《水动力学研究与进展》：基于Level set方法的不同湍流模型在水翼空化流计算中的应用研究

A辑第34卷第4期 水动力学研究与进展 Vol, 34. No, 4 2019年7月 CHINESE JOURNAL OF HYDRODYNAMICS DOI:10.16076/ cnki chd.201904.002 基于 Level set方法的不同湍流模型在 水翼空化流计算中的应用研究* 伏雨,于安2,季斌,龙新平 (1.武汉大学动力与机械学院,湖北武汉430072,E-mal:fuyuwhu@whu.edu.cn;, 2.河海大学能源与电气学院,江苏南京211100 摘要:该文以二维翼型NACA0015为研究对象,基于 Level set方法耦合 zwart空化质量传递模型,采用四种湍流 模型分别模拟了水翼诱导的非定常空化流过程,计算结果与实验的对比表明:标准k模型无法准确预测尾部空泡的断 裂和脱落,通过滤波器模型修正湍流黏性后可以正确预测空泡演变规律;PANS模型参数取值0.时,可以得到满意 的空泡演变规律:SAS-SST湍流模型在处理大分离流动上存在明昰优势,对尾部空泡周期性脱落规律预测较好。空泡体 积变化和监测点压力脉动频率的关系表明空化的发生和演变是空化区域内压力脉动产生的主要原因 关镳词:空化:湍流模型: Level set方法:压力脉动 中图分类号:O359.1 文献标志码 Evaluation of turbulence models for hydrofoil cavitating flows based on Level set method FU Yu, YU An, JI Bin, LONG Xin-ping (1. School of Power and Mechanical Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, Hubei, China; 2. College of Energy and Electrical Engineering, Hohai University, Nanjing211100, Jiangsu, China) Abstract: The unsteady cavitating flow around a two-dimensional naCAoo15 hydrofoil was simulated based on the leve set method and zwart cavitation model, Four turbulence models were used to investigate their effects on predicting the evolution of cavitation structures. Compared with the experimental data, it is noted that the standard k-E turbulence model can not predict the crack and shedding of the cavitation at the tail of the hydrofoil, and the addition of Fliter- Based Model to correct turbulent viscosity can accurately predict the evolvement of cavitation. a suitable value equal to 0.2 in predicting the cavitation structures is parameter f in the PANs model.The SAs-SST turbulence model has a significant advantage in dealing with large separation flow 收稿日期:2018-10-17(2019-04-18修改稿 基金项目:国家自然科学基金(51806058) 作者简介:伏雨(1995-),女,江苏连云港人,硕士 通讯作者:于安,E-mail:yuan@hhu.edu.cn Received: October 17, 2018( Revised April 18, 2019) Project supported by foundations: Supported by the National Natural Science Foundation of China(51806058) Biography: FU Yu(1995-) Female, Master Correspondingauthor:YUAn,E-mail:yuan@hhu.edu.cn

DOI：10.16076/j.cnki.cjhd.2019.04.002 基于 Level set 方法的不同湍流模型在 水翼空化流计算中的应用研究* 伏雨 1 , 于安 2 , 季斌 1 , 龙新平 1 （1. 武汉大学动力与机械学院, 湖北 武汉 430072, E-mail: fuyuwhu@whu.edu.cn; 2. 河海大学能源与电气学院, 江苏 南京 211100） 摘 要：该文以二维翼型 NACA0015 为研究对象，基于 Level set 方法耦合 Zwart 空化质量传递模型，采用四种湍流 模型分别模拟了水翼诱导的非定常空化流过程，计算结果与实验的对比表明：标准 k-ε 模型无法准确预测尾部空泡的断 裂和脱落，通过滤波器模型修正湍流黏性后可以正确预测空泡演变规律；PANS 模型参数 fk 取值 0.2 时，可以得到满意 的空泡演变规律；SAS-SST 湍流模型在处理大分离流动上存在明显优势，对尾部空泡周期性脱落规律预测较好。空泡体 积变化和监测点压力脉动频率的关系表明空化的发生和演变是空化区域内压力脉动产生的主要原因。 关 键 词：空化；湍流模型；Level set 方法；压力脉动 中图分类号：O359.1 文献标志码：A Evaluation of turbulence models for hydrofoil cavitating flows based on Level set method FU Yu1 , YU An2 , JI Bin1 , LONG Xin-ping1 (1. School of Power and Mechanical Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, Hubei, China; 2. College of Energy and Electrical Engineering, Hohai University, Nanjing211100, Jiangsu, China) Abstract: The unsteady cavitating flow around a two-dimensional NACA0015 hydrofoil was simulated based on the Level set method and Zwart cavitation model. Four turbulence models were used to investigate their effects on predicting the evolution of cavitation structures. Compared with the experimental data, it is noted that the standard k-ε turbulence model can not predict the crack and shedding of the cavitation at the tail of the hydrofoil, and the addition of Fliter-Based Model to correct turbulent viscosity can accurately predict the evolvement of cavitation. A suitable value equal to 0.2 in predicting the cavitation structures is parameter fk in the PANS model.The SAS-SST turbulence model has a significant advantage in dealing with large separation flows * 收稿日期: 2018-10-17(2019-04-18 修改稿) 基金项目: 国家自然科学基金(51806058) 作者简介: 伏雨(1995－), 女, 江苏连云港人, 硕士. 通讯作者: 于安, E-mail: yu_an@hhu.edu.cn Received: October 17, 2018 (Revised April 18, 2019) Project supported by foundations: Supported by the National Natural Science Foundation of China(51806058) Biography: FU Yu (1995–), Female, Master. Corresponding author: YU An, E-mail: yu_an@hhu.edu.cn

基于 Level set方法的不同湍流模型在水翼空化流计算中的应用研究 431 and predicting the shedding of the cavitation at the tail of the hydrofoil. By the analysis of bubble volume evolution and pressure llsation at monitoring points, it is indicated that the cavitation shedding is the main cause of pressure pulsation in the cavitation region. ey words: cavitation; turbulence model; Level set method; pressure pulsation 引言 的混合流动。目前应用较为广泛的两相流计算方法 为均相模型,即只求解一套混合流体的控制方程。 空化常发生于水下高速运动的设备表面,其流在该模型中,控制方程包括连续性方程和动量守恒 动处于高度湍流状态,通常认为湍流引起的压力脉方程 动是导致空化结构复杂且不稳定的主要诱因。近百 年来,国内外学者提出了不少湍流模型及其修正 算法,但仍未能提出一种能在精度上达到实际工程 apm a(enu,) (1) 需要的通用湍流模型。特别是针对复杂的多尺度空 化流动现象,湍流模型在空化计算中的适用性亟需 进一步探索 a(pmu,).a( 在空化研究中,不同湍流模型均有广泛应用, 也产生了各种改进模型以尽可能准确地预测空泡 的产生和演变过程。这些研究方法主要可分为直接 数值模拟( Direct Numerical simulation,DNs)6、大p 涡模拟( Large Eddy Simulation,LES)8以及基于 高|(+)2+a Reynolds平均的方法( Reynolds- Average Navier Stokes,RANS)9。其中应用最多的是RANS方法, 式中:pm和以m分别为混合流体的密度和动力黏度, 常见的RANS模型有ke模型、ko模型和雷诺应力方定义如下 程模型。基于不同湍流模型的硏究虽然加深了人们 对于空化及其诱导湍流的理解,但不同湍流模型在 空化流计算中的适用性和准确性并不明确。 Pm=1+P∝ (3) 本研究将系统地对比和评估几种湍流模型对 于空化流的预测性能,其中包括:①标准k=e模型l1.Am=Ha1+,a (4) 剪切应力输运模型 Shear Stress Transport,结式中:/和y分别为液相和汽相,a为体积分数。 合尺度自适应模拟方法( Scale- Adaptive Simulation SAS)形成的SAS-SST模型-12;③滤波器模型 ( Fliter-Based Model,FBM;④PANS模型 12 Level set方法 ( Partially Averaged Navier-Stokes, PANS)。其中 需要注意的是,传统的均相模型在计算过程中 FBM模型和PANS模型均是基于标准k-ε模型进行修忽略了相间作用力,这将对空化流动的预测产生 正得到的,FBM模型通过引入滤波函数对标准k-定的影响。为此, Osher等1提出了一种基于均质 模型中的湍流黏性进行修正,弥补了原方程对湍流流假设的计算多相流的隐式界面追踪法,即 Level 黏性过度预测的缺陷叮;PANS模型在标准k-e模型set方法。该方法考虑了表面张力的影响,在汽液两 的基础上,通过改变控制参数f和f的取值,实现从相流计算中得到了较好地应用18。其动量表达式 RANS模型到DNS模型的转变。本文的研究思路是为 基于 Level set方法,耦合 zwart空化质量传递模型建 立空化两相流数值计算方法。以二维NACA0015翼0 P 型为研究对象,对比四种湍流模型计算得到的空化a"a(pn4a 结构演变规律,以评价不同湍流模型在水翼空化计 算中的适用性和局限性,并对云空化流场中的非稳 态压力脉动过程进行分析 Am +u +(d)n 数学模型 式中:φ为 Level set函数,n为法向向量,y为表面张 1.1基本控制方程 力系数,k为交界面的表面曲率,最后一项y6(n 空化问题的本质是相变,其中涉及汽和液两相为表面张力项

伏雨，等：基于 Level set 方法的不同湍流模型在水翼空化流计算中的应用研究 431 引言 空化常发生于水下高速运动的设备表面，其流 动处于高度湍流状态，通常认为湍流引起的压力脉 动是导致空化结构复杂且不稳定的主要诱因。近百 年来，国内外学者[1-5]提出了不少湍流模型及其修正 算法，但仍未能提出一种能在精度上达到实际工程 需要的通用湍流模型。特别是针对复杂的多尺度空 化流动现象，湍流模型在空化计算中的适用性亟需 进一步探索。 在空化研究中，不同湍流模型均有广泛应用， 也产生了各种改进模型以尽可能准确地预测空泡 的产生和演变过程。这些研究方法主要可分为直接 数值模拟(Direct Numerical Simulation, DNS) [6]、大 涡模拟(Large Eddy Simulation, LES) [7-8]以及基于 Reynolds 平均的方法 (Reynolds-Average Navier￾Stokes, RANS) [9]。其中应用最多的是RANS方法， 常见的RANS模型有k-ε模型、k-ω模型和雷诺应力方 程模型。基于不同湍流模型的研究虽然加深了人们 对于空化及其诱导湍流的理解，但不同湍流模型在 空化流计算中的适用性和准确性并不明确。 本研究将系统地对比和评估几种湍流模型对 于空化流的预测性能，其中包括：①标准k-ε模型[10]； ②剪切应力输运模型(Shear Stress Transport, SST)结 合尺度自适应模拟方法(Scale-Adaptive Simulation, SAS)形成的SAS-SST模型[11-12]；③滤波器模型 (Fliter-Based Model, FBM)[13] ； ④ PANS 模 型 (Partially Averaged Navier-Stokes,PANS)[14]。其中 FBM模型和PANS模型均是基于标准k-ε模型进行修 正得到的，FBM模型通过引入滤波函数对标准k-ε 模型中的湍流黏性进行修正，弥补了原方程对湍流 黏性过度预测的缺陷[15]；PANS模型在标准k-ε模型 的基础上,通过改变控制参数ƒk和ƒs的取值，实现从 RANS模型到DNS模型的转变。本文的研究思路是 基于Level set方法，耦合Zwart空化质量传递模型建 立空化两相流数值计算方法。以二维NACA0015翼 型为研究对象，对比四种湍流模型计算得到的空化 结构演变规律，以评价不同湍流模型在水翼空化计 算中的适用性和局限性,并对云空化流场中的非稳 态压力脉动过程进行分析。 1 数学模型 1.1 基本控制方程 空化问题的本质是相变,其中涉及汽和液两相 的混合流动。目前应用较为广泛的两相流计算方法 为均相模型，即只求解一套混合流体的控制方程。 在该模型中，控制方程包括连续性方程和动量守恒 方程   0 m m j j u t x        (1)    mi j m i j u u u t x           j i m t ij ji p u u x x xx                         (2) 式中：ρm和µm分别为混合流体的密度和动力黏度， 定义如下   m ll vv      (3)  m ll vv     (4) 式中：l和v分别为液相和汽相，α为体积分数。 1.2 Level set方法 需要注意的是，传统的均相模型在计算过程中 忽略了相间作用力，这将对空化流动的预测产生一 定的影响。为此，Osher等[16]提出了一种基于均质 流假设的计算多相流的隐式界面追踪法，即Level set方法。该方法考虑了表面张力的影响，在汽液两 相流计算中得到了较好地应用[17-18]。其动量表达式 为   mi mi j   j i p u uu tx x               j i m t j ji u u x xx                        n (5) 式中：ϕ为Level set函数，n为法向向量，γ为表面张 力系数，κ为交界面的表面曲率，最后一项γκδ(ϕ) n 为表面张力项。 and predicting the shedding of the cavitation at the tail of the hydrofoil. By the analysis of bubble volume evolution and pressure pulsation at monitoring points, it is indicated that the cavitation shedding is the main cause of pressure pulsation in the cavitation region. Key words: cavitation; turbulence model; Level set method; pressure pulsation

水动力学研究与进展 A辑2019年第4期 在 Level set方法中,认为汽液两相交界面处是 连续光滑的,定义函数为计算区域中的点与相界 p≤p,(12) 面的垂直距离,界面定义为函数值为0的位置。由 此,水蒸汽与水的交界面S可以表示为 p-p (13) d,液相 R 0,交界面 (6)式中:am为汽核体积分数,C和C分别为蒸发和凝 d,汽相 结的经验系数。一般按经验取:an=5×10+,C=50, C=001。 利用 Level set函数定义上式中的法向向量n、交 界面表面曲率k,得到表面张力项6()n的表达式14湍流模型 为 141标准k-ε模型 x(6=o(0y 标准k模型是典型的雷诺时均化湍流模型。它 在湍动能k的方程基础上,引入了湍动耗散率ε的输 运方程,方程可表示为 流场中流体的物性参数借助于 Level set函数和 Heaviside函数定义,用以下方程表示 a(pk).a(pku,) Pn(x)=p,+(P-p)Hep() A t ,ak Hn(x)=,+(x-)H[(x) (9)a-+ 式中: Heaviside函数定义为 a(pe)(∞n)=c H,(62-1++ p≤E (10)Ca2Pk+ (15) 9>8 142SAS-SST模型 式中:ε为一个恒为正的小量规整参数 SAS-SST模型是在SST模型的基础上添加了 13空化模型 SAS源项ΩsAs。该模型可以在流场的稳定流动区域 采用RANS方法而在非稳态流动区域调整RANS的 基于相间质量传输方程的空化模型是目前应长度尺度,从而更好地模拟大分离流动。本文所使 用最为广泛的空化模型。此类模型通过增加含汽率用的SAS-SST模型是 ER Menter19提出的SsTk-o 方程的源项实现汽液两相之间质量传输过程的控湍流模型,输运方程为 制。输运方程可以表示为 a(pk) a(pk) ap, a, uy ax+-Bpka ok ax (16) 式中:m和前分别为蒸发和凝结的源项。 yP.-B,pc ,ao 根据m和前推导方法和表达形式的不同,形 成了不同的空化模型。本文采用了应用较为广泛的 Zwa空化模型。该模型在 Kubota模型的基础上对气2(1-)11akao (17) 体的体积分数进行了修正,其质量传输方程为 o 0 ax ax

432 水 动 力 学 研 究 与 进 展 A 辑 2019 年第 4 期 在Level set方法中，认为汽液两相交界面处是 连续光滑的，定义函数ϕ为计算区域中的点与相界 面的垂直距离，界面定义为ϕ函数值为0的位置。由 此，水蒸汽与水的交界面S可以表示为 = 0 d d      ，液相 ，交界面 ，汽相 (6) 利用Level set函数定义上式中的法向向量n、交 界面表面曲率κ，得到表面张力项γκδ(ϕ) n的表达式 为                      n (7) 流场中流体的物性参数借助于Level set函数和 Heaviside函数定义，用以下方程表示     m v lv   x     H x        (8)     m v lv   x     H x        (9) 式中：Heaviside函数定义为   0 1 sin 2 2 1 H                                (10) 式中：ε为一个恒为正的小量规整参数。 1.3 空化模型 基于相间质量传输方程的空化模型是目前应 用最为广泛的空化模型。此类模型通过增加含汽率 方程的源项实现汽液两相之间质量传输过程的控 制。输运方程可以表示为 v v vvj j u m m t x              (11) 式中： 和 分别为蒸发和凝结的源项。 根据 和 推导方法和表达形式的不同，形 成了不同的空化模型。本文采用了应用较为广泛的 Zwart空化模型。该模型在Kubota模型的基础上对气 体的体积分数进行了修正，其质量传输方程为 3 1  2   , 3 v nuc v v e v b l p p m C pp R          (12) 3 2   , 3 v v v c v b l p p m C pp R         (13) 式中：αnuc为汽核体积分数，Ce和Cc分别为蒸发和凝 结的经验系数。一般按经验取：αnuc=5×10-4, Ce=50, Cc=0.01。 1.4 湍流模型 1.4.1 标准k-ε模型 标准k-ε模型是典型的雷诺时均化湍流模型。它 在湍动能k的方程基础上，引入了湍动耗散率ε的输 运方程，方程可表示为    j j k ku t x         i t ij m j j kj u k x x x                      (14)     1 j i ij j j u u C t x kx              2 2 t m j j C kx x                        (15) 1.4.2 SAS-SST模型 SAS-SST模型是在SST模型的基础上添加了 SAS源项QSAS。该模型可以在流场的稳定流动区域 采用RANS方法而在非稳态流动区域调整RANS的 长度尺度，从而更好地模拟大分离流动。本文所使 用的SAS-SST模型是F.R Menter[19]提出的SST k-ω 湍流模型，输运方程为     t i kk i i ki k k k u Pk tx x x                                (16)     2 t i i ii u P tx x x                                         1 2 1 1 2 1 i i k F x x           (17) m  m  m  m 

基于 Level set方法的不同湍流模型在水翼空化流计算中的应用研究 式中:ω为湍动能比耗散率,a和a分别为k方程和 方程的系数,B和几为湍流模型系数,F为湍流》(元) 模型系数的合成函数。P和P分别为两个偏微分方 程的生成项,可以表示为 CIP En P= (18) 式中,湍流黏度v=Ck2/en,0=1,2,0=13,C=1.2 当fk取值为0时,直接对 Navier-Stokes方程进行 (19)求解。在PANS模型计算过程中,取值过大时,计 算结果精度无法满足要求,将∫取值减小,那么在 添加的源项Qss表达式为 提高计算精度的同时也加大了计算量。本文计算中 选取f=02、0.4和0.6进行对比研究。 Q(202实验及数值细节 1 akak 1 a0 do 本文以低速翼型NACA0015为研究对象,实验 k 2 ax ax, 02 ax, ax (21)所用的水翼相对弯度为0°,宽度s=70mm,弦长 本文中的水翼空化实验借助于北京理工 式中:特征长度Lk被称为冯卡门尺度 大学的高速水洞实验台完成,实验的具体参数设置 如表1所示。 14.3FBM模型 表1NACA0015翼型空化实验工况 FBM滤波器模型是在上述标准k-ε方程的基础 Table 1. Experimen ditions for NACA0015 上引入了滤波函数模型对湍流黏度进行修正,可以 hydrofoil cavitating 数 数值 得到湍流黏度表达式 雷诺数 5×1035 式中:滤波函数F的表达式为 数值计算中的模型尺寸以及流场边界条件等 均与实验条件保持一致。如图1所示,计算区域的 F=MinI (23)入口距离翼型前缘点3倍弦长,出口距离翼型尾缘6 倍弦长,上下边界相距6倍弦长。在整个流域内采 上式表示:当滤波尺度小于湍流尺度时 用结构化网格划分技术,并在翼型周围做适当加密 处理。在网格入口处,采用速度进口边界条件,速 =Cnk2,当滤波尺度大于湍流尺度时,采用标度大小为72m/s;出口处采用压力出口条件,根据 准k-模型计算。 空化数为0.65设置操作压力为20325Pa,翼型攻角 144PANS模型 为6°。翼型表面设置成无滑移壁面条件。 PANS模型是在标准k-ε模型的基础上,通过改 变引入的控制参数/和f的值,实现从RANS模型到 DNS模型的光滑转变。其中∫k为未分解局部时均化 湍动能k与总湍动能k的比率,f为未分解局部时均 来流方向 化耗散εn与总耗散ε的比率。PANS湍流模型的输运 方程为 k,a(k可) ak,+P 图1水翼空化流场计算域 Fig 1 Computational domain of cavitating at ax ax ax flow around hydrofoil

伏雨，等：基于 Level set 方法的不同湍流模型在水翼空化流计算中的应用研究 433 式中：ω为湍动能比耗散率，σk和σω分别为k方程和 ω方程的系数， 和 为湍流模型系数，F1为湍流 模型系数的合成函数。Pk和Pω分别为两个偏微分方 程的生成项，可以表示为 2 3 j ii i k t ij j ji j uu u u P k x xx x                 (18) 2 3 j ii i ij j ji j uu u u P x xx x                  (19) 添加的源项QSAS表达式为 2 SAS SAS 2 SAS-SST 2 max ,0 vk L k QF S F L                   (20) SAS-SST 2 2 1 1 max , j j jj k k F kxx xx               (21) 式中：特征长度Lvk被称为冯卡门尺度。 1.4.3 FBM模型 FBM滤波器模型是在上述标准k-ε方程的基础 上引入了滤波函数模型对湍流黏度进行修正，可以 得到湍流黏度表达式 2 , 0.09 t k C FC        (22) 式中：滤波函数F的表达式为 Min 1, 3/2 F k         (23) 上式表示：当滤波尺度小于湍流尺度时， μt=CμρΔk 1/2, 当滤波尺度大于湍流尺度时，采用标 准k-ε模型计算。 1.4.4 PANS模型 PANS模型是在标准k-ε模型的基础上，通过改 变引入的控制参数ƒk和ƒs的值，实现从RANS模型到 DNS模型的光滑转变。其中ƒk为未分解局部时均化 湍动能kn与总湍动能k的比率，ƒs为未分解局部时均 化耗散εn与总耗散ε的比率。PANS湍流模型的输运 方程为  n j n nn n n j j kn j k k k u P tx x x                              (24)  n j n nn j j nj u txx x                            2 1 1 21 nk n n n n f CP C C C kf k               (25) 式中，湍流黏度νn=Cμkn 2 /εn，σk=1.2，σε=1.3，Cε1=1.2， Cε2=1.3，Cμ=0.99。 当ƒk取值为0时，直接对Navier-Stokes方程进行 求解。在PANS模型计算过程中，ƒk取值过大时，计 算结果精度无法满足要求，将ƒk取值减小，那么在 提高计算精度的同时也加大了计算量。本文计算中 选取ƒk=0.2、0.4和0.6进行对比研究。 2 实验及数值细节 本文以低速翼型NACA0015为研究对象，实验 所用的水翼相对弯度为0o ，宽度s=70 mm,弦长 C=70 mm。本文中的水翼空化实验借助于北京理工 大学的高速水洞实验台完成，实验的具体参数设置 如表1所示。 表 1 NACA0015 翼型空化实验工况 Table 1. Experimental conditions for NACA0015 hydrofoil cavitating 参数 符号 数值 雷诺数 Re 5×105 空化数 σ 0.65 攻角 AOA 6° 数值计算中的模型尺寸以及流场边界条件等 均与实验条件保持一致。如图1所示，计算区域的 入口距离翼型前缘点3倍弦长，出口距离翼型尾缘6 倍弦长，上下边界相距6倍弦长。在整个流域内采 用结构化网格划分技术，并在翼型周围做适当加密 处理。在网格入口处，采用速度进口边界条件，速 度大小为7.2 m/s；出口处采用压力出口条件，根据 空化数为0.65设置操作压力为20 325 Pa，翼型攻角 为6o 。翼型表面设置成无滑移壁面条件。 图 1 水翼空化流场计算域 Fig.1 Computational domain of cavitating flow around hydrofoil  k  

水动力学研究与进展 A辑2019年第4期 流场。根据图3所选取直线上的压力分布可知,方 3结果与讨论 案a网格数量较小,计算结果偏差较大;方案b和c 随着网格数量的增加,对计算结果影响不大。综上 考虑,选取方案b网格进行计算。 3.1网格无关性验证 3.2湍流模型对云空化结构演变规律的影响 为确定合适的计算网格,本文选取了三套网格 云空化是一种极为复杂的典型非定常空化流 进行网格无关性检验。如图2所示,a、b和c方案网动现象。空穴形态发展极不稳定且难以预测。图4 格数量分别为101568、126248和150928,计算工为实验拍摄到的一个周期内空泡形态发展图像,实 况为入口速度72ms,在不考虑空化的情况下计算验得到的空泡产生溃灭周期约为64ms。 为研究参数对局部时均(PANS)湍流模型的 影响,分别选取fk=0.2、0.4和06进行计算。做出不 同f取值下PANS湍流模型预测得到的空泡体积分 数分布随时间的变化如图5所示。 图5给出了PANS湍流模型计算得到的空泡在 一个周期内的形态演变过程,从实验拍摄的照片来 看,空穴的发展主要包括空泡的生长、断裂以及在 翼缘尾部的脱落三个过程组成,空泡脱落周期T1、 T2和T3分别为34ms、34ms和33ms,远小于实验周 期64ms。从图中可以看出,随着fk的增大,PANS 模型预测得到的空化低压区逐渐减小,捕捉到的非 定常云空化的细节也不够丰富。当∫=0.2时预测得 到的空穴形态与实验结果最为相近,在初始阶段 空穴沿翼型表面向后发展,从0.8C的位置几乎覆盖 (b) 至整个翼型表面;随后翼型尾部出现扰动,尾部空 泡逐渐被剥离翼型表面,在靠近翼型中部位置出现 断裂;断裂后的空泡不断发展并向下游移动,最终 在靠近翼型尾部全部脱落,而此时,在翼型前缘依 旧存在部分附着型空泡。 图6是不同湍流模型预测得到的空穴形态随时 间的变化,PANS模型选取表现较好的f=02时计算 (c) 结果作为比较。从图中可以看出,标准k-模型无法 图2不同网格划分方案示意图 (a)粗网格(b)中等网格(c)细网格 准确预测尾部空泡的大尺度脱落现象。同样工况下 Fig 2 Schematic diagrams of different meshing schemes: (a) FBM模型在流场计算中相较于标准kε湍流模型有 coarse grid (b) medium grid(c)fine grid 着明显的改进。在FBM湍流模型中,通过将滤波函 中等网格 图3不同网格计算得到的压力曲线 Fig 3 Pressure curves calculated by different grids

434 水 动 力 学 研 究 与 进 展 A 辑 2019 年第 4 期 3 结果与讨论 3.1 网格无关性验证 为确定合适的计算网格，本文选取了三套网格 进行网格无关性检验。如图2所示，a、b和c方案网 格数量分别为101 568、126 248和150 928，计算工 况为入口速度7.2 m/s，在不考虑空化的情况下计算 图 2 不同网格划分方案示意图: (a)粗网格(b)中等网格 (c)细网格 Fig.2 Schematic diagrams of different meshing schemes: (a) coarse grid (b) medium grid (c) fine grid 流场。根据图3所选取直线上的压力分布可知，方 案a网格数量较小，计算结果偏差较大；方案b和c 随着网格数量的增加，对计算结果影响不大。综上 考虑，选取方案b网格进行计算。 3.2 湍流模型对云空化结构演变规律的影响 云空化是一种极为复杂的典型非定常空化流 动现象。空穴形态发展极不稳定且难以预测。图4 为实验拍摄到的一个周期内空泡形态发展图像，实 验得到的空泡产生溃灭周期约为64 ms。 为研究ƒk参数对局部时均(PANS)湍流模型的 影响，分别选取ƒk=0.2、0.4和0.6进行计算。做出不 同ƒk取值下PANS湍流模型预测得到的空泡体积分 数分布随时间的变化如图5所示。 图5给出了PANS湍流模型计算得到的空泡在 一个周期内的形态演变过程，从实验拍摄的照片来 看，空穴的发展主要包括空泡的生长、断裂以及在 翼缘尾部的脱落三个过程组成，空泡脱落周期T1、 T2和T3分别为34 ms、34 ms和33 ms，远小于实验周 期64 ms。从图中可以看出，随着ƒk的增大，PANS 模型预测得到的空化低压区逐渐减小，捕捉到的非 定常云空化的细节也不够丰富。当ƒk=0.2时预测得 到的空穴形态与实验结果最为相近，在初始阶段， 空穴沿翼型表面向后发展，从0.8 C的位置几乎覆盖 至整个翼型表面；随后翼型尾部出现扰动，尾部空 泡逐渐被剥离翼型表面，在靠近翼型中部位置出现 断裂；断裂后的空泡不断发展并向下游移动，最终 在靠近翼型尾部全部脱落，而此时，在翼型前缘依 旧存在部分附着型空泡。 图6是不同湍流模型预测得到的空穴形态随时 间的变化，PANS模型选取表现较好的ƒk=0.2时计算 结果作为比较。从图中可以看出，标准k-ε模型无法 准确预测尾部空泡的大尺度脱落现象。同样工况下， FBM模型在流场计算中相较于标准k-ε湍流模型有 着明显的改进。在FBM湍流模型中，通过将滤波函 图 3 不同网格计算得到的压力曲线 Fig.3 Pressure curves calculated by different grids

基于 Level set方法的不同湍流模型在水翼空化流计算中的应用研究 435 数引入到湍流黏性系数μ的表达式中,针对不同的 湍流尺度对μ取值作出调整,从而有效地调节了流 场中湍流黏性的分布。因此,FBM模型预测的空穴 形态发展更接近于实验观测结果。从图中可以看出 它可以捕捉到流场中的涡团结构,并较准确地预报 空泡断裂和在尾部脱落的过程。相比于FBM模型的 预测结果,SAS-SST模型在预测空穴形态的发展过 (c)T+0048 程中捕捉到了更大尺度的涡团脱落。预测得到的空 穴形态发展变化云图中两相的交界面清晰,并且在 图4试验工况下一个周期内空泡发展示意图 (=0.65,R=5×105,AOA=6° 空穴厚度预测上更接近实验所得结果。但是,该模 Fig 4 Schematic diagram of bubble development in one cycle 型对于空泡生长断裂和脱落的预测过于剧烈,尤其 under experimental conditions(a=065,R=5×10,AOA=6°)是提前预测了尾部空泡的脱落过程。 (a2)40ya7 b2)40%7 (a3)67 b3)6P7 (c)607 (a)=02(T=34ms) 图5不同f取值下PANS湍流模型预测得到的空穴形态变化云图 Fig5 Time evolution of cavitation structure (a1)2097 b2)209%T c)2097 (d)20PG7 a4)90%7 (a)BANS模型(02x34ms)(b)标准佳k模型(T2m)()FBM模型(-56m)( d) sAss模型(x=45ms) 图6不同湍流模型预测得到的空穴形态随时间变化图 Fig 6 Time evolution of cavitation structure contours for different turbulence models

伏雨，等：基于 Level set 方法的不同湍流模型在水翼空化流计算中的应用研究 435 图 4 试验工况下一个周期内空泡发展示意图 (σ=0.65, Re =5105 , AOA= 6°) Fig.4 Schematic diagram of bubble development in one cycle under experimental conditions(σ=0.65, Re =5105 , AOA= 6°) 数引入到湍流黏性系数μt的表达式中，针对不同的 湍流尺度对μt取值作出调整，从而有效地调节了流 场中湍流黏性的分布。因此，FBM模型预测的空穴 形态发展更接近于实验观测结果。从图中可以看出， 它可以捕捉到流场中的涡团结构，并较准确地预报 空泡断裂和在尾部脱落的过程。相比于FBM模型的 预测结果，SAS-SST模型在预测空穴形态的发展过 程中捕捉到了更大尺度的涡团脱落。预测得到的空 穴形态发展变化云图中两相的交界面清晰，并且在 空穴厚度预测上更接近实验所得结果。但是，该模 型对于空泡生长断裂和脱落的预测过于剧烈，尤其 是提前预测了尾部空泡的脱落过程。 图 5 不同 ƒk取值下 PANS 湍流模型预测得到的空穴形态变化云图 Fig.5 Time evolution of cavitation structure contours for PANS turbulence model with the different values of ƒk 图 6 不同湍流模型预测得到的空穴形态随时间变化图 Fig.6 Time evolution of cavitation structure contours for different turbulence models

水动力学研究与进展 A辑2019年第4期 3.3湍流模型对空泡体积变化规律的影响 在云空化流场中,空泡的生长、断裂和脱落过 程呈现出明显的周期性变化规律。因此,本节将通 E 过监测空泡体积变化的方法来研究空泡发展周期 以及湍流模型的影响。图7和图8分别给出了应用不 同湍流模型预测得到的空泡体积变化的时域和频 域图 (a)标准kce澈流模型频域图 (a)标准kc流模型时域图 频率/Hz b)FBM湍流模型频域图 (b)FBM流模型时域图 70 (c)PANS满流模型频域图(A=02) 35 日25 20 15 (e)PANS湍流模型时域图(=02) 6080100 频率/Hz ( d) SAs-ssi湍流模型频域图 图8不同湍流模型预测的空泡体积变化频域图 Fig 8 Frequency domain diagrams of bubble volume change predicted by different turbulence models 验周期相近。但由于过度预测了湍流黏性,在上述 空穴形态随时间发展变化云图上可以看到该模型 无法准确预测空泡在翼型尾部的脱落过程。FBM湍 ( d) SAs-sst湍流模型时域图 流模型在标准k-ε模型的基础上对湍流黏性系数做 图7不同湍流模型预测的空泡体积变化时域图 了修正,可以捕捉到空化流场中形态更为丰富的空 Fig 7 Time-domain diagrams of bubble volume change 泡。但图中还出现其他强度较小的脉动频率。分析 predicted by different turbulence models 认为,除谐波频率外,在空泡发展后期阶段,有部 图中可以看出标准k-湍流模型预测得到的空分空泡脱落后己经完全脱离翼型表面,但短期内仍 泡体积变化主频率为16Hz,周期约为62ms,与实 游离于流场中,这部分空泡体积也被统计在内,导

436 水 动 力 学 研 究 与 进 展 A 辑 2019 年第 4 期 3.3 湍流模型对空泡体积变化规律的影响 在云空化流场中，空泡的生长、断裂和脱落过 程呈现出明显的周期性变化规律。因此，本节将通 过监测空泡体积变化的方法来研究空泡发展周期 以及湍流模型的影响。图7和图8分别给出了应用不 同湍流模型预测得到的空泡体积变化的时域和频 域图。 图 7 不同湍流模型预测的空泡体积变化时域图 Fig.7 Time-domain diagrams of bubble volume change predicted by different turbulence models 图中可以看出标准k-ε湍流模型预测得到的空 泡体积变化主频率为16 Hz，周期约为62 ms，与实 图 8 不同湍流模型预测的空泡体积变化频域图 Fig.8 Frequency domain diagrams of bubble volume change predicted by different turbulence models 验周期相近。但由于过度预测了湍流黏性，在上述 空穴形态随时间发展变化云图上可以看到该模型 无法准确预测空泡在翼型尾部的脱落过程。FBM湍 流模型在标准k-ε模型的基础上对湍流黏性系数做 了修正，可以捕捉到空化流场中形态更为丰富的空 泡。但图中还出现其他强度较小的脉动频率。分析 认为，除谐波频率外，在空泡发展后期阶段，有部 分空泡脱落后已经完全脱离翼型表面，但短期内仍 游离于流场中，这部分空泡体积也被统计在内，导

基于 Level set方法的不同湍流模型在水翼空化流计算中的应用研究 437 致监测到的空泡体积变化频域图中还有其他振幅 较小的脉动频率。 监测点P2 PANS湍流模型和SAS-SST模型预测的主频均 在30H左右,空泡体积变化周期约为34ms,而实 验得到的空穴形态变化周期约为64ms,相对于实验 结果预测了较小的空泡发展周期。在 SAS-SST湍流 模型中由于考虑了因速度梯度而产生的剪切应力 的影响,所以SAS-SST模型在数值模拟过程中加速 了空泡分离脱离的过程,导致预测周期过小,但相 对而言较准确地预测了空泡形态变化规律,周期性 03040.5 明显 (a)监测点P2 34压力脉动与空泡体积振荡的关系 40 本节将对压力脉动与空泡体积振荡之间的关 系进行分析。从上述分析可以发现,综合考虑空穴 形态发展和空泡体积变化规律,SAS-SST湍流模型 预测结果与实验较为接近。因此,SAS-SST模型获 得的数值结果将作为本节分析的数据来源。为探究 在云空化流场中空泡体积和监测点压力变化趋势 之间的对应关系,在翼型表面吸力侧每隔0.1C布置 压力监测点。需要注意的是,由于云空化发生阶段 (b)监测点P4 空化区域长度近乎覆盖整个翼型表面,所以分别选 取距翼型头部0.2C、04C、0.6C和08C位置处的 监测点P6 P2、P4、P6和P8进行压力脉动分析,如图9所示。 从图中可以看出空化区域内部压力脉动和空泡体 积变化表现出对应的周期性变化,空泡体积最大的 时刻对应监测点压力脉动最小值,说明翼型表面的 受出证灵组 空化区域为整个空化流场中的压力最低值,持续低 压的环境有利于空泡的生长,当空泡体积增长到峰 值,在内外压力梯度差作用下,空泡开始断裂脱落 并发生溃灭。当空泡体积回缩至整个周期内最小值 (c)监测点P6 时,监测点压力达到峰值。 进一步探究云空化发展过程中压力脉动与空 监测点P8 泡体积振荡之间的关系,在以上监测点P2、P4、P6 日 和P8处进行压力脉动分析,图10为不同监测点处压 力脉动经快速傅里叶变换处理后的频域图。图中给 出了监测点P2、P4、P6和P8处的压力变化频率和空 泡体积变化频率的对比图。可以看出,在空化流场 内主要存在三种脉动频率f、f和后。通过分析以上 三种频率的内在关系发现,f=2,f=3,且在翼 型前缘监测点P2和P4处/和/的振幅较f均有明显 下降,但随着监测点位置向翼型后缘移动,∫的振 幅出现大幅上升。分析认为,为空化流场中监测 图9监测点压力和空泡体积变化对比图 点压力脉动主频率,f和/均为谐波频率。在靠近翼 ig. 9 Comparison of monitoring point pressure and bubble volume change 型尾缘处,由于空泡内旋涡流动结构的存在,对频 率为/的谐波起到了放大作用,导致/的振幅在监测 点P8处出现大幅上升的现象。主频/为28Hz,与空4结论 泡体积变化频率一致,说明在云空化发生阶段,空 化的发生及其不稳定性是压力脉动产生的主要原 本文以NACA0015翼型为研究对象,对比了不

伏雨，等：基于 Level set 方法的不同湍流模型在水翼空化流计算中的应用研究 437 致监测到的空泡体积变化频域图中还有其他振幅 较小的脉动频率。 PANS湍流模型和SAS-SST模型预测的主频均 在30 Hz左右，空泡体积变化周期约为34 ms，而实 验得到的空穴形态变化周期约为64 ms，相对于实验 结果预测了较小的空泡发展周期。在SAS-SST湍流 模型中由于考虑了因速度梯度而产生的剪切应力 的影响，所以SAS-SST模型在数值模拟过程中加速 了空泡分离脱离的过程，导致预测周期过小，但相 对而言较准确地预测了空泡形态变化规律，周期性 明显。 3.4 压力脉动与空泡体积振荡的关系 本节将对压力脉动与空泡体积振荡之间的关 系进行分析。从上述分析可以发现，综合考虑空穴 形态发展和空泡体积变化规律，SAS-SST湍流模型 预测结果与实验较为接近。因此， SAS-SST模型获 得的数值结果将作为本节分析的数据来源。为探究 在云空化流场中空泡体积和监测点压力变化趋势 之间的对应关系，在翼型表面吸力侧每隔0.1 C布置 压力监测点。需要注意的是，由于云空化发生阶段 空化区域长度近乎覆盖整个翼型表面，所以分别选 取距翼型头部0.2 C、0.4 C、0.6 C和0.8 C位置处的 P2、P4、P6和P8进行压力脉动分析，如图9所示。 从图中可以看出空化区域内部压力脉动和空泡体 积变化表现出对应的周期性变化，空泡体积最大的 时刻对应监测点压力脉动最小值，说明翼型表面的 空化区域为整个空化流场中的压力最低值，持续低 压的环境有利于空泡的生长，当空泡体积增长到峰 值，在内外压力梯度差作用下，空泡开始断裂脱落 并发生溃灭。当空泡体积回缩至整个周期内最小值 时，监测点压力达到峰值。 进一步探究云空化发展过程中压力脉动与空 泡体积振荡之间的关系，在以上监测点P2、P4、P6 和P8处进行压力脉动分析，图10为不同监测点处压 力脉动经快速傅里叶变换处理后的频域图。图中给 出了监测点P2、P4、P6和P8处的压力变化频率和空 泡体积变化频率的对比图。可以看出，在空化流场 内主要存在三种脉动频率f1、f2和f3。通过分析以上 三种频率的内在关系发现，f2=2f1，f3=3f1，且在翼 型前缘监测点P2和P4处f2和f3的振幅较f1均有明显 下降，但随着监测点位置向翼型后缘移动，f3的振 幅出现大幅上升。分析认为，f1为空化流场中监测 点压力脉动主频率，f2和f3均为谐波频率。在靠近翼 型尾缘处，由于空泡内旋涡流动结构的存在，对频 率为f3的谐波起到了放大作用，导致f3的振幅在监测 点P8处出现大幅上升的现象。主频f1为28 Hz，与空 泡体积变化频率一致，说明在云空化发生阶段，空 化的发生及其不稳定性是压力脉动f1产生的主要原 因。 图 9 监测点压力和空泡体积变化对比图 Fig.9 Comparison of monitoring point pressure and bubble volume change 4 结论 本文以NACA0015翼型为研究对象，对比了不

水动力学研究与进展 A辑2019年第4期 空泡体积 监测点P2 频率/Hz 空泡体积 监测点P4 频率/H1 监测点P6 频率/Hz 空泡体积 监测点P8 图10不同监测点处压力变化频域图 Fig 10 Frequency domain diagram of pressure change at different monitoring points 同湍流模型在云空化流场预测上的适用性,并针对 周期性变化规律以及压力脉动与空泡体积振荡的参考文献 关系。主要结论如下 )标准k≈ε湍流模型无法准确预测空泡在受到 扰动后的断裂和脱落过程,在标准k-ε湍流模型基础 上加入滤波尺度后的FBM模型修正了湍流黏性,可 ORSZAG S A. Renormalization group 以捕捉到更为丰富的空穴形态,准确预测了空泡在 theory]. Jou 翼型尾部的脱落过程。 Scientific Computing, 1986, 1(1): 3-51 (2)在PANS模型中,参数取值越小,越能捕21 SHIH T H, LIOU WW, SHABBIR A, et al. a new k-t 捉到丰富的空泡形态,空泡演变规律越接近于实验 eddy viscosity model for high reynolds number 结果。当取值0.时,得到了令人满意的空穴形态。 urbulent flows[J]. Computers Fluids, 1995, 24(3) (3)SAS-SST湍流模型在处理大分离流动上存 227-238 在明显优势,但其对于空泡发展周期的预测过小, 3 WANG G, OSTOJA-STARZEWSKI M. Large eddy 导致尾部空泡较实验结果提前脱落 simulation of a sheet/cloud cavitation on a nacaoo15 (4)在云空化区域,空泡体积变化和监测点压 hydrofoil!]. Applied Mathematical Modelling, 2007, 力脉动具有相同频率。空泡体积的最大值产生时刻 1(3):417-447 对应空化区域内监测点压力最小值,空泡体积最小4]黄彪,王国玉,权晓波等PANS模型在空化湍流数 值对应监测点压力最大值发生时刻。空化的发生是 值计算中的应用[应用力学学报,2011,28(4) 空化区域内压力脉动产生的主要原因

438 水 动 力 学 研 究 与 进 展 A 辑 2019 年第 4 期 同湍流模型在云空化流场预测上的适用性，并针对 云空化流场的非定常特性做了分析，探究空泡体积 周期性变化规律以及压力脉动与空泡体积振荡的 关系。主要结论如下： (1)标准k-ε湍流模型无法准确预测空泡在受到 扰动后的断裂和脱落过程，在标准k-ε湍流模型基础 上加入滤波尺度后的FBM模型修正了湍流黏性，可 以捕捉到更为丰富的空穴形态，准确预测了空泡在 翼型尾部的脱落过程。 (2) 在PANS模型中，参数fk取值越小，越能捕 捉到丰富的空泡形态，空泡演变规律越接近于实验 结果。当ƒk取值0.2时，得到了令人满意的空穴形态。 (3) SAS-SST湍流模型在处理大分离流动上存 在明显优势，但其对于空泡发展周期的预测过小， 导致尾部空泡较实验结果提前脱落。 (4) 在云空化区域，空泡体积变化和监测点压 力脉动具有相同频率。空泡体积的最大值产生时刻 对应空化区域内监测点压力最小值，空泡体积最小 值对应监测点压力最大值发生时刻。空化的发生是 空化区域内压力脉动产生的主要原因。 参 考 文 献: [1] YAKHOT V, ORSZAG S A. Renormalization group analysis of turbulence. I. Basic theory[J]. Journal of Scientific Computing, 1986, 1(1):3-51. [2] SHIH T H, LIOU W W, SHABBIR A, et al. A new k-ϵ eddy viscosity model for high reynolds number turbulent flows[J]. Computers Fluids, 1995, 24(3): 227-238. [3] WANG G, OSTOJA-STARZEWSKI M. Large eddy simulation of a sheet/cloud cavitation on a NACA0015 hydrofoil[J]. Applied Mathematical Modelling, 2007, 31(3): 417-447. [4] 黄彪, 王国玉, 权晓波,等. PANS 模型在空化湍流数 值计算中的应用[J]. 应用力学学报, 2011, 28(4): 339-343. 图 10 不同监测点处压力变化频域图 Fig.10 Frequency domain diagram of pressure change at different monitoring points

基于 Level set方法的不同湍流模型在水翼空化流计算中的应用研究 439 HUANG Biao, WANG Guo-yu, QUAN XIao-bo, et al. [13 JOHANSEN S T, WU J, WEI S. Filter-based unsteady RANS computations]. International Journal of Heat method in computations of turbulent cavitating flows] luid flow,2004,25(1).10-21 Chinese Journal of Applied Mechanics, 2011, 28(4): [14 GIRIMAJIS S Partially-Averaged Navier-Stokes model 339-343. for turbulence: A Reynolds-Averaged Navier-Stokes to 5 JI B, LUo X, wU Y, et al. Numerical investigation of direct numerical simulation bridging method[J] Journal three-dimensional cavitation evolution and excited of Applied Mechanics, 2006, 73(3): 413 ressure fluctuations around a twisted hydrofoil[15]季斌,罗先武,彭晓星,等.绕扭曲翼型三维非定常空 Journal of Mechanical Science Technology, 2014 泡脱落结构的数值分析水动力学研究与进展 8(7):2659-2668 2010,25(2):217-223. [6]王福军.计算流体动力学分析[M]北京:清华大学 JI Bin, LUO Xian-wu, PENG Xiao-xing, et al 出版社,2004 Numerical analysis for three dimensional unsteady WANG Fu-jun. Computational Fluid Dynamic cavitation shedding structure over a twisted hydrofoil] Analysis[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2004 Chinese Journal of Hydrodynamics, 2010, 25(2) [7 JI B, LONG Y, LONG X P, et al. Large eddy simulation 217-223 of turbulent attached cavitating flow with special [16 SUSSMAN M, SMEREKA P, OSHER S. A Level Set emphasis on large scale structures of the hydrofoil wake approach for computing solutions to incompressible and turbulence-cavitation interactions[]. Journal of two-phase flow]. Journal of Computational Physics. Hydrodynamics, 2017, 29(1): 27-39. 1994,114(1):146-159 [8 LI L, LI B, HU Z, et al. Large eddy simulation of [17 HUANG B, WANGG Y, ZHANG M D, et al. Level set method for simulation of cavitating flows J]. Journal of e-average validation]. Ocean Engineering, 2016, Ship mechanics, 2011. 15(3): 208-216 125:1-11 [18]王琳琳,田辉,李国君.基于 Level Set方法对油水和 [9 WILCOX D C. Turbulence modeling for CFDIM] Cali 气水两相界面的数值模拟应用力学学报,2010 fornia: DCW Industries. 2006 27(2):298-302 [10 LAUNDER B E, SPALDING D B WANG Lin-lin, TIAN Hui, LI Guo-jun. Numerical matical models of turbulence[M). N simulation of oil-water and air-water two-phase flow in mathematical models of turbulence academic press based on level set methods[J]. Chinese Journal of 1972 Applied Mechanics, 2010, 27(2 ): 298-30 [1 MENTER F, EGOROV Y. A scale adaptive simulation [19 MENTER FR. Two-equation eddy-viscosity turbulence sing two-equation models[C]. Aiaa Aerospa models for engineering applications]. Aiaa Journal ciences Meeting and Exhibit. Reno, nV, United states. 1994,32(8):1598-1605 [12] EGOROV Y, MENTER F Development and application of Sst-sas turbulence model in the deSider project[M]. Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 2008

伏雨，等：基于 Level set 方法的不同湍流模型在水翼空化流计算中的应用研究 439 HUANG Biao, WANG Guo-yu, QUAN Xiao-bo, et al. Application of the partially-averaged Navier-Stokes method in computations of turbulent cavitating flows[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2011, 28(4): 339-343. [5] JI B, LUO X, WU Y, et al. Numerical investigation of three-dimensional cavitation evolution and excited pressure fluctuations around a twisted hydrofoil[J]. Journal of Mechanical Science & Technology, 2014, 28(7): 2659-2668. [6] 王福军. 计算流体动力学分析[M]. 北京: 清华大学 出版社, 2004. WANG Fu-jun. Computational Fluid Dynamics Analysis[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2004. [7] JI B, LONG Y, LONG X P, et al. Large eddy simulation of turbulent attached cavitating flow with special emphasis on large scale structures of the hydrofoil wake and turbulence-cavitation interactions[J]. Journal of Hydrodynamics, 2017, 29(1): 27-39. [8] LI L, LI B, HU Z, et al. Large eddy simulation of unsteady shedding behavior in cavitating flows with time-average validation[J]. Ocean Engineering, 2016, 125: 1-11. [9] WILCOX D C. Turbulence modeling for CFD[M]. Cali￾fornia: DCW Industries, 2006. [10] LAUNDER B E, SPALDING D B. Lectures in mathe￾matical models of turbulence[M]. New York: Lectures in mathematical models of turbulence Academic Press, 1972. [11] MENTER F, EGOROV Y. A scale adaptive simulation model using two-equation models[C]. Aiaa Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. Reno, NV, United states. 2005. [12] EGOROV Y, MENTER F. Development and application of SST-SAS turbulence model in the DESIDER project[M]. Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 2008. [13] JOHANSEN S T, WU J, WEI S. Filter-based unsteady RANS computations[J]. International Journal of Heat & Fluid Flow, 2004, 25(1): 10-21. [14] GIRIMAJI S S. Partially-Averaged Navier-Stokes model for turbulence: A Reynolds-Averaged Navier-Stokes to direct numerical simulation bridging method[J]. Journal of Applied Mechanics, 2006, 73(3): 413. [15] 季斌, 罗先武, 彭晓星,等. 绕扭曲翼型三维非定常空 泡脱落结构的数值分析[J]. 水动力学研究与进展, 2010, 25(2): 217-223. JI Bin, LUO Xian-wu, PENG Xiao-xing,et al. Numerical analysis for three dimensional unsteady cavitation shedding structure over a twisted hydrofoil[J]. Chinese Journal of Hydrodynamics, 2010, 25(2): 217-223. [16] SUSSMAN M, SMEREKA P, OSHER S. A Level Set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow[J]. Journal of Computational Physics. 1994, 114(1): 146-159. [17] HUANG B, WANG G Y, ZHANG M D, et al. Level set method for simulation of cavitating flows[J]. Journal of Ship Mechanics, 2011. 15(3):208-216. [18] 王琳琳, 田辉, 李国君. 基于 Level Set 方法对油水和 气水两相界面的数值模拟[J]. 应用力学学报, 2010, 27(2): 298-302. WANG Lin-lin, TIAN Hui, LI Guo-jun. Numerical simulation of oil-water and air-water two-phase flow based on level set methods[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics,2010,27(2):298-302. [19] MENTER F R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications[J]. Aiaa Journal, 1994, 32(8): 1598-1605