第3章平面任意力系3-1图3-1a中，已知F=150N，F,=200N，F=300N，F=F=200N。求力系向点O简化的结果：并求力系合力的大小及其与原点O的距离d。yg01100200(a)(b)图 3-1（1）求合力F的大小鲜211FF.FxJ5V2/10121200Nx300Nx=-150Nx-437.62 NV2V5V10131F,xF,xZF =-FxT5V2V10131=-150Nx200Nx+300Nx-161.62 NV2J10V5N= 466.5 NF=/ZF)+(ZE)?=(/(-437.62) +(-161.62)2主矢0.100.20主矩Mo=Fxm+Fxm-F×0.08mV5V20.100.20=150Nxm+300Nxm-200Nx0.08m=21.44Nm（逆）V2V5合力F在原点O的左侧上方，如图3-1b所示，且FR=F=466.5N(2）求距离dIMo21.44N·m=0.0459m=4.59cm（图3-1b）d=FR466.5 N3-2图3-2a所示平面任意力系中F=40V2N，F,=80N，F,=40N，E=110N，M=2000N·mm。各力作用位置如图3-2b所示，图中尺寸的单位为mm。求：（1）力系向点O简化的结果：（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。F20,30)145Mo(20,20)(50.0)FR-X0(20,30)FF-6(a)(b)图 3-218
18 第 3 章 平面任意力系 3-1 图 3-1a 中，已知 N 150 F1 = ， N 200 F2 = ， F3 = N 300 ， FF == N 200' 。 求力系向点 O 简化的结果；并求力系合力的大小及其与原点 O 的距离 d。 x y O MO FR ′ FR (a) (b) 图 3-1 解 (1) 求合力 FR 的大小 5 2 10 1 2 1 x 1 FFF 2 F3 ×−×−×−=∑ N 62.437 5 2 N300 10 1 N200 2 1 N150 −=×−×−×−= 5 1 10 3 2 1 y 1 FFF 2 F3 ×−×−×−=∑ N 62.161 5 1 N300 10 3 N200 2 1 N150 −=×+×−×−= 主矢 ( ) N 5.466N )62.161()62.437()()( ' 2 2 2 2 R x FFF y −+−=∑+∑= = 主矩 m08.0m 5 20.0 m 2 10.0 O FM 1 F3 F ×−×+×= mN 44.21m08.0N200m 5 20.0 N300m 2 10.0 N150 ⋅=×−×+×= （逆） 合力 FR 在原点 O 的左侧上方，如图 3-1b 所示，且 N 5.466 ' FF RR == (2) 求距离 d cm 59.4m9045.0 N5.466 mN44.21 ' R = = ⋅ == F M d O （图 3-1b） 3-2 图 3-2a 所示平面任意力系中 N 240 F1 = ， N 80 F2 = ， F3 = N 40 ， N 110 F4 = ，M ⋅= mmN 0002 。各力作用位置如图 3-2b 所示，图中尺寸的单位为 mm。 求：（1）力系向点 O 简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。 -6 y x O FR ′ FR MO (a) (b) 图 3-2
解（1）向点O简化V2/2FR= F,-F, -F =-150N,FR, = FF=022FR=-150iNM。=F,×30mm+F×50mm-F×30mm-M=80N×30mm+40N×50mm-110N×30mm-2000N.mm（顺）=-900N-mm(2)合力大小：F=150N，方向水平向左。合力作用线方程：[Mo]900N·mm以= 6mm[Fr]150N由M。转向知合力作用线方程为y=-6mm3-3如图3-3所示，当飞机作稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡。己知飞机的重力P=30kN，螺旋浆的牵引力F=4kN。飞机的尺寸：a=0.2m，b=0.1m，c=0.05m，1=5m。求阻力F，机翼升力F，和尾部的升力Fyz2。解选择坐标系如图。ZF=0,F-F=0,F =F=4kNZMA=0,F,2(a+I)-Pa-F(b+c)=0Pa+F(b+c)2=1.27kNF=a+1ZF,=0,F,+Fy2-P=0Fyl = P- Fyz = 28.7kN图 3-33-4在图3-4a所示刚架中，q=3kN/m，F=6/2kN，M=10kN·m，不计刚架的自重。求固定端A的约束力。MFF+B/45°M3m8ut5mAETMA(a)(b)图3-4解受力如图3-4b所示ZF,=0,FAy=Fsin45°=6kNZF=0Fx ++=qx4m-Fcos45°=0,F=0241ZM=0,M-q×4m×=m-M-Fsin45°×3m+Fcos45°×4m=02?M,=12kN·m（逆）19
19 解（1） 向点 O 简化 150 N 2 2 1 2 4 ' FRx = F ⋅ − F − F = − ， 0 2 2 1 3 ' FRy = F ⋅ − F = FR 150i N ' = − MO = F2 × 30 mm + F3 × 50 mm − F4 ×30 mm − M 900 N mm 80 N 30 mm 40 N 50 mm 110 N 30 mm 2 000 N mm = − ⋅ = × + × − × − ⋅ （顺） (2) 合力 大小： FR = 150 N ，方向水平向左。合力作用线方程： 6 mm 150 N 900 N mm R = ⋅ = = F M y O 由 MO 转向知合力作用线方程为 y = −6 mm 3-3 如图 3-3 所示，当飞机作稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡。已 知飞机的重力 P = 30 kN ，螺旋桨的牵引力 F = 4 kN 。飞机的尺寸：a = 0.2 m，b = 0.1m ， c = 0.05 m ，l = 5 m。求阻力 Fx ，机翼升力 Fy1和尾部的升力 Fy2 。 解 选择坐标系如图。 ∑ Fx = 0， Fx − F = 0， Fx = F = 4 kN ∑ = 0 M A ， Fy2 (a + l) − Pa − F(b + c) = 0 1.27 kN ( ) 2 = + + + = a l Pa F b c Fy ∑ Fy = 0 ， Fy1 + Fy2 − P = 0 Fy1 = P − Fy2 = 28.7 kN 图 3-3 3-4 在图 3-4a 所示刚架中，q = 3 kN/m ，F = 6 2 kN ，M = 10 kN ⋅ m ，不计刚架 的自重。求固定端 A 的约束力。 M F B 45° 3m q A MA FAx (a) (b) 图 3-4 解 受力如图 3-4b 所示 ∑ Fy = 0, FAy = Fsin 45° = 6 kN 4 m cos 45 0 2 1 ∑ Fx = 0, FAx + q × − F ° = ， FAx = 0 m sin 45 3 m cos 45 4 m 0 3 4 4 m 2 1 ∑ M A = 0,M A − q × × − M − F °× + F °× = M A = 12 kN ⋅m （逆）
3-5如图3-5a所示，飞机机翼上安装1台发动机，作用在机翼OA上的气动力按梯形分布：9,=60kN/m,92=40kN/m，机翼重为P=45kN，发动机重为P=20kN，发动机螺旋桨的作用力偶矩M=18kN·m。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端O的受力。JIF4Fg.44449M?3.6m3.6mFoM4.2m4.2mPlIPP29m9m(b)(a)图3-5解研究对象：机翼（含螺旋奖），受力如图3-5b所示。梯形分布载荷看作三角形分布载荷(91-92）和均布载荷9两部分合成。三角形分布载荷91-92的合力1F=-(g -4)9 =9000 N均布载荷q2的合力F,=q2×9m=360000NF,位于离04.5m处。ZF,=0, F+F+F,-P-P, =0F。= P + P, +F- F, =-385 000 N =-385 kNZM。=0,M。+F×3m+F,x4.5m-P×3.6m-P×4.2m-M=0M。=1626 kN·m (逆)3-6无重水平梁的支承和载荷如图3-6a、图3-6b所示。已知力F，力偶矩为M的力偶和强度为q的均匀载荷。求支座A和B处的约束力。FMIF4R1AAFIBF2aF(al)(a)2F2a(b)(bl)图 3-6解（1）梁AB，坐标及受力如图3-6al所示MZM=0,F×2a-M-F×3a=0,(3FF.2aMZF,=0,F+F-F=0,F+F=F-FR:a(2)梁AB，坐标及受力如图3-6b1所示1qa2+Fg×2a-F×3a-M=0ZM.=0,220
20 FA 3-5 如图 3-5a 所示，飞机机翼上安装 1 台发动机，作用在机翼 OA 上的气动力按梯形分 布： q1 = 60 kN/m, q2 = 40 kN/m ，机翼重为 P1 = 45 kN ，发动机重为 P2 = 20 kN ，发 动机螺旋桨的作用力偶矩 M = 18 kN ⋅m 。求机翼处于平衡状态时，机翼根部固定端 O 的 受力。 F1 F2 q1 q2 P2 P1 3.6 m 4.2 m 9 m x A y O M MO FO (a) (b) 图 3-5 解 研究对象：机翼（含螺旋桨），受力如图 3-5b 所示。梯形分布载荷看作三角形分布 载荷( 1 2 q − q )和均布载荷 2 q 两部分合成。三角形分布载荷 1 2 q − q 的合力 ( ) 9 m 90 000 N 2 1 F1 = q1 − q2 × = 均布载荷 q2的合力 9 m 360 000 F2 = q2 × = N F2 位于离 O 4.5 m 处。 ∑ Fy = 0, FO + F1 + F2 − P1 − P2 = 0 FO = P1 + P2 + F1 − F2 = −385 000 N = −385 kN ∑ MO = 0， M O + F1 × 3 m + F2 × 4 ⋅ 5 m − P1 × 3.6 m − P2 × 4.2 m − M = 0 MO = 1 626 kN ⋅ m (逆) 3-6 无重水平梁的支承和载荷如图 3-6a、图 3-6b 所示。已知力 F，力偶矩为 M 的力偶 和强度为 q 的均匀载荷。求支座 A 和 B 处的约束力。 F B 2a a A M FB (a) (a1) a 2a a D A B q F FB FA M (b) (b1) 图 3-6 解 (1) 梁 AB，坐标及受力如图 3-6a1 所示 ∑ M = 0, F × 2a − M − F × 3a = 0 A B ， (3 ) 2 1 a M FB = F + ∑ Fy = 0, FA + FB − F = 0， ( ) 2 1 a M FA = F − FB = − F + (2) 梁 AB，坐标及受力如图 3-6b1 所示 ∑ = 0 M A ， 2 3 0 2 1 2 qa + FB × a − F × a − M =
M1(3FFqa)2aTF=0,F+F-F-qa=0M5FA=(F+qa)22a3-7如图3-7a所示，液压式汽车起重机全部固定部分（包括汽车自重）总重为P=60kN，旋转部分总重为P,=20kN，a=1.4m，b=0.4m，l=1.85m，l，=1.4m。求：（1）当l=3m，起吊重为P=50kN时，支撑腿A，B所受地面的约束力：（2）当1=5m时，为了保证起重机不致翻倒，问最大起重为多大？bptTP0PLBFN(a)(b)图3-7解整体，坐标及受力如图3-7b所示。(1)求当l=3m，P=50kN时的F，FM =0,-P(-a)-P(+b)-P(I+l)-F,(, +l)=01FB[P,(l, -a) + P,(l, + b) + P(I + I,)] = 96.8 kN1, +1,ZF,=0,F+F-P-P-P=0F=P +P, +P-F=33.2kN（2）求当l=5m时，保证起重机不翻倒的P。起重机不翻倒的临界状态时，F，=0。ZM=0, P(a+l,)+P,(l, -b)-P(1-l,)=0-P=[P(a+12)+ P,(, -b)]=52.2 kN1-1即Pmx = 52.2 kN3-8如图3-8a所示，行动式起重机不计平衡锤的重为P=500kN，其重心在离右轨1.5m处。起重机的起重力为P=250kN，突臂伸出离右轨10m。跑车本身重力略去不计，欲使跑车满载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重力P以及平衡锤到左轨的最大距离Xo10mXpt中↓1.5m1on11.5mtpP.ttp23m(a)(b)图 3-8解起重机，受力如图3-8b所示。21
21 ) 2 1 (3 2 1 qa a M FB = F + − ∑ Fy = 0, FA + FB − F − qa = 0 ) 2 5 ( 2 1 qa a M FA = − F + − 3-7 如图 3-7a 所示，液压式汽车起重机全部固定部分（包括汽车自重）总重为 P1 = 60 kN ，旋转部分总重为 P2 = 20 kN ， a = 1.4 m ， b = 0.4 m ， l1 = 1.85 m ， l2 = 1.4 m 。求：（1）当l = 3 m ，起吊重为 P = 50 kN 时，支撑腿 A，B 所受地面的约束 力；（2）当l = 5 m 时，为了保证起重机不致翻倒，问最大起重为多大？ a b P P2 P1 A B l 1l 2l FA FB (a) (b) 图 3-7 解 整体，坐标及受力如图 3-7b 所示。 (1) 求当l = 3 m ， P = 50 kN 时的 FA ， FB 0, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ∑ M A = − P1 l1 − a − P2 l1 + b − P l + l1 − FB l1 + l2 = [ ( ) ( ) ( )] 96.8 kN 1 1 1 2 1 1 1 2 − + + + + = + = P l a P l b P l l l l FB ∑ Fy = 0, FA + FB − P1 − P2 − P = 0 FA = P1 + P2 + P − FB = 33.2 kN （2）求当l = 5 m时，保证起重机不翻倒的 P。 起重机不翻倒的临界状态时， = 0 FA 。 ∑ = 0 M B ， ( ) ( ) ( ) 0 P1 a + l2 + P2 l2 − b − P l − l2 = [ ( ) ( )] 52.2 kN 1 1 2 2 2 2 + + − = − = P a l P l b l l P 即 Pmax = 52.2 kN 3-8 如图 3-8a 所示，行动式起重机不计平衡锤的重为 P = 500 kN ，其重心在离右轨 1.5 m 处。起重机的起重力为 P1 = 250 kN ，突臂伸出离右轨 10 m。跑车本身重力略去不计， 欲使跑车满载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重力 P2 以及平衡锤到左轨的最大距离 x。 FA 3 m FB P P1 10 m 1.5 m P2 x (a) (b) 图 3-8 解 起重机，受力如图 3-8b 所示
（1）起重机满载时不向右倾倒临界状态下，F，=0。ZM=0,P(x+3m)-P×1.5m-P×10m=0(1)(2）起重机空载时向左不倾斜临界状态下，F=0(2)ZM, =0, P,x-P(3m+1.5m)=0式（1）、（2）联立，解得P, = P2min = 333 kNPX= Xmax = 4.5 =6.75mP,3-9飞机起落架，尺寸如图3-9a所示，A，B，C均为铰链，杆OA垂直于AB连线。当飞机等速直线滑行时，地面作用于轮上的铅直正压力F=30kN，水平摩擦力和各杆自重都比较小，可略去不计。求A、B两处的约束力。F500F500F.B154FNFN(a)(b)图3-9解如图3-9b，杆BC为二力杆，F。沿BC。0.6ZM,=0,-Fsin15°×1.2m+F,xx0.5m=0V0.42+0.62Fg=22.4kN(拉)0.6ZF,=0,F4x-Fsin15°+Fg×-00.42 +0.62Fx = -4.67 kN0.6ZF,=0,Fay+Fcos15°+Fg×=0V0.42+0.62FA,=-47.7kN3-10水平梁AB由铰链A和BC所支持，如图3-10a所示。在梁上D处用销子安装半径为r=0.1m的滑轮。有1跨过滑轮的绳子，其1端水平系于墙上，另1端悬挂有重为P=1800N的重物。如AD=0.2m，BD=0.4m，?=45°，且不计梁、杆、滑轮和绳的重力。求铰链A和杆BC对梁的约束力。解整体，坐标及受力如图3-10b所示：F=P=1800NZMA= 0,Frr- P(AD+r)+FBc sin@-(AD+DB)= 0P.AD=600/2N=848.5N（拉）Fac =(AD+BD)sin22
22 (1) 起重机满载时不向右倾倒临界状态下， = 0 FA 。 0, ( 3 m) 1.5 m 10 m 0 ∑ M B = P2 x + − P × − P1 × = （1） (2) 起重机空载时向左不倾斜临界状态下， = 0 FB 0, (3 m 1.5 m) 0 ∑ M A = P2 x − P + = （2） 式（1）、（2）联立，解得 P2 = P2min = 333 kN 4.5 6.75 m 2 = max = = P P x x 3-9 飞机起落架，尺寸如图 3-9a 所示，A，B，C 均为铰链，杆 OA 垂直于 AB 连线。当 飞机等速直线滑行时，地面作用于轮上的铅直正压力 FN = 30 kN ，水平摩擦力和各杆自重 都比较小，可略去不计。求 A、B 两处的约束力。 C （a） (b) 图 3-9 解 如图 3-9b，杆 BC 为二力杆， FB 沿 BC。 ∑ = 0 M A ， 0.5 m 0 0.4 0.6 0.6 sin15 1.2 m 2 2 N × = + − F °× + FB × FB = 22.4 kN （拉） ∑ Fx = 0， 0 0.4 0.6 0.6 sin 15 2 2 N = + FAx − F ° + FB × FAx = −4.67 kN ∑ Fy = 0 ， 0 0.4 0.6 0.6 cos15 2 2 N = + FAy + F ° + FB × FAy = −47.7 kN 3-10 水平梁 AB 由铰链 A 和 BC 所支持，如图 3-10a 所示。在梁上 D 处用销子安装半 径为 r = 0.1m 的滑轮。有 1 跨过滑轮的绳子，其 1 端水平系于墙上，另 1 端悬挂有重为 P =1800 N 的重物。如 AD = 0.2 m ， BD = 0.4 m ，ϕ = 45° ，且不计梁、杆、滑轮和 绳的重力。求铰链 A 和杆 BC 对梁的约束力。 解 整体，坐标及受力如图 3-10b 所示： FT = P = 1800 N ∑ M A = 0, FT r − P(AD + r) + FBC sinϕ ⋅(AD + DB) = 0 600 2 N 848.5 N ( )sin = = + ⋅ = AD BD ϕ P AD FBC （拉）
7(b)(a)图3-10ZF =0,FAx-FT-FBc coS@=0FAx = Ff +FBc COS@ =2 400NZF, =0,FA, +FBc sinα-P=0FA,=P-FBc sin@=1200N3-11如图3-11a所示，组合梁由AC和CD两段铰接构成，起重机放在梁上。已知起重机重为P=50kN，重心在铅直线EC上，起重载荷为P，=10kN。如不计梁重，求支座A、B、D三处的约束力。aY4mP561IpACIP6mFimlm(b)(a)tP2BFPDLGDFFTCFGmlmk3m3m-6m6m(c)(d)图3-11解（1）起重机，受力如图3-11b所示ZM,=0,F×2m-P×lm-P,×5m=0Fg=(P+5P)/2=50kN（2）梁CD，受力如图3-11d所示ZMc=0, -F×1m+F,×6m=0F,= F/6= 8.33kN（3）整体，受力如图3-11c所示ZM,=0,F×3m+F,×12m-P×6m-P,×10m=0F =(6P +10P, -12F,)/3=100 kNZF,=0,F+FB-F,-P,-P =0F,=P+P-F-F,=-48.3kN23
23 P A r B D FBC FT FAy FAx ϕ (a) (b) 图 3-10 ∑ Fx = 0, FAx − FT − FBC cosϕ = 0 FAx = FT + FBC cosϕ = 2 400 N ∑ Fy = 0,FAy + FBC sinα − P = 0 FAy = P − FBC sinϕ = 1 200 N 3-11 如图 3-11a 所示，组合梁由 AC 和 CD 两段铰接构成，起重机放在梁上。已知起 重机重为 P1 = 50 kN ，重心在铅直线 EC 上，起重载荷为 P2 = 10 kN 。如不计梁重，求支 座 A、B、D 三处的约束力。 F G P2 P1 FG FF 4 m 1 m m1 E (a) (b) FD 4 m P2 P1 C A B FA FB 3 m 3 m m 6 D E F G 1 m m1 6 m FG ′ FD FC G C D 1 m (c) (d) 图 3-11 解 （1）起重机，受力如图 3-11b 所示 ∑ M F = 0, FG × 2 m − P1 ×1 m − P2 ×5 m = 0 FG = (P1 + 5P2 )/ 2 = 50 kN （2）梁 CD，受力如图 3-11d 所示 0, 1 m 6 m 0 ' ∑ MC = − FG × + FD × = / 6 8.33 kN ' FD = FG = （3）整体，受力如图 3-11c 所示 0, 3 m 12 m 6 m 10 m 0 ∑ M A = FB × + FD × − P1 × − P2 × = FB = (6P1 +10P2 −12FD )/ 3 = 100 kN ∑ Fy = 0, FA + FB − FD − P2 − P1 = 0 FA = P2 + P1 − FB − FD = −48.3 kN
3-12在图3-12a，图3-12b各连续梁中，已知q，M，a及，不计梁的自重，求各连续梁在A，B，C三处的约束力。M.FM-MBFAF16aaNF0(a2)(a)(al)SM.BATXIEXABFBGF-F1a00xIFSFIaA(b)(b1)(b2)图3-12解（a）（1）梁BC，受力如图3-12a2所示。该力系为一力偶系，则：F=FcMZM=0，Facoso=M，Fc=FR=acose（2）梁AB，受力如图3-12al所示MZF, =0,Fx=Fasing=-taneaZF,=0, Fa, =-F, coso--MaZM,=0,MA-Fa=0,M,=-M(顺)解（b）（1）梁BC，受力如图3-12b2所示qaZMg=0,-qa?/2+F.cos0.a=0,Fc=2cos0ZF,=0,Fax=Fe sin=t-tane2ZF,=0,Fy=qa/2（2）梁AB，受力如图3-12b1所示qaZF,=0, Fx=Fu=4tan2ZF,=0,F=F=qa/2ZM,=0,M =qa2/23-13由AC和CD构成的组合梁通过铰链C连接。它的支承和受力如图3-13a所示。已知q=10kN/m，M=40kN·m，不计梁的自重。求支座A，B，D的约束力和铰链C受力。N欢NBAFtF(a)(b)(c)图3-13解（1）梁CD，受力如图3-13c所示1ZM.=0,29×(2m)-M+F ×4m=0F, =(M +2g)/4=15kN24
24 3-12 在图 3-12a，图 3-12b 各连续梁中，已知 q，M，a 及θ ，不计梁的自重，求各连 续梁在 A，B，C 三处的约束力。 B FB ′ θ a MA FAx FAy FB FC C B a θ M (a) (a1) (a2) a A B MA FAx FBy′ FBx′ FAy q a C B θ FC FBx FBy (b) (b1) (b2) 图 3-12 解 （a）（1）梁 BC，受力如图 3-12a2 所示。该力系为一力偶系，则： FB = FC ∑ M = 0 ， FC a cosθ = M ， FC = a cosθ M FB = （2）梁 AB，受力如图 3-12a1 所示 ∑ Fx = 0， sinθ tanθ ' a M FAx = FB = ∑ Fy = 0 ， a M FAy FB − = − cosθ = ' ∑ = 0 M B ， M − F a = 0 A Ay ， M M (顺) A = − 解 （b）（1）梁 BC，受力如图 3-12b2 所示 ∑ = 0 M B ， / 2 cos 0 2 − qa + FC θ ⋅ a = ， 2cos θ qa FC = ∑ Fx = 0， θ tan θ 2 sin qa FBx = FC = ∑ Fy = 0 ， FBy = qa / 2 （2）梁 AB，受力如图 3-12b1 所示 ∑ Fx = 0， tan θ 2 ' qa FAx = FBx = ∑ Fy = 0 ， / 2 ' F F qa Ay = By = ∑ = 0 M A ， / 2 2 M A = qa 3-13 由 AC 和 CD 构成的组合梁通过铰链 C 连接。它的支承和受力如图 3-13a 所示。 已知 q = 10 kN/m， M = 40 kN ⋅m ，不计梁的自重。求支座 A，B，D 的约束力和铰链 C 受力。 q 2 m m 2 A B C FA FB FC ′ FD FC C D q 2 m m 2 M (a) (b) (c) 图 3-13 解 （1） 梁 CD，受力如图 3-13c 所示 ∑ MC = 0， (2 m) 4 m 0 2 1 2 − q × − M + FD × = FD = (M + 2q)/ 4 = 15 kN
ZF,=0,Fc+F,-qx2m=0,F=5kN（2）梁AC，受力如图3-13b所示ZM=0,F,×2m-Fc×4m-2m-x3m=0F=(4Fc+6g)/2=40kNZF.=0,F,+F-F.-gx2m=0,F,=-15kN3-14图3-14a所示滑道连杆机构，在滑道连杆上作用着水平力F。已知OA=r，滑道倾角为β，机构重力和各处摩擦均不计。求当机构平衡时，作用在曲柄OA上的力偶矩M与角之间的关系。NMUBFB0FDF.OABDICTTFoy'F.FD(a)(b)(c)图3-14解（1）滑道连杆，受力如图3-14b所示F(1)ZF =0,Fsinβ-F=0,FNAsinB（2）曲柄OA及滑块A，受力如图3-14c所示(2)ZM。=0, -M+FNArcos(β-0)=0式（1）代入（2）得M = FrCos(β-0)sinβ3-15如图3-15a所示，轧碎机的活动颚板AB长600mm。设机构工作时石块施于板的垂直力F=1000N。又BC=CD=600mm，OE=100mm。不计各杆重量，试根据平衡条件计算在图示位置时电动机作用力偶矩M的大小。FcFM101H309309F60°VFCEF(b)(d)(a)(c)图3-15解（1）杆AB，受力如图3-15d所示ZM,=0,F×0.4m-FBcx0.6m=0(1)（2）节点C，受力如图3-15b所示(2)ZF,=0,Fcesin(60°-)-FBcsin60°=0(3）曲柄OE，受力如图3-15c所示(3)ZM。=0,M-FcecOs0.OE=0式（1)、（2)、(3)联立，解得M=70.36N·m25
25 ∑ Fy = 0 ， FC + FD − q × 2 m = 0， FC = 5 kN （2）梁 AC，受力如图 3-13b 所示 ∑ = 0 M A ， 2 m 4 m 2 m 3 m 0 ' FB × − FC × − ⋅ q × = (4 6 )/ 2 40 kN ' FB = FC + q = ∑ Fy = 0 ， 2 m 0 ' FA + FB − FC − q × = ， FA = −15 kN 3-14 图 3-14a 所示滑道连杆机构，在滑道连杆上作用着水平力 F。已知OA = r ，滑道 倾角为 β ，机构重力和各处摩擦均不计。求当机构平衡时，作用在曲柄 OA 上的力偶矩 M 与角θ 之间的关系。 FC FD F FN A B A β C D θ β A O FN A′ FOy FOx θ r M (a) (b) (c) 图 3-14 解（1）滑道连杆，受力如图 3-14b 所示 ∑ Fx = 0， FNA sin β − F = 0 ， sin β N F F A = （1） （2）曲柄 OA 及滑块 A，受力如图 3-14c 所示 ∑ MO = 0， cos( ) 0 ' − M + FNAr β −θ = （2） 式（1）代入（2）得 β β θ sin cos( − ) M = Fr 3-15 如图 3-15a 所示，轧碎机的活动颚板 AB 长 600 mm。设机构工作时石块施于板的 垂直力 F = 1 000 N 。又 BC = CD = 600 mm ，OE = 100 mm 。不计各杆重量，试根据 平衡条件计算在图示位置时电动机作用力偶矩 M 的大小。 FCD FBC′ 30° 30° θ FCE x y 60° C O E FCE′ θ FOx′ FOy′ M A B F FAy FAx FBC 30° (a) (b) (c) (d) 图 3-15 解 （1）杆 AB，受力如图 3-15d 所示 ∑ = 0 M A ， F × 0.4 m − FBC × 0.6 m = 0 （1） （2）节点 C，受力如图 3-15b 所示 ∑ Fy = 0 ， FCE sin(60° −θ ) − FBC sin 60° = 0 （2） (3) 曲柄 OE，受力如图 3-15c 所示 ∑ MO = 0， M − FCE cosθ ⋅OE = 0 （3） 式（1）、（2）、(3)联立，解得 M = 70.36 N ⋅ m
3-16图3-16a所示传动机构，皮带轮I，ⅡI的半径各为rr，，鼓轮半径为r，物体A重力为P，两轮的重心均位于转轴上。求匀速提升物A时在I轮上所需施加的力偶矩M的大小。F'801FGiFoyOiFoy-FP(b)(c)(a)图3-16解（1）轮O,，受力如图3-16b所示ZMo=0,(F-F)r-M=0，(1)F-E=Mlr（2）轮O，，受力如图3-16c所示ZMo2=0,(F,-F')r,-Pr=0，F,-F=Pr/r(2)由式(1)、(2)，得M = Prr, /r23-17图3-17a所示为1种闸门启闭设备的传动系统。已知各齿轮的半径分别为ri,r2,r,r4，鼓轮的半径为r，闸门重力为P，齿轮的压力角为θ，不计各齿轮的自重，求最小的启门力偶矩M及轴O,的约束力。(a)(b)(d)(c)图3-17解（1）轮O3，受力如图3-17b所示PrZMo3 =0,-Pr+Fcoso.r =0,Ff =(1)rcoseFo3y = P(1_ 二)(2)ZF,=0, Fo3y-P+FcosQ=0,r4PrFo3x-taneZF=0,Fo3x-Fsing=0,r4(2)轮O1，受力如图3-17c所示MZMo=0,-F,coso.r+M=0,F,:(3)ricose（3）轮02，受力如图3-17d所示ZMo2=O,-F,coso.r=F,coso.r2,(4)F,r, =Fr式（1）、（2)、（3）代入（4)，得MPrPrrt'sM =r2,rcosercoserr43-18如图3-18a所示，三铰拱由两半拱和3个铰链A，B，C构成，已知每半拱重为26
26 ' F2 3-16 图 3-16a 所示传动机构，皮带轮 I，II 的半径各为 1 2 r ,r ，鼓轮半径为 r ，物体 A 重 力为 P，两轮的重心均位于转轴上。求匀速提升物 A 时在 I 轮上所需施加的力偶矩 M 的大 小。 F1 F2 1r O y1 F O x1 O1 F M O2 P F2 ′ F1 ′ y O2 F x O2 F 2 r r (a) (b) (c) 图 3-16 解（1）轮O1 ，受力如图 3-16b 所示 ∑ MO1 = 0 ，( ) 0 F2 − F1 r1 − M = ， 2 1 1 F − F = M /r （1） （2）轮O2 ，受力如图 3-16c 所示 ∑ MO2 = 0， ( ) 2 0 ' 1 ' F2 − F r − Pr = ， 2 ' 1 ' 2 F − F = Pr /r （2） 由式(1)、(2)，得 1 2 M = Prr /r 3-17 图 3-17a 所示为 1 种闸门启闭设备的传动系统。已知各齿轮的半径分别为 1 2 3 4 r ,r ,r ,r ，鼓轮的半径为 r，闸门重力为 P，齿轮的压力角为θ ，不计各齿轮的自重，求 最小的启门力偶矩 M 及轴 O3 的约束力。 F1 θ P FO3y O x3 F O3 4 r r 1 r θ θ O1 F F2 O1 M O2 θ F1 θ ′ 2r 3r O y2 F O x2 F (a) (b) (c) (d) 图 3-17 解（1）轮 O3，受力如图 3-17b 所示 ∑ MO3 = 0 ， cos 0 − Pr + F1 θ ⋅r4 = ， 4 cosθ 1 r Pr F = （1） ∑ Fy = 0 ， FO3 y − P + F1 cosθ = 0 ， (1 ) 4 3 r r FO y = P − （2） ∑ Fx = 0， FO3x − F1 sinθ = 0， tanθ 4 3 r Pr FO x = (2) 轮 O1，受力如图 3-17c 所示 ∑ MO1 = 0 ， cos 0 − F2 θ ⋅r1 + M = ， 1 cosθ 2 r M F = （3） （3）轮 O2，受力如图 3-17d 所示 ∑ MO2 = 0， 2 ' 1 3 2 − F' cosθ ⋅r = F cosθ ⋅r ， 2 ' 1 3 2 F' r = F r （4） 式（1）、（2）、（3）代入（4），得 2 1 3 4 cos cos r r M r r Pr ⋅ = ⋅ θ θ ， 2 4 1 3 r r Prr r M = 3-18 如图 3-18a 所示，三铰拱由两半拱和 3 个铰链 A，B，C 构成，已知每半拱重为
P=300kN，1=32m,h=10m。求支座A，B的约束力。FcC1/8pF1/2F1121/2FHFN(b)(a)(c)图3-18解（1）整体，受力如图3-18b所示17ZMA=0,FR1-P- P(1 -一)=0,F.=P=300kN88ZF,=0,FAy+FBy-P-P=0,FAy=300kNZF,=0, F+FBc =0(1)(2）左半拱AC，受力如图3-18c所示7IP11Pi)+F.h-FZM.=0,=0,FM=120kNAy28h28将F代入式（1)，得FB=-FAx =-120kN3-19构架由杆AB，AC和DF铰接而成，如图3-19a所示，在杆DEF上作用1力偶矩为M的力偶。各杆重力不计，求杆AB上铰链A，D和B受力。FAyAAFAFDyMLMDFDxLFFEMFaBFDB2FAAEF!FI2aDL(b)(d)(a)(c)图3-19解（1）整体，受力如图3-19b所示ZF,=0,Fm=0MZMc=0,FB =(1)2a(2）杆DE，受力如图3-19c所示MZMe=0, Fpy(1)a（3）杆ADB，受力如图3-19d所示ZM=0,FDx=0ZF,=0,Fx=0MZF=0,FAy(1)=2a3-20构架由杆AB，AC和DF组成，如图3-20a所示。杆DF上的销子E可在杆AC的光滑槽内滑动，不计各杆的重量。在水平杆DF的一端作用铅直力F，求铅直杆AB上铰27
27 M P = 300 kN ，l = 32 m, h = 10 m 。求支座 A，B 的约束力。 l / 2 l / 2 P P l/ 8 A B FAy FAx FBx FBy l/ 8 l / 2 l /8 C A FCy FCx FAx FAy P (a) (b) (c) 图 3-18 解 (1) 整体，受力如图 3-18b 所示 ∑ = 0 M A ， ) 0 8 ( 8 − − − = l P l l FBy l P , FBy = P = 300 kN ∑ Fy = 0 ， FAy + FBy − P − P = 0, FAy = 300 kN ∑ Fx = 0, FBx + FBC = 0 （1） (2) 左半拱 AC，受力如图 3-18c 所示 ∑ MC = 0， 0 2 ) 2 8 ( − + − = l F h F l l P Ax Ay ， 120 kN 8 = = h lP FAx 将 FAx 代入式（1），得 FBx = −FAx = −120 kN 3-19 构架由杆 AB，AC 和 DF 铰接而成，如图 3-19a 所示，在杆 DEF 上作用 1 力偶矩 为 M 的力偶。各杆重力不计，求杆 AB 上铰链 A，D 和 B 受力。 2a A D B E F FC FBx FBy M a a D FEy FEx FDx FDy E FAy FBy FBx FDx′ FDy′ FAx A D B (a) (b) (c) (d) 图 3-19 解（1）整体，受力如图 3-19b 所示 ∑ Fx = 0 , FBx = 0 a M MC FBy 2 ∑ = 0 , = (↓) (2) 杆 DE，受力如图 3-19c 所示 a M ∑ M E = 0 , FDy = (↓) （3）杆 ADB，受力如图 3-19d 所示 ∑ M A = 0 , FDx = 0 ∑ Fx = 0 , FAx = 0 ∑ Fy = 0 ， a M FAy 2 = − (↓) 3-20 构架由杆 AB，AC 和 DF 组成，如图 3-20a 所示。杆 DF 上的销子 E 可在杆 AC 的光滑槽内滑动，不计各杆的重量。在水平杆 DF 的一端作用铅直力 F，求铅直杆 AB 上铰