10能量法 10.1概述 10.2应变能余能 10.3卡氏定理 10.4用能量法解超静定系统
10 能量法 10.1 概述 10.2 应变能·余能 10.3 卡氏定理 10.4 用能量法解超静定系统
10.1概述 10.1.1能量法的概念 弹性体受外力作用后要发生变形,同时弹性体内将积蓄能量。卸载后, 这种能量又随变形的消失而全部转换为其他形式的能量。这种随弹性变形 的增减而改变的能量称为应变能。 弹性体在受外力作用而变形时,外力和内力均将作功。对于弹性体 外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。 V=w 功能原理 能量法:利用功能原理求解弹性体或结构的位移、变形和内力等的方法 是有限单元法的重要基础
10.1 概述 10.1.1 能量法的概念 能量法： 利用功能原理求解弹性体或结构的位移、变形和内力等的方法 是有限单元法的重要基础 弹性体受外力作用后要发生变形，同时弹性体内将积蓄能量。卸载后， 这种能量又随变形的消失而全部转换为其他形式的能量。这种随弹性变形 的增减而改变的能量称为应变能。 Ve = W 弹性体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对于弹性体， 外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。 —— 功能原理
10.12能量法的优势 求解应力、变形和位移的有两种方法 直接方法一利用平衡、变形协调和物理关系 能量方法一利用能量原理 能量法的优势 确定加力点沿加力方向的位移 求解复杂结构的位移和变形 ●确定结构任意点沿任意方向的位移 既可确定位移,又可确定内力和应力 ●既适用于线性问题,又适用于非线性问题 用于直接求解超静定问题
求解应力、变形和位移的有两种方法 直接方法 －利用平衡、变形协调和物理关系 能量方法－利用能量原理 能量法的优势: ⚫ 确定加力点沿加力方向的位移 ⚫ 求解复杂结构的位移和变形 ⚫ 确定结构任意点沿任意方向的位移 ⚫ 既可确定位移，又可确定内力和应力 ⚫ 既适用于线性问题，又适用于非线性问题 ⚫ 用于直接求解超静定问题 10.1.2 能量法的优势
102应变能余能 10.21应变能 ●线弹性条件下,通过外力功求应变能 常力作功:常力F沿其方向线位移△上所作的功 W=F·△ 变力作功:在线弹性范围内,外力F与位移△间呈线性关系 外力作功 W=-F·△ F 基本变形在弹性范围内变形量与外力(内力)均 呈线性关系: 拉压 扭转 弯曲 FMl Ml △l= △ △ EA G El
10.2 应变能·余能 10.2.1 应变能 ⚫ 线弹性条件下，通过外力功求应变能 常力作功：常力F 沿其方向线位移 上所作的功 W F= 变力作功：在线弹性范围内，外力F 与位移 间呈线性关系。 1 2 W F = F O 外力作功 基本变形在弹性范围内变形量与外力（内力）均 呈线性关系： Ml EI = 弯曲 P Tl φ GI = 扭转 Δ F l N l EA = 拉压
由V=W,可得基本变形下的应变能表达式 轴向拉压 F·A=,F1F1 ,(x )dx EA 2EA JO 2EA 扭转 V=M19=,.、71727r17(x)dx 2 Glp 2GIp J0 2G1 弯曲 M MI r M(x)dx M· M 2EⅠ2EJ02E 组合变形 (x)dx r T(x)dx r M(x)dx 2EA 2G/+ 2EI
由 Ve = W , 可得基本变形下的应变能表达式 扭转 轴向拉压 2 2 0 1 1 ( )d Δ 2 2 2 2 l N N N N F l F l F x x V F l F EA EA EA e = = = = 2 2 0 1 1 ( )d 2 2 2 2 l e P P P Tl T l T x x V M T GI GI GI e = = = = 2 2 0 1 1 ( )d 2 2 2 2 l e Ml M l M x x V M M EI EI EI e = = = = 弯曲 2 2 2 ( )d ( )d ( )d 2 2 2 N l l l P F x x T x x M x x V EA GI EI e = + + 组合变形
非线性弹性体,通过应变能密度求应变能 拉杆的材料是非线性弹性体, 当外力由0逐渐增大到F1时,杆端 位移就由0逐渐增到△1。 外力作功为 F.d△ △ V=w F·d△ △1 从拉杆中取出一个各边为单位 P 长度的单元体 作用在单元体上,下两表面的力为 P=6 11 其伸长量△l=E·1=E P
l F ⚫ 非线性弹性体，通过应变能密度求应变能 1 F F1 O 拉杆的材料是非线性弹性体， 当外力由0 逐渐增大到F1 时，杆端 位移就由0 逐渐增到1。 1 0 W F dΔ = 1 0 V W F e dΔ = = 外力作功为 d 从拉杆中取出一个各边为单位 长度的单元体 l = e · 1= e 作用在单元体上，下两表面的力为 p = ·1·1 = 其伸长量 p p
P 该单元体上外力作功为 E1 da 单位体积的应变能即应变能密度为 若取单元体的边长为dx、dy、d, 则该单元体的应变能为 de ve dr dy dz P 令 dx dy dz=dv 则整个拉杆内的应变能为 P
l F e e 1 1 O de p p 1 0 w d e = e 该单元体上外力作功为 p = l = e 单位体积的应变能即应变能密度为 1 0 v w dε e e = = 若取单元体的边长为dx 、dy、dz， 则该单元体的应变能为 dVe = ve dx dy dz 令 dx dy dz = dV 则整个拉杆内的应变能为 d d V V V V v V e e e = =
轴向拉压杆、弯曲 Ea 应变能密度V=0dE=EE2=G 2E 扭转杆r=Gy 应变能密度 z·dy=-G 2G
扭转杆 1 2 2 1 1 0 1 d 2 2 v E E e e = = = e e 轴向拉压杆、弯曲 e = E = G 应变能密度 1 2 2 1 1 0 1 d 2 2 v G G e = = = 应变能密度
例10-1在线弹性范围内工作的杆,已知:M2、G、ld。求:在加载过程 中所积蓄的应变能V 解:[法1运用扭转应变能公式 2G1 2G/ 法2]由应变能密度求应变能 M 2G 2Gl V.=|d M-P da dx (2G 2G1, pda dx M dx= 2GI
2 2 2 2 e P P T l M l V GI GI e = = 解：[法1] 运用扭转应变能公式 例 10-1 在线弹性范围内工作的杆， 已知：Me、G、l、d 。 求：在加载过程 中所积蓄的应变能Ve。 l M e [法 2] 由应变能密度求应变能 2 2 2 2 2 2 e P M v G GI e = = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d d 2 2 d 2 2 e e A l A l P P e e P l P P M M V v V A x A x GI GI M M l I x GI GI e e = = = = =
例102已知:抗弯刚度为EⅠ的简支梁,受均布荷载q作用。求:弯曲应变能 gax A B 解:[法1]运用功能原理求应变能 挠曲线方程 外力的功 2-+ (go ax). w 24EI(I 应变能 v=w 3 x dx= 2×24EⅠJ0(11314 240EI
解：[法1 ] 运用功能原理求应变能 4 3 4 3 4 2 24 ql x x x w EI l l l = − + 挠曲线方程 q A B l y 例10-2 已知：抗弯刚度为EI 的简支梁，受均布荷载q 作用。求：弯曲应变能 w x dx q xd 0 1 ( ) 2 l W qdx w = 2 4 3 4 2 5 3 4 0 2 d 2 24 240 q l x x x q l l V W x EI l l l EI e = = − + = 外力的功 应变能