第12章动能定理S12-1力的功812-2质点和质点系的动能S12-3动能定理S12-4功率、功率方程、机械效率S12-5势力场·势能-机械能守恒定律812-6普遍定理的综合应用
第12章 动能定理 §12-1 力的功 §12-2 质点和质点系的动能 §12-3 动能定理 §12-4 功率、功率方程、机械效率 §12-5 势力场·势能·机械能守恒定律 §12-6 普遍定理的综合应用
S12-1力的功1、常力在直线运动中的功W=Fcoso.s=F.$功是代数量单位：J（焦耳）1J=1Nm
功是代数量 §12-1 力的功 1、常力在直线运动中的功 单位： J（焦耳） 1 J = 1 N·m W F s F s = cos =
2、变力在曲线运动中的功元功Sw=Fcoso·dsMdr即W=F.drFMM-(+)
元功 即 2、变力在曲线运动中的功 δ𝑊 = 𝐹cos𝜃 ⋅ d𝑠 δ𝑊 = 𝐹 Ԧ ⋅ d𝑟 Ԧ
力F在M~M2路程上的功为M2M2F.drW12SW==MJM1JM1drFM,记VF=Fi+Fj+Fzk(+)dr = dxi + dyj + dzkM2则W12(Fdx +F,dy +Fzdz)M
力𝐹 Ԧ在𝑀1~𝑀2路程上的功为 记 则 𝑊12 = න 𝑀1 𝑀2 δ𝑊 = න 𝑀1 𝑀2 𝐹 Ԧ · d𝑟 Ԧ 𝐹 Ԧ = 𝐹𝑥 𝑖 Ԧ+ 𝐹𝑦𝑗 Ԧ + 𝐹𝑧𝑘 d𝑟 Ԧ = d𝑥𝑖 Ԧ+ d𝑦𝑗 Ԧ + d𝑧𝑘 𝑊12 = න 𝑀1 𝑀2 (𝐹𝑥d𝑥 + 𝐹𝑦d𝑦 + 𝐹𝑧d𝑧 )
3、几种常见力的功（1）重力的功Fx = Fy = 0 Fz =-mgZ2W12 =- mgdz = mg(z1 - z2)Z1质点系ZWa = me(1- 2)n由mZc =mizi得W12 = mg(Zc1 - Zc2)路酒灌工业大学重力的功只与始、天未位置有关与路径无关
（1）重力的功 质点系 由 重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。 得 3、几种常见力的功 𝐹𝑥 = 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑧 = −𝑚g 𝑊12 = න 𝑧1 𝑧2 − 𝑚gd𝑧 = 𝑚g(𝑧1 − 𝑧2 ) 𝑊12 = 𝑚 ) 𝑖g(𝑧𝑖1 − 𝑧𝑖2 𝑚𝑧𝐶 = 𝑚𝑖𝑧𝑖 𝑊12 = 𝑚g(𝑧𝐶1 − 𝑧𝐶2 )
（2）弹性力的功路医汉江业大学弹簧刚度系数k（N/m）弹性力 =k(r -lo)r0弹性力的功为A2F.drW12A1A2-k(r-lo)ro.drA1
（2）弹性力的功 弹簧刚度系数k（N/m） 弹性力 弹性力的功为 𝐹 Ԧ = −𝑘(𝑟 − 𝑙0 )𝑟 Ԧ 0 𝑊12 = න 𝐴1 𝐴2 𝐹 Ԧ ⋅ d𝑟 Ԧ = න 𝐴1 𝐴2 −𝑘(𝑟 − 𝑙0 )𝑟 Ԧ 0 ⋅ d 𝑟 Ԧ
-k(r -lo)ro .drW12A1r因o.drdr ==dr-d(r.r)d(r2rr2得W12- k(r - lo)dr一rik即W12(822-82)12一式中 81=r1- lo,82= r2- lo弹性力的功也与路径无关
因 式中 得 即 弹性力的功也与路径无关 𝑊12 = න 𝐴1 𝐴2 −𝑘(𝑟 − 𝑙0 )𝑟 Ԧ 0 ⋅ d 𝑟 Ԧ 𝑟 Ԧ 0 ⋅ d𝑟 Ԧ = 𝑟 Ԧ 𝑟 ⋅ d𝑟 Ԧ = 1 2𝑟 d(𝑟 Ԧ ⋅ 𝑟 Ԧ) = 1 2𝑟 d(𝑟 2 ) = d𝑟 𝑊12 = න 𝑟1 𝑟2 − 𝑘(𝑟 − 𝑙0 )d𝑟 𝑊12 = 𝑘 2 (𝛿1 2 − 𝛿2 2 ) 𝛿1 = 𝑟1 − 𝑙0 , 𝛿2= 𝑟2 − 𝑙0
3）定轴转动刚体上作用力的功SW = F. dr = Fds =FRdp由Mz = F,R得sW =M,do从角转动到角过程中力F的功为01W12M,dp02dpds若Mz=常量F则W12 = Mz(P2 - Φ1)山F
（3） 定轴转动刚体上作用力的功 则 若𝑀𝑧 = 常量 由 得 从角𝜑1转动到角𝜑2过程中力𝐹 Ԧ的功为 δ𝑊 = 𝐹 Ԧ ⋅ d𝑟 Ԧ = 𝐹td𝑠 = 𝐹t𝑅d𝜑 𝑀𝑧 = 𝐹t𝑅 𝛿𝑊 = 𝑀𝑧d𝜑 𝑊12 = න 𝜑2 𝜑1 𝑀𝑧d𝜑 𝑊 ) 12 = 𝑀𝑧 (𝜑2 − 𝜑1
（4）平面运动刚体上力系的功由=ic+iic两端乘dt,有dr=drc+diic作用在M点的力F的元功为oW, = F, . dr, = F, drc + F, -dric其中 F, ·dric = Ficosa .M,C ·dp = Mc(F)dp力系全部力的元功之和为Fsw-Zowdrie0MiZEMe(F)dp dre +dCdre=Fdrc+ Mcdp
作用在𝑀𝑖点的力𝐹 Ԧ 𝑖的元功为 力系全部力的元功之和为 （4） 平面运动刚体上力系的功 其中 由 𝑣 Ԧ 𝑖 = 𝑣 Ԧ 𝐶 + 𝑣 Ԧ 𝑖𝐶 两端乘dt, 有 d𝑟 Ԧ 𝑖 = d𝑟 Ԧ 𝐶 + d𝑟 Ԧ 𝑖𝐶 δ𝑊𝑖 = 𝐹 Ԧ 𝑖 ⋅ d𝑟 Ԧ 𝑖 = 𝐹 Ԧ 𝑖 ⋅ d𝑟 Ԧ 𝐶 + 𝐹 Ԧ 𝑖 ⋅ d𝑟 Ԧ 𝑖𝐶 𝐹 Ԧ 𝑖 ⋅ d𝑟 Ԧ 𝑖𝐶 = 𝐹𝑖cos𝜃 ⋅ 𝑀𝑖𝐶 ⋅ d𝜑 = 𝑀𝐶 (𝐹 Ԧ 𝑖 )d𝜑 𝛿𝑊 = 𝛿𝑊𝑖 = 𝐹 Ԧ 𝑖 ⋅ d𝑟 Ԧ 𝐶 +𝑀𝐶 (𝐹 Ԧ 𝑖 )d𝜑 = 𝐹 Ԧ 𝑅 ′ ⋅ d𝑟 Ԧ 𝐶 + 𝑀𝐶d𝜑
oW=F.drc+Mcdp其中：F：为力系主失，Mc为力系对质心的主矩当质心由C~C2转角由Q1~2时，力系的功为D.FD.dic+W12McdpR01即：平面运动刚体上力系的功等于刚体上所受各力作功的代数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和
其中: 𝐹 Ԧ 𝑅 ′为力系主失, 𝑀𝐶为力系对质心的主矩. 当质心由𝐶1~𝐶2 ,转角由𝜑1~𝜑2 时,力系的功为 即:平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数 和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。 𝛿𝑊 = 𝐹 Ԧ 𝑅 ′ ⋅ d𝑟 Ԧ 𝐶 + 𝑀𝐶d𝜑 𝑊12 = න 𝐶1 𝐶2 𝐹 Ԧ 𝑅 ′ ⋅ d𝑟 Ԧ 𝐶 + න 𝜑1 𝜑2 𝑀𝐶d𝜑