786力学与实践2014年第36卷育研关于平面运动刚体两点速度和加速度关系式陈立群1)（上海大学力学系，上海200444）摘要不用相对运动概念建立平面运动刚体上两点的速度关运动.本文给出一种比较简单的平面运动刚体上点系和加速度关系，先用分量表示的方法得到固连在平面运动的速度和加速度关系的推导方法，为此需要先用分刚体上失量的时间导数公式，应用该公式导出了平面运动刚量表示的方法推导固连在平面运动刚体上矢量的时体上两点的速度关系和加速度关系间导数，关键词刚体平面运动，速度，加速度，理论力学1固连在刚体上失量的时间导数中图分类号：O311.2文献标识码：A设TB/A是固连在平面运动刚体上的矢量，从doi:10.6052/1000-0879-13-431A指向B.在刚体运动平面上引入坐标系O-ry，如图1所示.刚体上A和B两点距离在刚体运动过引言程中保持不变，设为L，A和B两点连线与轴的平面运动刚体是理论力学课程中运动学一个重夹角记为g.设轴和轴方向的单位失量为i和要组成部分：在我国工科理论力学教材中，通常是j，则先讲点的复合运动，再讲刚体平面运动.这种处理方(1)TB/A=ilcos+jlsing式的优点是借助相对运动的概念，较容易导出平面式（1)两端对时间求导数，有运动刚体上两点速度和加速度的关系，就是分析刚体上点的速度和加速度的基点法.不足之处是相对(2)rB/A=-ilpsinp+jlpcosp运动比刚体运动抽象，学生理解起来比较困难，因此令k=×，引入刚体平面运动的角速度矢量欧美基本相当于中国理论力学的工程力学教材[1-3]w=pk，应用矢量叉乘特性i=-kxi和j=kxi，中，都先讲刚体运动.近年来，国内有一些教材[4-6]式(2)可整理为也在复合运动之前讲刚体运动不用相对运动的概念处理刚体平面运动，关键rB/A=(lpsinp)kxj+(lpcoso)kxi=问题就是推导出平面运动上点的速度和加速度关系pk×(ilcos+jlsinp)=美国广泛采用的教材[1-2]都是用比较直观的几何展示，说明刚体一点的微位移为随基点平动微位移与(3)w×(ilcosp+jlsinp)关于基点转动的微位移的矢量和.德国最流行教材的英文版[3]把刚体上两点的相对位移分解成径向和切向，并利用径向长度不改变的性质，洪嘉振等的教材[4]和李俊峰等的教材[5]都是用连体基和矢量坐标阵直接导出一般运动刚体上点的速度关系和加速度关系，然后将刚体平面运动作为特例.梅凤翔的理论力学教材[6]则未加证明地应用了固连刚体上矢量导数的公式．早期的苏联工科理论力学教材[7]H先用几何方法证明平面运动可以用定轴转动实现，这样可以不用相对运动概念而严谨地处理刚体平面图1固连在平面运动刚体上的矢量rB/A本文于2013-11-04收到1)E-mail:lqchen@staff.shu.edu.cn(C)1994-2023 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
力 学 与 实 践 年 第 卷 关 于 平面运 动 刚 体 两 点 速度 和 教 加 速度 关 系 式 陈 立群 上海 大 学 力 学 系 ， 上 海 摘要 不用 相对运动 概念 建立平面运动 刚 体上 两 点 的 速度 关 运动 本 文 给 出 一 种 比 较简 单 的 平 面运 动 刚 体 上 点 系 和 加 速度 关系 先用 分量表示 的 方法得 到 固 连在平 面运动 的 速度 和 加 速度关系 的 推 导 方法 ， 为 此需 要先用 分 刚 体 上矢量 的 时 间 导 数 公式 ， 应用 该 公式 导 出 了 平 面运动 刚 量表 示 的 方法推导 固 连在平 面运动 刚体上矢量 的 时 体上两 点 的 速度 关系 和 加速度 关 系 关键词 刚 体平 面运动 ， 速度 ， 加 速度 ， 理论 力 学 「！ 士 ― 固 连在 刚 体上 矢 量 的 时 间 导数 中 图 分 类号 ： 文 献标识码 ： 设 是 固 连在 平面运 动 刚 体上 的 矢 量 ， 从 ° 指 向 在 刚体运动平面上 引 入坐 标系 邛 ’ 如 图 所示 刚 体上 和 两 点 距离在刚 体运动 过 “ 程 中 保持不变 ， 设为 和 两 点 连线 与 轴 的 平面运动 睡是 理论 力 学课程 中 运动 学 个重 夹 角 记 为 设 工 轴 轴 方 向 的 单位 矢量 为 和 要 组成部 分 在 我 国 工 科理论 力 学 教材 中 ， 通 常 是 先讲 点 的 复合运动 ， 再讲刚体平面运动 这种 处理方 ’ — 式 的 优点 是 借助 相 对运动 的 概念 ， 较容 易 导 出 平面 。 丨 运动 刚 体 上两 点速度 和 加 速度 的 关 系 ， 就 是 分析 ⑴ 两端对 时 导 数 ’ 体上 点 的速度和 加 速度 的 基 点法 不足之 处 是相 对 — 运动 比 刚 体运动抽 象 ， 学生理解起来 比较 困 难 因 此 欧美基本相 当 于 中 国 理论 力 学 的 工程力 学 教材 】 令 引 入 刚 体 平 面 运 动 的 角 速度 矢 量 中 ， 都先讲 刚 体运动 近年来 ， 国 内 有一 些教材 丨 林 ’ 应用 矢量叉乘特性 和 也 在 复合运动之前讲刚 体运动 式 （ 胃 理为 不用 相 对运动 的 概念 处 理 刚 体平面运动 ， 关键 寧 问 题就是推导 出 平面运动上点 的 速度 和 加 速度 关 系 ， 美 国 广泛采用 的 教材 — 】 都是用 比较直观 的 几何展 咖 示 ， 说 明 刚 体 一 点 的 微位移 为 随 基 点 平动 微位移 与 关 于基 点 转动 的 微位移 的 矢 量 和 德 国 最 流行 教 材 的 英 文 版 把 刚 体 上 两 点 的 相 对位移 分 解 成径 向 ” 和 切 向 ， 并利 用 径 向 长度不 改变 的 性质 洪 嘉 振等 的 教材 ⑷ 和 李俊 峰等 的 教材 都是用 连体基和 矢 ’ 量坐标阵直接导 出 一 般运动 刚 体上 点 的速度 关系和 加速度关系 ， 然 后将刚 体平面运动作 为特例 梅风翔 丨 的 理论力 学教材 则未加证 明 地应用 了 固 连刚体上 、 矢量 导 数 的 公式 早 期 的 苏联工科理论 力 学教材 先用 几何方法证 明 平面运动 可 以 用 定轴转动 实现 ， 这样可 以 不用 相对运动概念而严谨地处理 刚 体平面 图 固连在 平面运动 刚 体上 的 矢 量 本 文 于 收 到
第6期单建等：静定结构的“理想”求解方法及其充分条件787由式（1)和(3)，得到固连在平面运动刚体上的时间从式（5)和式（6）的推导可见，式（4)起关键作导数用。基于式（4)，不需要相对运动的速度合成定理和(4)加速度合成定理，也能严格地导出速度关系和加速TB/A==WXTB/A度关系.2平面运动刚体上两点的速度关系式和加速度参考文献关系式平面运动刚体上任意两点A和B，有rB=1 Meriam JL, Kraige LG. Engineering Mechanics: Dynamics(6thedn).NewYork:JohnWiley&Sons,2007.356-358381rA+rB/A.对时间求导，并注意到式（4)，得到2Hibbeler RC.Engineering Mechanics:Dynamics (6th edn)New Jersey:Prentice Hall, 2010.337-338, 363-364TB=TA+WXTB/A(5)3 Gross D, Hauger W, Schroeder J, et al. Engineering Me式（5）给出了平面运动刚体上任意两点速度之间的chanics 3:Dynamics.Berlin:Springer,2011.133-134关系.式(5)再对时间求导，并在计算rB/A导数时4洪嘉振，杨长俊.理论力学（第3版）.北京：高等教育出版社，2008.106-107,117,122再利用式(4)，导出5李俊峰，张雄，理论力学（第2版）.北京：清华大学出版社，2010.26-27"B="A+WXrB/A+W×(WXrB/A) (6)6梅凤翔，尚攻，理论力学I—基本教程、北京：高等教育出版式（6）给出了平面运动刚体上任意两点加速度社,2012之间的关系.应用三重矢量积的性质，式（6）可以简7洛强斯基ⅡIT，路尔叶AH.理论力学教程（上册第2分册)。吴礼义等译，北京：高等教育出版社，1954.287-291，310-312化为[8]8陈立群，三矢矢量积在理论力学中应用两例，力学与实践，2013TB="A+WXTB/A-W"TB/A(7)35 (5): 82(责任编辑：胡漫)静定结构的“理想”求解方法及其充分条件单建1)黄玮（东南大学土木工程学院，南京210018)摘要静定结构的“理想”求解方法，指的是通过顺序求解求解联立方程，本文称无需求解联立方程的方法为若干一元方程求出所有的未知力，而不用求解联立方程的方“理想”方法.不少结构力学教科书提到了这一点，法，本文提出了“规则”静定结构的概念，明确指出：此类结并且在解题中努力加以贯彻.但是，可用“理想”方构的内力总可以用“理想”方法求解，并给出了具体的求解法求内力的静定结构具有何种特点，并不明确；本可过程，用“理想”方法求解的问题被误当成“不得不”用联关键词静定结构，未知力，理想化，组成规则立方程求解的例子，屡见不鲜，中图分类号：0341文献标识码：A体系几何组成分析与结构内力计算有着密切的doi:10.6052/1000-0879-13-250关系.就手算而言，几何组成分析可为内力计算提供很大帮助.清楚了几何组成，往往也就找到了解决问题的思路.引言静定结构内力计算只需要考虑平衡条件，基本组成几何不变且无多余约束的体系即静定结构方法是隔离体平衡法为便于计算，列平衡方程时的基本规则有三条，即“二元体”规则、“两刚片”规总希望每列一个方程就能解出一个未知力，不希望则和“三刚片”规则[1-5].多数静定结构的几何组成2013-06-19收到第1稿，2013-09-12收到修改稿1)E-mail: shanjian@hotmail.com(C)1994-2023 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第 期 单 建等 ： 静定结构 的 “ 理想 ” 求解方法及其充分条件 由 式 （ 和 （ 得到 固 连在平面运动 刚体上 的 时 间 从式 （ 和式 ⑹ 的 推导可见 ， 式 ⑷ 起关键作 导数 用 基于式 （ 不需要相对运动 的速度合成定理和 加速度合成定理 ， 也 能严格地导 出 速度关系 和 加速 度关系 平面运动 刚体上两点 的 速度 关系式和 加速度 关系 式 参 考 文 献 平面运动 刚 体上任意 两 点 和 ， 有 对时 间 求导 ， 并注意到式 ⑷ ， 得到 式 （ 给 出 了 平面 动 刚 体上任意两 点速度之间 的 关系 式 （ 再对 时 间 求导 ， 并在计算 导数 时 洪 嘉振， 杨长俊 理论 力 学 （ 第 版 北京 ： 高 等 教育 出 版社 ， 再利用 式 ⑷ ， 导 出 李俊 峰 ， 张雄 理论 力 学 （ 第 版 北 京 ： 清 华 大 学 出 版 社 ， — ； ； 梅凤翔 ， 尚玫 理论力 学 — 基本教程 北京 ： 高等 教育 出 版 式 （ 给 出 了 平面运动 刚体上任意两点 加速度 社 ， 之间 的 关系 应用 三重矢量积 的 性质 ， 式 （ 可 以 简 洛 强斯基 路 尔 叶 理论力 学 教程 （ 上册第 分册 吴礼义 等译 北 京 ： 高等教育 出 版社， 陈立群 三矢矢量积在理论力 学 中 应用 两例 力 学与 实践 ， — ： 责任编 辑： 胡 漫） 静定结构 的 “ 理想 ” 求解方法及其 充分条件 单 建 黄 玮 东 南大学土木工程学 院 ， 南京 摘要 静定 结构 的 “ 理想 ” 求解方法 ， 指 的 是通过顺序求解 求解联立方程 本文称无需求解联立方程 的方法为 若干一 元方程求 出 所有 的 未知 力 ， 而不用 求解联立方程 的 方 理想” 方法 不少结构力 学教科书提到 了 这一 点 ， 法 本文提 出 了 “ 规则 ” 静定结构 的 概念 ， 明 确指 出 ： 此类结 并且在解题 中 努力 加 以 贯彻 但是 ， 可用 “ 理想 ” 方 构 的 内 力 总 可 以 用 “ 理想 ” 方法求解 ’ 并给 出 了 具体 的 求解 法求 内 力 的 静定结构具有何种特点 ， 并不 明 确 ； 本可 用 “ 理想 方法求解的 问 题被误当 成 “ 不得不 用 联 关键词 静定 结构 ， 未知力 ， 理想化 ， 组成规则 立方程求解 的 例子 ， 屡见不鲜 中 图 分类号 ： 文献标识码 ： 体系 几何组成分析与 结构 内 力 计算有着密切 的 关系 就手算而言 ， 几何组成分析可为 内 力 计算提供 很大帮 助 清楚 了 几何组成， 往往也就找到 了 解决 问 引 言 题的 思路 静定 结构 内 力 计算只 需要考虑平衡条件 ， 基本 组成几何不变且无多 余约束 的 体系 即 静定 结构 方法是 隔 离体平衡法 为 便于计算 ， 列 平衡方程时 的基本规则有三条， 即 二元体 规则 、 两刚片 ” 规 总 希望每列 一 个方程就 能解 出 一 个未 知 力 ， 不希望 则和 “ 三刚 片 ” 规则 — 】 多 数静定 结构 的 几何组成 收 到 第 稿 ， 收到修改稿