Green定理與應用 林琦焜 “數學沒有物理是瞎子, 物理沒有數學是跛子。” 1. 前言: 學習數學的經驗告訴自己“數學是很容 易忘的” 這其中的原因乃是因為我們所學的 數學是定義, 定理, 證明, 這種三段式的數學。 沒有動機, 缺乏直觀, 如此的數學如果你不 會打退堂鼓我還真的佩服, 在這篇文章我們 將以直觀的角度從幾何與物理的觀點來討論 Green 定理。 微積分基本定理可說是微積分最重要的 結果之一, 而線積分是一維積分的推廣, 因此 我們問對線積分是否有相類似的結果: “線積分與雙重積分 (double integral) 之關係為何?” 其答案是肯定的—Green 定理: 沿 著 封 閉 曲 線C之 線 積 分 可 化 為C所圍區域 R 之一般雙重積 分 (面積分)。 這個定理最早出現是由英國自我教育的數學 物理學家 George Green (1793- 1841) 於 1828 年研究電學 (electricity) 與磁學 (magnetism) 所發現的, 當然後來高斯 (Gauss) 等人也發現這結果, Green 的結果 讓我們覺得非常之興奮, 也更體會伽利略所 言: 數學是瞭解大自然的語言。 學數學若知道一些物理讓妳 (你) 永遠 不會感到孤單。 Green 定理是數學分析中最重要的定 理之一, 而在三維與更高維空間的推廣— Stokes 定理與散度定理 (Divergence Theorem) 則構成了應用數學的基礎。 2. 微積分基本定理: 微分與積分的關係這是微積分的主要房 角石, 實際上這正是牛頓與萊布尼茲對微積 分最重要的貢獻, 透過這個重要結果—微積 分基本定理 (fundamental theorem of calculus), 我們明白微分與積分實際上是互為 一體兩面, 彼此是互相可逆的 (inverse)。 微積分基本定理: f : [a, b] → R 為一 連續函數且 F ′ = f 則 Z b a F ′ (x)dx = Z b a f(x)dx = F(b) − F(a) (1) 25
26 數學傳播 21卷4期 民86年12月 這定理告訴我們要計算積分值 R b a f(x)dx 僅需求得函數 f 之原函數 (primitive, 或 antiderivative) F 即可。 另外也說 明了底下之事實: “一個函數之微分的積分值等於該 函數之邊界值的差。” 換句話說方程式 (1) 把區間的積分與作用 於其“零維” (zero dimension) 邊界之上的 “積分” (零維的積分是該點之值) 連繫起來, 這零維的邊界是兩個端點 a 與 b。 f(x)=F ′ (x) a b 微積分基本定理之物理意義: 公式 (1) 我們可以比擬如下: 如圖所示, 假設有一根直的管子其截面積等於 A 是固定 不變, 有水在管內流動與流速為F(x), 另外 由於管壁非完全封閉因此管壁四周同時也有 水滲入 (或滲出), 我們想問的是此滲入率為 多少?(假設水的密度始終等於1) 我們取其中 一段 [x, x+∆x] 來看, 在單位時間內滲入到 這段管子的水量必須等於沿管子方向流出的 水量與流進的水量之差 (F(x+∆x)−F(x)) × A (高 × 底面積) (2) 因此單位管長內水的滲入率為 f(x) = lim∆x→0 (F(x+∆x)−F(x))A ∆x · A 水量 體積 = lim ∆x→0 F(x + ∆x) − F(x) ∆x = F ′ (x) (3) 若是整個區間[a, b]則全部滲入管內之水量為 Z b a f(x)dx = Z b a F ′ (x)dx 故 Z b a f(x)dx = Z b a F ′ (x)dx = F(b) − F(a) 由以上之分析可知微積分基本定理之物 理本質就是守恆律 (conservation law)。 3. 線積分之物理意義: 一質點受一變化的力作用而沿一已知曲 線移動, 而求其所作的功 (work), 就自然導 致所謂的線積分。 平面上任意向量 F = (u, v), 而 其沿著曲線切向量 (cos τ,sin τ ), 法向量 (cos ν,sin ν) 之分量分別為 Fτ = F · (cos τ,sin τ )=u cos τ +v sin τ Fν = F · (cos ν,sin ν)=u cos ν+v sin ν (4) 因為 τ, ν 為互餘 cos τ = − sin ν, sin τ = sin ν (5)
Green 定理與應用 27 而單位切向量、 單位法向量為 (cos τ,sin τ ) = dx ds , dy ds , (cos ν,sin ν) = dy ds , − dx ds (6) 如果將 F 視為力則線積分 I C Fτds = I C udx + vdy (7) (力× 位移=功) 所代表的意義就是功 (work)。 其次是若將 F 視為電流密度 (current density) 或流體速 度則線積分 I C Fνds = I C udy − vdx (8) (電流 × 位移=電通量) 所代表的意義就是電通量 (flux) 或流體流通 過曲線C之通量, 我們在後面還會針對這兩個 量作更深入之探討。 4. Green定理 Green 定理基本上是線積分與面積分之 關係, 實際上就是微積分基本定理之推廣。 Green 定理: 令C為平面上一分段平滑的 封閉曲線而其所圍區域為 R, 假設函數 P(x, y), Q(x, y) 為連續且一次偏導數也連 續則等式成立 I C P dx+Qdy = Z Z R ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dA = Z Z R ∂ ∂x ∂ ∂y P Q dA (9) 數學的角度: 由於曲線 C 的變化可大可小一般而 言並沒有明顯的參數式, 因此無法直接求線 積分, 然而我們可利用逼近 (approximation) 的概念來處理, 這正是數學尤其是分析 (analysis) 的主要技巧。 長方形 =⇒ 多邊形 =⇒ R I. R為一長方形 R之邊界 C = C1 + C2 + C3 + C4 C1 : a0 ≤ x ≤ a1, y = b0 C2 : x = a1, b0 ≤ y ≤ b1 C3 : a0 ≤ x ≤ a1, y = b1 C4 : x = a0, b0 ≤ y ≤ b1 因此利用微積分基本定理可得 I C F · d~r= I C P(x, y)dx+Q(x, y)dy
28 數學傳播 21卷4期 民86年12月 = Z a1 a0 P(x, b0)dx+ Z b1 b0 Q(a, y)dy + Z a0 a1 P(x, b1)dx+ Z b0 b1 Q(a0, y)dy = Z b1 b0 [Q(a, y) − Q(a0, y)]dy + Z a1 a0 [P(x, b0) − P(x, b1)]dx = Z b1 b0 Z a1 a0 ∂Q ∂x dx dy − Z a1 a0 Z b1 b0 ∂P ∂y dx dy = Z a1 a0 Z b1 b0 ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dx dy II.假設 R 可表為 R={(x, y)|a≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x)}, C =∂R 我們分別處理 P(x, y), Q(x, y) I C P(x, y)dx = I C1 P(x, y)dx+ I C2 P(x, y)dx + I C3 P(x, y)dx+ I C4 P(x, y)dx = Z b a P(x, g1(x))dx+ Z b a P(x, g2(x))dx = − Z b a Z g2(x) g1(x) ∂P ∂y (x, y)dy dx 同理可得 I C Q(x, y)dy = Z b a Z g2(x) g1(x) ∂Q ∂x dy dx 兩者合併 I C P dx + Qdy = ZZ R ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dA = ZZ R ∂ ∂x ∂ ∂y P Q dA 這就是 Green 定理, 提供了我們關於 線積分與面積分之關係, 但這個逼近方法有 個限制就是曲線C必須是有長度曲線 (recti- fiable curve), 而且還要用到一致收斂 (uniformly convergent) 的概念對於更一般的區 域 Green 定理仍然是對的, 但已經超過微積 分的範圍, 讀者有興趣可參考微分幾何方面 的書。 例題 1: 利用 Green 定理計算線積分 I C (2xy − x 2 )dx + (x + y 2 )dy 其中曲線 C 是由拋物線 y = x 2 與直線 y = x 所圍區域之邊界。 解: 要直接計算線積分勢必要將 C 化 為參數式, 然而利用 Green 定理取 P(x, y) = 2xy − x 2 , Q(x, y) = x + y 2 則 ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 1 − 2x 因此 原線積分 = ZZ R (1 − 2x)dA = Z 1 0 Z x x2 (1 − 2x)dy dx = 1 30
Green 定理與應用 29 Green 定理說明一封閉曲線C之線積 分與C所圍區域之面積分 (雙重積分) 之關 係, 因此在特殊情形之下, 線積分之幾何意義 為“面積” : 例如取 ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 1 則由 Green 定理知 I C P dx + Qdy = ZZ R 1 dA = |R| 通常可取P, Q 如下: P = 0, Q = x P = −y, Q = 0 P = − 1 2 y, Q = 1 2 x 系: 區域R 由分段平滑的封閉曲線 C 所 圍成, 其面積為: |R| = 1 2 I C −y dx + x dy = − I C y dx = I C x dy (10) 例題2: 試求橢圓 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 之面積。 解: 將橢圓表為參數式 x = a cos θ, y = b sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π。 利用系之結果得 A = I C x dy = Z 2π 0 (a cos θ)(b cos θ dθ) = 1 2 ab Z 2π 0 (1 + cos 2θ) dθ = πab 為著更深入探討 Green 定理, 我們再計 算一個例題並從其中得到靈感。 例題3: 已知 C 為任意封閉平滑曲線, 試求線積分 I C −ydx + xdy x 2 + y 2 (0, 0) 6∈ C。 解: 首先假設 (0, 0) 並不包含在 C 之 內部, 則 P(x, y) = −y x 2 + y 2 Q = x x 2 + y 2 =⇒ ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 0 因此由 Green 定理知 I C −ydx+xdy x 2 + y 2 = ZZ R 0 dA=0。 其次, 若 (0, 0) 在 C 之內部, 此時 (0, 0) 為 一奇異點 (singularity), 克服這點的方法就 是 “避開它”, 作一個半徑為ρ, 以 (0, 0) 為圓 心的圓 Bρ 考慮區域 R′ = R − Bρ, ∂R′ = C + ∂Bρ 由於R′並不包含 (0, 0), 因此利用前面的推 論; I ∂R′ −ydx + xdy x 2 + y 2 = 0
30 數學傳播 21卷4期 民86年12月 但 ∂R′ = C + ∂Bρ, 故 I C −ydx+xdy x 2+y 2 = I ∂Bρ −ydx+xdy x 2+y 2 = Z 2π 0 (−ρ sin θ)(−ρ sin θdθ+(ρ cos θ)(ρ cos θdθ) (ρ cos θ) 2+(ρ sin θ) 2 = Z 2π 0 1 dθ = 2π 註1: 此處積分值為2π表示曲線C 繞了奇異 點 (0, 0) 一圈, 而積分值等於0則是沒 有繞到 (0, 0), 這所對應的便是複變函 數理論的繞數 (winding number), 在 流體力學則是環流 (circulation)。 註2: 證明的過程中我們發現沿著曲線 C 之 線積分等於沿著圓周 ∂Bρ 之線積分, 這 裡面的數學本質就是同倫理論 (homotopy theory), 因此 Green 定理可推廣 到單連通區域 (simply connected region), 而這正是複變函數論研究的一重 要主題, 同時也說明複雜的曲線之線積 分可化為簡單的曲線之線積分 (例如圓 周的線積分), 這就是數學的精神—–將 複雜的問題化為簡單的問題。 註3: 若 C1, C2 為任二條不相交的分段平滑 封閉曲線而且都繞過原點(0, 0), 則 I C1 −ydx + xdy x 2 + y 2 = I C2 −ydx + xdy x 2 + y 2 這除了同倫理論之外, 直接的意義就是 該線積分對於形變 (deformation) 是 一不變量。 另外我們可透過極座標 (polar coordinate) 來看; 令 θ = tan−1 y x 則被積分函數 (integrand) 成為 dθ = −ydx + xdy x 2 + y 2 因此這個線積分實際上就是在測量沿著 曲線C(逆時針方向) 角度之變化量, 當 然若是繞了一圈則其變化量為 2π, 若 是順時針方向繞了一圈則其變化量為 −2π, 這個概念就是前面所說的繞數 (winding number)。 繞數= 1 繞數= 0 繞數= −1
Green 定理與應用 31 物理的角度: Green 定理也可透過物理的角度來認 識, 令R為平面上的平滑曲線 C 所圍之單連 通區域, 設 C可表為x = x(t), y = y(t) 之 參數式, 而向量 F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) (11) 表示流體的速度, 我們想計算流體經過邊界C 之通量 (flux), 仿照線積分將曲線 C 分為 若干小段而看其中一段, 首先是 x 分量通過 △si 之通量 (斜線部分之面積) 為 Pi(x, y)△si cos αi 其中 αi 為朝外法向量 ν 與 x 軸之夾角, 再將各部份全部加起來並利 用 Riemann 和知 x 軸部分之分量為 I C P(x, y) cos(ν, x) ds (12) 同理y軸之分量為 I C Q(x, y) cos(ν, y) ds (13) 因此全部之通量為 I C [P(x, y) cos(ν, x)+Q(x, y) cos(ν, y)]ds = I C [P(x, y) dy ds −Q(x, y) dx ds ] ds = I C P(x, y) dy − Q(x, y) dx (14) = I C F · νds, ν = dy ds , − dx ds 另一方面我們看小矩形, 由於由這矩形左側 垂直邊上的流速為 P(x, y), 因此單位時間內 有 P(x, y)△y 的水流入, 而同一時間則約有 P(x + △x, y)△y 的水流出, 所以沿x 軸方 向之單位淨流量為 [P(x + ∆x, y) − P(x, y)]∆y ∆x∆y 令 ∆x → 0, 得極限 ∂P/∂x 同理沿 y 軸 之單位淨流量為 ∂Q/∂y 因此單位淨流量 為 ∂P ∂x + ∂Q ∂y 而 通過整個區域 R 之全部通量為 ZZ R ∂P ∂x + ∂Q ∂y dxdy (15) 因為水是不可壓縮 (假設的), 同一時間的水 量必須從邊界C 流出去 (質量守恆), 故 I C P dy − Qdx = ZZ R ∂P ∂x + ∂Q ∂y dxdy (16) 這再次說明 Green 定理之物理意義為 “守恆 律”。 P(x, y) → ∆y → P(x+∆x, y) x ∆x x+∆x .
32 數學傳播 21卷4期 民86年12月 5. 向量形式之 Green 定理 由 (9) 與 (16) 兩式, 我們自然而然引 進向量的概念: F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) = P~i + Q~j (向量場) τ = dx ds , dy ds (17) (單位切向量) ν = dy ds, − dx ds (單位朝外法向量) 另外向量場 F 的旋度 (curl) 為 curlF = ∇ × F = ~i ~j ~k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z P Q 0 = ∂Q ∂x − ∂P ∂y ! ~k (18) 散度 (divergence) 則為 divF = ∇ · F = ∂P ∂x + ∂Q ∂y (19) 所以 Green 定理 ((9), (16)) 可改寫為 I C F · d~r= I C F · τ ds= ZZ R ∇ × F · ~kdA (20) I C F · ν ds = ZZ R ∇ · F dA (21) 分別表示切向量與法向量形式的 Green 定 理, 而其物理則分別是“ 功” (work) 與“ 通 量” (flux), (20), (21) 兩式可推廣至更高維 數空間, 就是通稱的 Stokes 定理與散度定理 (Divergence Theorem)。 為何 curlF, ∇F 會被稱為旋度與散度 呢? 我們考慮特殊的區域 R 是以 (x0, y0) 為圓心, 半徑是 r 的圓, 則由連續性知 ∇×F(x0, y0)· ~k = limr→0 1 πr2 I C F · τ ds ∇F(x0, y0) = limr→0 1 πr2 I C F · νds (22) 所以旋度是單位面積內之最大環流 (circulation), 而散度則是單位面積內之通量 (流量 之變化), 這個形式最大的好處不受座標的影 響, 如 (18), (19) 兩式, 而且透過 (22) 式 (即利用 Green 定理) 我們可證明旋度和散 度是與座標無關。 註1: 如果 F = ∇φ = (φx, φy), 向量 (vector) F 為純量 (scalar) φ 之梯度 (gradient) 則 (21) 式可改寫為 I C ∂φ ∂ν ds = I C ∇φ · ν ds = ZZ R ∇∇φ dA = ZZ R ∆φ dA (23) 函數φ稱為 位能函數 (potential function) 而 ∆ = ∇ · ∇ = ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 (24) 則是出名的 Laplace 算子, 這是偏微分 方程中最重要的算子。 註2: 若取F = u∇v, 則由向量之計算得 ∇·F =∇·(u∇v)=u(∇·∇v)+∇v·∇u 因此 (21) 式成為 Green 第一等式 I C u ∂v ∂ν ds = ZZ R [u∆v + ∇u · ∇v] dA (25)
Green 定理與應用 33 若 u, v 互換, 後兩式相減則可得 Green 第二等式 I C u v ∂u ∂ν ∂v ∂ν ds = ZZ R u v ∆u ∆v dA (26) 這些等式在偏微分方程中扮演著非常重 要的角色。 註3: Green 定理的最好處理手法是利用微分 形式 (differencial forms), 我們簡單說 明如下: 線積分 I C P dx + Q dy 之被積函數 (integrand) 為一階微分形 式 (first order differential form) L = P(x, y)dx + Q(x, y)dy (27) L之全微分 (total differential) 為 dL = dP dx + dQdy = (Pxdx + Pydy)dx +(Qxdx + Qydy)dy = (Qx − Py)dxdy (28) 因此 Green 定理可重新寫為微分形式 (differential form) I C P dx + Q dy = ZZ R ∂Q ∂x − ∂P ∂y ! dxdy ⇔ I C L = ZZ R dL (29) 這個公式同時也說明在區域R之積分及 其邊界之積分兩者之關係, 而實際上就 是微積分基本定理之推廣, 當然其精神 則是 — 分部積分 (integration by part)。 6. 線積分的微積分基本定理 在第五節我們引進了位能函數 (potential function)F = ∇φ之概念, 實際上可經 由全微分 (total differential) 來理解 F · d~r = P dx + Qdy dφ = φxdx + φydy ⇒ F · d~r = ∇φ · d~r = dφ (30) 因此 P = φx Q = φy, ⇒ Py = Qx 換為微分方程的語言則是 “正合 (exact) ”。 線積分的微積分基本定理: 假設 φ 為一 可微分函數, 且其梯度 ∇φ 為連續, ~r 為連接 ~a,~b 兩點之任意曲線, 則 Z ~b ~a ∇φ · d~r = φ( ~b) − φ(~a) (31) 這定理的物理意義 (電學的角度): 沿著 電場上兩點間任一曲線電場所作的功為兩點 的電位差, 由 Green 定理可知若 F = ∇φ, C1, C2 為連接 ~a,~b 之任意兩條曲線則 I C F · d~r = Z C1 F · d~r − Z C2 F · d~r = ZZ R ∇ × (∇φ) · ~k dxdy = 0 因此 Z C1 F · d~r = Z C2 F · d~r 即線積分與路徑無關 (path-independent), 換句話說, 將一物體 (或質點) 由位置 ~a 移
34 數學傳播 21卷4期 民86年12月 至位置 ~b 力對物體(質點) 所作的功, 僅和物 體(質點) 起點位置及終點位置有關, 而與其 運動所遵循的運動路徑無關, 此時我們稱向 量場 F 為保守的 (conservative), 而φ則稱 為F之位能函數, 這定理也告訴我們 φ(~x) − φ(~a) = Z ~x ~a ∇φ · d~r = Z ~x ~a F · d~r (32) 即位能函數可藉由保守力的線積分而得。 動能定理: ~r(t) = (x(t), y(t)) 可視為位置向量函 數, 則速度與加速度分別是: ~v(t) = d~r dt = dx dt , dy dt ! ~a(t) = d 2~r dt2 = d 2x dt2 , d 2 y dt2 ! (33) 設物體的質量為 m, 其所受外力的合力為 F 則由牛頓定律知 F = m~a = m d 2~r dt2 (34) 則對 F 而言從 ~r(t1) 至 ~r(t2) 所作的功為 W = Z ~r(t2) ~r(t1) F · d~r = Z t2 t1 F (~r(t)) · d~r(t) dt dt = Z t2 t1 m d~v dt · ~v(t)dt = 1 2 m Z t2 t1 d dt |~v(t)| 2 dt = 1 2 m |~v(t2)| 2 − 1 2 m |~v(t1)| 2 (35) 其中 1 2m|~v(t)| 2 為動能 (kinetic energy), 因此 (35) 式就是“動能定理”, 其物理意義: 合力對物體所作的功等於動能的改變量 如果 F 為一保守力場, F = −∇φ, 則由線 積分的微積分基本定理知: W = −φ(t2) + φ(t1) (36) 則 (32) 式改寫為 φ(t1) + 1 2 m|~v(t1)| 2 = φ(t2) + 1 2 m|~v(t2)| 2 (37) 其中 φ 為位能 (potential energy), 因此 (37) 式就是能量守恆定律 (conservation of energy)。 散度之物理意義: 有了速度的概念之後, 我們覺得這是很 好的時機來闡釋散度 (divergence) 的物理 意義, 我們可以這麼想像: 假設正在喝咖啡 將奶精倒入杯內, 最初形成的圖形為 Ω0, 而 後經由攪拌或其他因素使得 Ω0 變化, 其位 置向量為 (x(t), y(t)) = (ξ, η), 速度則為