+b=l 解:a)建立坐标系并写出弯矩方程 Fb Fb M(x1)=1 XI Fb B M(x2) C b)写出微分方程并积分 AC段(0<x1<a) CB段(a<x2<1): Fb E/1=--x E/:2 7x+F(x2-a) Fb Fb F E +C1 El w 27 2/ Fb Fb El w 6/,+Cx,+D EI W2 61 ×F(x2-)3 6+C2x,+D
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 6 6 z z z Fb EI w x F x a l Fb F x a EI w x C l Fb F x a EI w x C x D l = − + − − = − + + − = − + + + 1 1 ( ) Fb M x x l = 解：a)建立坐标系并写出弯矩方程 b)写出微分方程并积分 例5-3 求图示梁的跨中的挠度和转角（EIz = 常数） AC 段（0≤x1≤a）： CB 段（a≤x2≤l）： 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 2 6 z z z Fb EI w x L Fb EI w x C l Fb EI w x C x D l = − = − + = − + + F C A B a b 2 x a +b = l 2 2 2 ( ) ( ) Fb M x x F x a l = − − l Fb l Fa 1 x