第 42 卷 第 6 期 力 学 与 实 践 2020 年 12 月 理论力学教具 DIY 系列 (三) 悬崖勒马玩具的原理及分析 高云峰 1) (清华大学航天航空学院, 北京 100084) 我曾经为学生设计过一个 “悬崖勒马” 的探究项 目：小马身上连一根绳子，加上配重后，可以让小马 走到悬崖边上 (桌面边界当悬崖，图 1)。让学生探究 配重与小马的运动学和动力学关系，即如何让小马 不落下悬崖但是又尽可能走得远？ ሿ傜⁑ර 㔣ᆀ 䝽䟽 Ṽᆀ 图 1 探究活动 后来中央电视台导演到我实验室参观，对我设 计的一些科学游戏 (包括悬崖勒马) 很感兴趣，后面 就合作变成了《加油！向未来》节目中的大型游戏。 节目中把小马改为小车，人坐在其中。把人和小车作 为一个整体，配重暂不考虑尺寸大小。即使这样简化 后，装置的运动也是很复杂的，原因是它的自由度在 1 ∼ 5 之间变化。 1 第一阶段建模 这一阶段小车完全在台面上运动，系统有一个 自由度：小车质心位移 x。装置的模型见图 2，参数 如下：小车长为 a，高为 b，质量为 m1；质心距离前 端为 a1，距离底部为 b1；系绳处距离底部为 h；配重 质量为 m2；绳长为 l，不计质量且不可伸长；台面长 为 L，摩擦系数为 µ1。装置各部分受力图见图 3，这 一阶段绳子拉动小车运动，绳子与台面角度为 θ，边 缘 A 点考虑为一段微小圆弧 (只影响绳子与接触面 的张角，不影响水平位移)，摩擦系数为 µ2，绳子与 圆弧的张角为 π/2 − θ。 m1 m2 b1 a1 h a b x C C A y o θ 图 2 模型示意图 m2 m2g m1g m1 T1 T1 T2 T2 x A C x F N θ p/2−θ θ 图 3 第一阶段受力图 本文于 2020–02–14 收到。 1) E-mail: gaoyunfeng@tsinghua.edu.cn 引用格式: 高云峰. 理论力学教具 DIY 系列 (三) 悬崖勒马玩具的原理及分析. 力学与实践, 2020, 42(6): 783-787 Gao Yunfeng. Analysis of the toy “Back from the Brink”. Mechanics in Engineering, 2020, 42(6): 783-787
784 力 学 与 实 践 2020 年 第 42 卷 根据各部分的受力情况，可以列出动力学方程 及补充条件为 m1x¨ = T1 cos θ − F 0 = N − m1g − T1 sin θ m2x¨ = m2g − T2 T1e (π/2−θ)µ = T2 F = µN (1) 其中 tan θ = h/(L − x − a1)。 方程 (1) 是微分−代数方程，在数值计算中，可 以先把 x¨ 当作代数量，求出 x¨ 后再求微分方程 (在 下一篇中详细介绍)。在方程 (1) 中令 x >¨ 0，可以得 到小车从静止到运动的临界质量比为 η∗ = m2/m1 = µ1e (0.5π−θ0)µ2 cos θ0 − µ1 sin θ0 (2) 其中 tan θ0 = h/(L − a1)。 方程 (1) 适用的范围是 x + a1 6 L (即小车前缘 没有冲出边界)，一旦小车冲出边界，绳子就会摆动 起来，受力图和方程都要改写了，进入第二阶段。 2 第二阶段建模 第二阶段受力图如图 4 所示。当小车前缘超出 了桌面平动时，系统有二个自由度：小车质心位移 x、绳子摆角 β。绳子摆动时可以考虑空气阻尼 (如 果小车停止在平台上，绳子长时间摆动)。 m2 m2x+nx m2g m1g m1 T1 C T1 x x F N β β lβ 2 lβ . . . . nlβ . 图 4 第二阶段受力图 小车的动力学方程直接可以列出，但要注意配 重的悬挂点在运动，可以采用非惯性系中的处理方 法，加上牵连惯性力后再列相对运动微分方程，得到 如下方程 m1x¨ = −F + T sin β 0 = N − m1g − T1 cos β m2l ∗β¨ = −m2g sin β − (m2x¨ + nx˙) cos β− nl∗β˙ m2l ∗β˙2 = T1 + (m2x¨ + nx˙) sin β− m2g cos β F = µN (3) 其中 l ∗ = l, β > 0; l ∗ = l − h, β 0 (4) 该条件一旦满足 (已经不安全了)，进行第三阶段。 3 第三阶段建模 第三阶段受力图如图 5 所示。当小车超出桌面 较多时且产生转动时，系统有三个自由度：小车质心 位置 x 和 y、转角 α、绳子摆角 β，但是由于小车与 台面接触还有一个约束方程 y = b1 cos α + (L − x) sin α cos α (5) m m2 2aBx m2aBy m2g m1g m1 T1 T1 A C N F B lβ 2 lβ . . β β α 图 5 第三阶段受力图 这时要注意绳子端点 B 的加速度为 aBx = ¨x + [(h − b1) cos α − a1 sin α]¨α− [a1 cos α + (h − b1) sin α] ˙α 2 aBy = ¨y − [a1 cos α + (h − b1) sin α]¨α− [(h − b1) cos α − a1 sin α] ˙α 2 (6)
第 6 期 高云峰：理论力学教具 DIY 系列 (三) 悬崖勒马玩具的原理及分析 785 不考虑空气阻尼，从而得到系统的动力学方程为 m1x¨ + F cos α − N sin α − T1 sin β = 0 m1y¨ − F sin α − N cos α + T1 cos β = −m1g Jα¨ = f(α, β, F, N, T1) m2lβ¨ = m2aBx cos β − m2(g + aBy) sin β m2lβ˙2 = m2aBx sin β − m2(g + aBy) cos β F − µN = 0 (7) 其中 f(α, β, F, N, T1) 是已知函数。方程 (7) 要与约 束方程 (5) 和方程 (6) 联立才能求解。在求解过程 中，一旦满足 N = 0 或小车尾部超出平台边缘，表 示小车脱离台面，进入下一阶段。 4 第四阶段建模 第四阶段受力图如图 6 所示。当小车脱离桌面 且绳子绷紧时，系统有自由度：小车质心位置 x 和 y、转角 α、绳子摆角 β。B 点的加速度仍是式 (6)。 m m2 2aBx m2aBy m2g m1g m1 T1 T1 C B lβ 2 lβ . β . β 图 6 第四阶段受力图 从而得到系统的动力学方程为 m1x¨ − T1 sin β = 0 m1y¨ + T1 cos β = −m1g Jα¨ = f(α, β, T1) m2lβ¨ = m2aBx cos β − m2(g + aBy) sin β m2lβ˙2 = m2aBx sin β − m2(g + aBy) cos β (8) 其中 f(α, β, T1) 是已知函数。在求解过程中，一旦满 足 T1 6 0，就表示小车与配置之间的绳子松弛了，进 入下一阶段。 5 第五阶段建模 当小车与配重之间绳子未绷紧时，是五自由度 问题：小车质心位置 x 和 y、转角 α、配重质心位置 x2 和 y2。不过动力学方程却很简单，有 m1x¨ = 0 m1y¨ = −m1g Jα¨ = 0 m2x¨1 = 0 m2y¨1 = −m2g (9) 6 部分计算结果及结论 在一定的配重下，小车前部可以冲出台面边缘 而最终停住，其原理是：绳子的拉力是小车前进的动 力，而摩擦力是小车刹车的原因。关键是：绳子拉力 的水平分量随小车前进而减少，而摩擦力分量随小 车前进而增加。 对于载人游戏，安全是第一位的，所以首先要确 定配重的范围，即 L = 5; a = 1; b = 0.5; h = b/2 l = 6; a1 = 0.8; b1 = 0.6 m1 = 100; g = 10; mu1 = 0.2 mu2 = 0.2; nn = 10; H = 10 小车质量比与最终位移关系如图 7 所示，从 图中可以看出，配重与小车的临界质量比为 η∗ = m2/m1 = 27.43% (具体可由式 (2) 得到)，η η∗ 时小车才能运动起 来。η = 29.60% 时小车前缘已经到了台面的边界 (但是安全)，η > 35% 时小车整体冲出台面边界 (危 险)。从表演的角度，质量比 η ≈ 34% 时最刺激：前 缘能冲出台面，配重摆动起来，小车最终安全停留 在台面上，根据方程 (3) 和方程 (4)，令加速度为零及 0.2 0.3 12 10 8 6 4 2 0 0.4 0.5 0.6 ሿ䖖ࡽ㕈≤ᒣս〫/m 䝽䟽оሿ䖖䍘䟿∄ xᯩੁս〫 ড䲙䗩⭼ ਠ䶒䗩⭼ η∗ 图 7 质量比与最终位移关系
786 力 学 与 实 践 2020 年 第 42 卷 y = b1, β = 0，该情况下小车前缘最多可以伸出边界 a1m1/(m1 + m2) ≈ 0.6 m，当然实际上要保守一点。 但是图 7 有一个疑问，如果 η 比 η∗ 稍大一点， 小车为什么会先运动然后停在台面上？图 8 是不同质 量比情况下小车的速度与位移关系，可以看到：不同 质量比情况下小车均是先加速再减速，其中牵引小车 的绳子角度是关键：开始时 θ 小，拉力 T1 的水平分 量大，小车加速；当小车向前运动使 θ 变大后，一方 面拉力 T1 的水平分量变小，另一方面压力分量增加 使摩擦力增加，导致小车减速。如果小车速度降到 0 之前就到了危险边界 (L+a1m1/(m1+m2) = 5.6 m)， 则会冲出台面。 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 ሿ䖖ࡽ㕈ս〫/m 㓯⭼࠶䙏࣐ ড䲙 䗩⭼ ਠ䶒䗩⭼ 0 1 2 3 4 5 6 7 xᯩੁ䙏ᓖ/(m.s-1 ) η=30% η=35% η=40% F m1g N C T1 θ 图 8 不同质量比的位移与速度关系 另一个问题是，图 7 中的曲线为什么会有两个 明显的跳跃？ 第一个跳跃点是在临界质量处，这好理解：当 η η∗ 小车就会运动，所以在 η∗ 处有一个跳跃。另 一处跳跃发生在刚好冲出台面的情况，也许第二阶 段小车到达危险位置时水平速度为零，但是进入第 三阶段后，小车绕台面边缘 A 转动起来，又会产生 水平的速度分量。 以质量比 η = 30% 为例，看看小车在运动过程 中各种力随时间 (图 9) 或位移 (图 10) 的关系。可以 看出水平方向的合力 (绳子拉力分量减去摩擦力) 开 始大于 0 使小车加速，当小车前缘出了台面后水平分 量小于 0 使小车减速。可以看出小车前缘在到达台面 边界时各种力都有突变，以压力变化为例，可以从方 程 (1) 和方程 (3) 中解出跳变的幅度，令方程 (1) 中 0 2 1500 1000 500 0 -500 4 6 ≤ᒣս〫/m N/࣋⿽ F N T1 T2 ࣋ᒣਸ≤ ࣋ ࣋㔣ᆀᕐ ࣋᪙ᬖ ࣋ᒣਸ≤ 图 9 力随位移变化关系 0 10 1500 1000 500 0 -500 5 15 20 25 时间/s N/࣋⿽ F N T1 T2 ࣋ᒣਸ≤ ࣋ ࣋㔣ᆀᕐ ࣋᪙ᬖ ࣋ᒣਸ≤ 图 10 力随时间变化关系 θ = 90◦，方程 (3) 中 β = 0，β˙ = 0，有 m1x¨ = −F 0 = N − − m1g − T1 m2x¨ = m2g − T2 T1 = T2 F = µN − (10a) m1x¨ = −F 0 = N + − m1g − T1 m2lβ¨ = −m2x¨ 0 = T1 − m2g F = µN + (10b) 从而得到小车第一阶段最后时刻的压力为 N − = m1(m1 +m2)g/(m1 −m2µ) = 1383 N，而第二阶段初 始时刻压力为 N + = (m1 + m2)g = 1300 N，其他力 的跳跃也可以类似分析
第 6 期 高云峰：理论力学教具 DIY 系列 (三) 悬崖勒马玩具的原理及分析 787 最后可以看看小车冲出台面但最终停在台面上 的各种曲线变化：图 11 中绳子角度开始接近与台面 平行，后来摆动起来，角度产生周期性变化，由于有 空气阻尼，最终静止。图 12 中摩擦力开始较小，小 车接近台面边缘时，绳子拉力方向接近垂直，压力增 加导致摩擦力增加，小车冲出台面后摩擦力趋于零， 但由于配重的摆动，导致摩擦力的方向也会变化。 0 10 100 80 60 40 20 0 -20 5 15 20 25 时间/s 小车转角α 绳子与垂线夹角β ⿽䀂ᓖ/(Ο) 图 11 角度随时间的变化关系 0 2 4 6 8 12 14 400 350 300 250 200 150 100 50 0 -50 10 16 18 时间/s 摩擦力/N F Tx T 图 12 力随时间的变化关系 7 结语 悬崖勒马问题看上去简单，但是过程中自由度 数目一直在变化，可以让学生了解到实际问题是如 何建模、分析、计算的。本文解释了悬崖勒马的原 理，给出了配重与小车的临界质量比，给出了安全位 置和危险位置，分析了压力突变的范围，并对小车运 动的整个过程进行了数值仿真，得到了丰富的数据、 曲线和动画演示，可让学生对这一问题有全面、深入 的了解。 (责任编辑: 胡 漫)