附录I截面的几何性质 L1截面的静矩和形心 L2惯性矩惯性积 L3平行移轴公式组合截面惯性矩和惯性积 L4转轴公式主惯性轴和主惯性矩
附录I 截面的几何性质 I.1 截面的静矩和形心 I.2 惯性矩 惯性积 I.3 平行移轴公式 组合截面惯性矩和惯性积 I.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩
L1截面的静矩和形心 L1.1静矩(面积矩) 1、定义 dA对x轴的微静矩:dS3=yd4 da d4对y轴的微静矩:dS,=xd4 ∫,yd4 S= xdA 2、量纲:[长度]3;单位:m3、cm3、mm 3、静矩的值可以是正值、负值、或零
I.1.1 静矩 （面积矩） I.1 截面的静矩和形心 1、定义 dA对 y 轴的微静矩: 2、量纲：［长度］3；单位：m3 、cm3 、mm3 。 dA对 x 轴的微静矩: d d x S y A = d d y S x A = 3、静矩的值可以是正值、负值、或零。 O x y dA x y d x A S y A = d y A S x A =
y 4、静矩和形心的关系 平面图形的形心公式 da da C A LydA=ay S,= xdA=A 结论:图形对过形心的轴的静矩为零。 若图形对某轴的静矩为零,则此轴一定过图形的形心
4、静矩和形心的关系 A C A C x dA x A y dA y A = = d y C A S x A A x = = d x C A S y A A y = = 平面图形的形心公式 结论： 图形对过形心的轴的静矩为零。 若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。 静矩和形心的关系 x y O dA x y xC C yC
L12组合图形的静矩: 组合图形:由若干个基本图形组合而成的图形 基本图形:面积、形心位置已知的图形 ∑S=∑ A yci S,=∑S=2Ax 组合图形对于某一轴的静矩,等于图形各组成部分对于同一轴静矩之代数和
组合图形: 由若干个基本图形组合而成的图形 基本图形: 面积、形心位置已知的图形 I.1.2 组合图形的静矩： x xi i Ci S S A y = = y yi i Ci S S A x = = 组合图形对于某一轴的静矩，等于图形各组成部分对于同一轴静矩之代数和
例I-1求图示半圆形的静矩Sx、S,。 解:由对称性 取平行于x轴的狭长条作为微面积dA dy dA=2xdy=2√R-y2dy ∫,yd4=jy√R2-y
例Ⅰ-1 求图示半圆形的静矩Sx、Sy。 解：由对称性 = 0 y S 2 2 d 2 d 2 d A x y R y y = = − 2 2 3 0 2 d 2 d 3 R x A S y A y R y y R = = − = 取平行于x 轴的狭长条作为微面积 dA O R x y y dy
I2惯性矩惯性积 L2.1惯性矩 1、定义: d4对x轴的惯性矩:d=y2d4 dA对y轴的惯性矩:d,=x2dA 图形对x轴的惯性矩:I 2dA 图形对y轴的惯性矩:,=xd4 2、量纲:m4、mm4。 3、惯性矩是对轴而言(轴惯性矩)。 4、惯性矩的取值恒为正值。 5、极惯性矩:(对O点而言)1=Jpa4=J(02+x)d 1yd4+|x2d4=1+l 图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的 极惯性矩
I.2 惯性矩 惯性积 1、定义： dA 对 x 轴的惯性矩: dA 对 y 轴的惯性矩: 2、量纲：m4 、mm4 。 2 d x A I y A = 2 d y A I x A = 2 d d x I y A = 2 d d y I x A = 3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。 4、惯性矩的取值恒为正值。 5、极惯性矩：（对O点而言） 2 d P A I A = 图形对x 轴的惯性矩: 图形对y 轴的惯性矩: I.2.1 惯性矩 O x y dA x y 图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的 极惯性矩。 2 2 ( )d A = + y x A 2 2 d d A A = + y A x A x y = + I I
(1)圆形截面的惯性矩: 实心(直径D) 丌D 64 空心(外径D,内径d)1=1 丌D 64 (2)矩形截面的惯性矩: J ∫,yd4=「byy=12bh 2 12 b dy ∫x2d=「2 hx dx=-hb h x 12 h d b =-bh hb 12 6、惯性半径: A
b h c xc yc ⑴ 圆形截面的惯性矩： 实心（直径D） 空心（外径D，内径d） ⑵ 矩形截面的惯性矩： b dy 1 3 12 x I bh = 3 12 1 I y = hb 4 64 x y D I I = = ( ) 4 4 1 64 x y D I I = = − h dx 2 2 3 2 2 1 d d 12 h x h A I y A by y bh − = = = 2 2 3 2 2 1 d d 12 b y b A I x A hx x hb − = = = 6、惯性半径： A I i x x = A I i y y =
L2.2惯性积 1、定义: rda 2、量纲:[长度]4,单位:m、mm4。 3、惯性积是对轴而言。 4、惯性积的取值为正值、负值、零。 5、规律 两坐标轴中,只要有一个轴为图形的对称轴,则图形这一对坐标轴的惯 性积为零
1、定义： 2、量纲：［长度］4，单位：m4 、mm4 。 3、惯性积是对轴而言。 d xy A I xy A = 4、惯性积的取值为正值、负值、零。 5、规律： 两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐标轴的惯 性积为零。 I.2.2 惯性积 O x y dA x y
3平行移轴公式 L3.1平行移轴公式 图形截面积A,形心坐标xa、y,对形心 轴的惯性矩和惯性积分别为c、le、Iog,a b已知。xc轴平行于x轴;y轴平行于y轴。 求:L ydA=L(C+a)'dA dA+ adA+2aI vdA y Ⅰ+a2A 同理1,=1+b
I.3 平行移轴公式 I.3.1 平行移轴公式 图形截面积A，形心坐标xc、 yc，对形心 轴的惯性矩和惯性积分别为Ixc、Iyc、 Ixcyc，a、 b 已知。xc轴平行于x 轴；yc 轴平行于y 轴。 求：Iz、Iy。 x y O C b a yc xc 2 2 2 2 2 d ( ) d d d 2 d x c A A c c A A A xc I y A y a A y A a A a y A I a A = = + = + + = + 2 y yc I I b A = + yc dA xc x y 同理
Ioy=LxydA=Lo +a(x+b)dA y yxd+ab「dA+axd4+ ydA dA I+abA l+aA 1=l+b2A平行移轴公式 L =l+abA 注意:xC、yc为形心轴 a、b为图形形心C在Oxy坐标系的坐标值,可正可负
x y O C b a yc xc yc dA xc x y xy c c d ( )( )d A A I xy A y a x b A = = + + d d d d c c c c A A A A xcyc y x A ab A a x A b y A I abA = + + + = + 2 2 x xc y yc xy xcyc I I a A I I b A I I abA = + = + = + ——平行移轴公式 注意： xC、yC为形心轴 a、b 为图形形心C 在 Oxy 坐标系的坐标值，可正可负