新疆大学：《电磁场理论》课程各章习题（电磁场与电磁波，第四版，含参考答案）.pdf_大学文库

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 2 ‐ 新疆大学信息科学与工程学院 A BC   ( ) 12 3 8 5 20 xyz   eee 55 44 11 eee xyz   1.2 三角形的三个顶点为 1P(0,1, 2)  、 2 P (4,1, 3)  和 3P (6, 2,5)。（1）判断PPP 123是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解（1）三个顶点 1P(0,1, 2)  、 2 P (4,1, 3)  和 3P (6, 2,5)的位置矢量分别为 1 2  y z ree ， 2 4 3   x yz re ee ， 3 625 re e e  xyz   则 12 2 1 4 R    x z rre e ， 23 3 2 2 8 R     x yz rr e e e ， 31 1 3 6 7 R      x yz rr e e e 由此可见 12 23 ( 4 ) ( 2 8) 0 RR e e e e e     x z x yz 故PPP 123为一直角三角形。（2）三角形的面积 12 23 12 23 11 1 17 69 17.13 22 2 S       RR R R 1.3 求 P( 3,1, 4)  点到 P(2, 2,3)  点的距离矢量 R 及 R 的方向。解 3 4 r e ee P x yz     ， 223 re e e Px y z    ，则 5 3 RPP P P x y z       rr e e e 且 RPP 与 x、 y 、 z 轴的夹角分别为 1 1 5 cos ( ) cos ( ) 32.31 35 x PP x P P        e R R  1 1 3 cos ( ) cos ( ) 120.47 35 y PP y P P         e R R  1 1 1 cos ( ) cos ( ) 99.73 35 z PP z P P        e R R  1.4 给定两矢量 234 A  x yz eee 和 456 Be e e  xyz   ，求它们之间的夹角和 A 在 B 上的分量。解 A 与 B 之间的夹角为 1 1 31 cos ( ) cos ( ) 131 29 77        AB A B A B  A 在 B 上的分量为 31 3.532 77 AB     B A B 1.5 给定两矢量 234 A  x yz eee 和 6 4 Be e e    xyz ，求 A B 在 Ce e e  xyz 上的分量。解 A  B 23 4 6 41 xyz     eee 13 22 10 ee e xy z   所以 A B 在C 上的分量为 ( ) A B C  ( ) 25 14.43 3    A BC C 1.6 证明：如果 AB  A C 和 A B  A C ，则 B C ；

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 3 ‐ 新疆大学信息科学与工程学院解由 A  B A C ，则有 A() () AB A AC    ，即 ( )( ) ( )( ) A B A AAB AC A AAC  由于 AB  A C ，于是得到 ()() A AB AAC  故 B C 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 A 为一已知矢量， p  AX 而 P AX   ， p 和 P 已知，试求 X 。解由 P AX   ，有 A      P A A X AX A AAX A AAX ( )( ) ( ) ( ) p 故得 p    AAP X A A 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由 2 (4, ,3) 3  定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。解（1）在直角坐标系中 x  4cos(2 3) 2    、y   4sin(2 3) 2 3  、z  3 故该点的直角坐标为( 2, 2 3,3)  。（ 2 ）在球坐标系中 2 2 r  43 5   、 1  tan (4 3) 53.1     、     2 3 120 故该点的球坐标为(5,53.1 ,120 )   1.9 用球坐标表示的场 2 25 r r E e  ，（1）求在直角坐标中点( 3, 4, 5)   处的 E 和 Ex ；（2）求在直角坐标中点( 3, 4, 5)   处 E 与矢量 2 2 Be e e  xyz   构成的夹角。解（1）在直角坐标中点( 3, 4, 5)   处， 2 22 2 r  ( 3) 4 ( 5) 50     ，故 2 25 1 2 r r E e   1 3 32 cos 2 20 5 2 Ex x rx        eE E （2）在直角坐标中点( 3, 4, 5)   处， 345    xyz ree e ，所以 2 3 25 25 345 10 2 x y z r r      r eee E 故 E 与 B 构成的夹角为 1 1 19 (10 2) cos ( ) cos ( ) 153.6 3 2    EB    E B E B  1.10 球坐标中两个点 111 (, , ) r   和 222 (, , ) r   定出两个位置矢量 R1和 R2 。证明 R1和 R2 间夹角的余弦为 1 2 1 2 12 cos cos cos sin sin cos( )         解由 1 11 1 111 1 1 sin cos sin sin cos x yz Re e e  r rr       2 22 2 222 2 2 sin cos sin sin cos x yz Re e e   r rr     得到 1 2 1 2 cos   R R R R

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 4 ‐ 新疆大学信息科学与工程学院 1 1 2 2 11 2 2 1 2 sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos           1 2 1 21 1 2 1 2 sin sin (cos cos sin sin ) cos cos           1 2 12 1 2 sin sin cos( ) cos cos        1.11 一球面 S 的半径为5，球心在原点上，计算： ( 3sin ) d r S   e S 的值。解 ( 3sin ) d ( 3sin ) d r rr S S     S   e Se e 2 2 2 0 0 d 3sin 5 sin d 75           1.12 在由r  5 、z  0和 z  4 围成的圆柱形区域，对矢量 2 2 r z Ae e   r z 验证散度定理。解在圆柱坐标系中 1 2 ( ) (2 ) 3 2 rr z r rr z         A 所以 42 5 000 d d d (3 2) d 1200 z r rr           A 又 2 d ( 2 )( d d d ) r z rr zz S S r zS S S   AS e e e e e       42 52 2 00 00 5 5d d 2 4 d d 1200 z rr           故有 d 1200       A d S  A S 1.13 求（1）矢量 2 2 2 2 23 24 xy z Ae e e   x xy xyz 的散度；（2）求A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。解（1） 2 2 2 2 23 2 2 22 ( ) ( ) (24 ) 2 2 72 x xy xyz x x y x y z xy z           A （2）A对中心在原点的一个单位立方体的积分为 12 12 12 2 2 22 12 12 12 1 d (2 2 72 )d d d 24 x xy xyz x y z          A （3） A 对此立方体表面的积分 12 12 12 12 2 2 12 12 12 12 1 1 d ( )d d ( )d d 2 2 S y z y z         A S 12 12 12 12 22 2 2 12 12 12 12 1 1 2 ( )d d 2 ( )d d 2 2 x xz x xz        12 12 12 12 22 3 22 3 12 12 12 12 1 11 24 ( ) d d 24 ( ) d d 2 2 24 xy x y xy x y       故有 1 d 24      A d S  A S 1.14 计算矢量r 对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求r 对球体积的积分。解 2 2 3 0 0 d d d sin d 4 r S S S aa a           r S re

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 5 ‐ 新疆大学信息科学与工程学院又在球坐标系中， 2 2 1 ( )3 r r r r     r ，所以 2 2 3 0 00 d 3 sin d d d 4 a rr a            r 1.15 求矢量 2 2 xy z Ae e e   x x yz 沿 xy 平面上的一个边长为2 的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与 x轴和 y 轴相重合。再求 A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解 222 2 2 000 0 d d d 2 d 0d 8 C   xx xx y y    A l 又 2 2 2 2 xy z x z yz x xy z x x yz         ee e A ee 所以 2 2 0 0 d ( 2 2) d d 8 x zz S     yz x x y   AS e e e 故有 d 8 C  A l d S    A S 1.16 求矢量 2 x y Ae e  x xy 沿圆周 222 x  y a  的线积分，再计算 A对此圆面积的积分。解 2 ddd C C   x x xy y   A l 2 4 2 42 2 0 ( cos sin cos sin ) d 4 a a a          d ( )d y x z z S S A A S x y           AS e e 2 4 2 22 0 0 d sin d d 4 a S a yS r r r         1.17 证明：（1）   R 3 ；（2）   R 0 ；（3） ( ) AR A  。其中 xyz R  eee x y z ， A 为一常矢量。解（1） 3 xyz xyz       R （2） xyz xyz xyy      eee R 0 （3）设 A  eee xx yy zz A A A ，则 Axyz A R  x A  y A z ，故 () ( ) ( ) x xyz y xyz A x Ay Az Ax Ay Az x y           AR e e ( ) z xyz A x Ay Az z      e eee A xx yy zz AAA    1.18 一径向矢量场 ( ) r F e  f r 表示，如果F  0 ，那么函数 f ( )r 会有什么特点呢？解在圆柱坐标系中，由 1 d [ ( )] 0 d rf r r r F   可得到

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 7 ‐ 新疆大学信息科学与工程学院 ( )d d d d zz zz r rr r rr z z A r r r A rr                   [( ) ( , , ) ( , , )] r r r r A r r z rA r z z          () () 1 r r rA rA r z r rr           同理 dd dd r rz z r rz z rz rz A rz A rz               [ ( , , ) ( , , )] A r z Ar z rz           A A r z r               dd dd rr rr z zz z zz r r A rr A rr                  [ ( , , ) ( , , )] Ar z z Ar zrr z z z         A A z z rr z z z          因此，矢量场 A 穿出该六面体的表面的通量为 1 ( ) [ ] r z r z rA A A ΨΨ Ψ Ψ rr r z              故得到圆柱坐标下的散度表达式 0 1 ( ) lim r z rA A A rr r z                   A 1.22 方程 2 22 222 x y z u abc    给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解由于 222 222 xyz x y z u abc    eee 222 222 2( ) ( ) ( ) x y z u abc    故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 222 2 22 2 2 2 ( ) () () () xyz u x y z x y z u abc a b c        n eee 1.23 现有三个矢量 A 、 B 、C 为 sin cos cos cos sin Ae e e   r       2 2 sin cos 2 sin r z z z rz Be e e       2 2 (3 2 ) 2 x yz Ce e e    yx x z （1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？（2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中 2 2 11 1 ( ) (sin ) sin sin r A rA A rr r r                A

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 9 ‐ 新疆大学信息科学与工程学院     ( ) fA AA f f 解在直角坐标中 ( )( ) x y z xyz A A A fff f ff A A A x y z x y z                  A A ( )( )( ) x y z x yz A fff A A fA fA fA x x y y z z           ( ) ( ) ( ) () xyz fA fA fA f xyz      A 1.25 证明       ( ) A H H AA H 解根据 算子的微分运算性质，有 ()()()  A     H AH AH A H 式中A表示只对矢量 A 作微分运算，H 表示只对矢量 H 作微分运算。由abc cab ()()   ，可得 ( )( )()        A A A H H AH A 同理 () ( ) ()          H H A HA HAH 故有       ( ) A H H AA H 1.26 利用直角坐标，证明      ( ) ff f G GG 解在直角坐标中 [ ( ) ( ) ( )] z z y y x x xyz G G G G G G f f y z zx x y                 Ge e e   f G [ ( ) ( ) ( )] xz y yx z zy x f f ff ff GG GG GG yz zx xy          eee 所以 f f     G G [( ) ( )] z y xz y f f G G Gf Gf yy zz          e [( ) ( )] x z yx z f f G G Gf Gf zz xx           e [( ) ( )] y x zy x f f G G Gf Gf xx yy          e ( ) ( ) [ ] z y x fG fG y z       e ( ) ( ) [ ] x z y fG fG z x       e ( ) ( ) [ ] y x z fG fG x y       e ( ) fG 1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明    ( )0 u 及   ( )0 A ，试证明之。解（1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，由斯托克斯定理有 ( )d d d d 0 S C CC u u u lu l            S l 由于曲面S 是任意的，故有    ( )0 u n1 C1 C2 2 S 1 S n2 题 1.27 图