第42卷第3期力学与实践2020年6月育开级2理论力学教具动手制作系列（一）小熊爬绳摩擦自锁与解锁高云峰1)（清华大学航天航空学院，北京100084）在理论力学教学中，摩擦角和摩擦自锁是重要第一次见到这个现象的学生会很惊：铁丝是怎么的概念，而多点摩擦问题又是其中的难点。爬上去的？装置如此简单，却不容易理解。为了增加学生对摩擦问题的兴趣，也给学生提Y供一个理解摩擦问题的新视角，我特意设计制作了一个简单巧妙的装置，同学们看过之后无不感到摩擦现象的神奇，并由此产生了浓厚的兴趣。1现象演示首先尝试用细铁丝做一个装置，如图1所示（可以借助铅笔把铁丝绕出小圆圈），注意不是图2的样图3绳子与装置的连接方式子。图1和图2两者的区别是：图1中小圆圈与梯型垂直：图2中小圆圈与梯形平行。这个区别在后面2原理说明原理解释中会用到。为了简单直观地说明其中的道理，我们来看看下面更简单的几次试验：竖杆垂直插在底盘上，看看圆筒能否停留在图4的竖杆上？注意圆筒内径比杆子外径要大。第一次把较长的圆筒套在竖杆上，一松手圆筒会落下。这是很自然的结果，因为圆筒内径明显比竖杆外径大。图1正确的做法图2不正确的做法然后把细绳如图3穿过装置上的圆孔，挂在钉子上（也可以用手握铅笔代替钉子)，再把绳子两端打结，手抓住绳结且左右来回摆动，同时让绳子保持一定的张力，这时你会看到铁丝慢慢向上爬升！图4几次参数不同的试验本文于2019-10-15收到。1) E-mail:gaoyunfeng@mail.tsinghua.edu.cn引用格式：高云峰.理论力学教具动手制作系列（一）小熊爬绳一摩擦自锁与解锁.力学与实践，2020，42(3）：344-346GaoYunfeng.Rope climbingofa littlebear-friction self lockingand unlocking.Mechanics inEngineering,2020,42(3)344-346(C)1994-2023ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrights reserved.http://www.cnki.net
第 42 卷 第 3 期 力 学 与 实 践 2020 年 6 月 理论力学教具动手制作系列(一) 小熊爬绳——摩擦自锁与解锁 高云峰1) (清华大学航天航空学院，北京 100084) 在理论力学教学中，摩擦角和摩擦自锁是重要 的概念，而多点摩擦问题又是其中的难点。 为了增加学生对摩擦问题的兴趣，也给学生提 供一个理解摩擦问题的新视角，我特意设计制作了 一个简单巧妙的装置，同学们看过之后无不感到摩 擦现象的神奇，并由此产生了浓厚的兴趣。 1 现象演示 首先尝试用细铁丝做一个装置，如图1所示(可 以借助铅笔把铁丝绕出小圆圈)，注意不是图2的样 子。图1和图2两者的区别是：图1中小圆圈与梯型 垂直；图2中小圆圈与梯形平行。这个区别在后面 原理解释中会用到。 图 1 正确的做法 图 2 不正确的做法 然后把细绳如图3穿过装置上的圆孔，挂在钉 子上(也可以用手握铅笔代替钉子)，再把绳子两端 打结，手抓住绳结且左右来回摆动，同时让绳子保 持一定的张力，这时你会看到铁丝慢慢向上爬升！ 第一次见到这个现象的学生会很惊讶：铁丝是怎么 爬上去的？装置如此简单，却不容易理解。 图 3 绳子与装置的连接方式 2 原理说明 为了简单直观地说明其中的道理，我们来看看 下面更简单的几次试验：竖杆垂直插在底盘上，看 看圆筒能否停留在图4的竖杆上？注意圆筒内径比 杆子外径要大。 第一次把较长的圆筒套在竖杆上，一松手圆筒 会落下。这是很自然的结果，因为圆筒内径明显比 竖杆外径大。 图 4 几次参数不同的试验 本文于 2019–10–15 收到。 1) E-mail: gaoyunfeng@mail.tsinghua.edu.cn 引用格式： 高云峰. 理论力学教具动手制作系列 (一) 小熊爬绳——摩擦自锁与解锁. 力学与实践, 2020, 42(3): 344-346 Gao Yunfeng. Rope climbing of a little bear—friction self locking and unlocking. Mechanics in Engineering, 2020, 42(3): 344-346
345第3期高云峰：理论力学教具动手制作系列（一）小熊爬绳一—摩擦自锁与解锁第二次做一些改变，把较短的圆筒套在竖杆上，只有圆环与梯形垂直时，才有这种等价关系。如果圆环与梯形平行，就不能等价于圆筒了。一松手圆筒仍会落下。第三次把配重加在长圆筒上，改变重心位置看根据前面的结论：物体倾斜角度越大越容易被看，但一松手还是落下。卡住，CD绳子与铁丝容易卡住，AB绳子不容易卡当然学生可能会怀疑：长短圆筒内径相同，都住。所以CD段绳子上升带动铁丝上升，而AB段比杆子粗，能成功吗？这时可以提醒学生：历史上绳子下降不妨碍铁丝上升。很多科学家做了大量的科学探究试验，经历过无数当手掌抓住绳子顺时针转动时，情况正好相反，次的失败后，才从中找出或发现了有价值的结论来AB段绳子与铁丝卡住了，AB段绳子的上升带着铁丝上升。当然，如果铁丝弯的形状不合适，装置是为人类造福。所以科学探究试验，不能保证一定成功，但是每一次失败都排除了一种可能性，从而使不会上升的：如果绳子没有适当绷紧，装置也不会上升。后面的试验更接近成功。例如，爱迪生成功发明电灯之前做了两千多次3结合习题进一步分析试验，有个年轻记者曾经问他为什么遭遇这么多次前面是定性的分析，下面结合一道理论力学习失败？爱迪生回答：“我一次都没有失败，我发明了题，来做定量分析。电灯。这只是一段经历了两千步的历程。”习题：图6为工人攀登电杆时脚上所带的套钩。第四次把配重加在短圆筒上，松手后，发现圆已知套钩的尺寸b、电杆直径d，摩擦系数μ。求套筒真的可以停留在竖杆上了！钩不致下滑时脚踏力P距电杆中心线的距离l。前三次试验圆筒都落下，而第四次没有，有理由认为第四次试验是“与众不同”的。那第四次试验与前几次有什么明显不同的地方呢？T通过观察可以很快看出：第四次试验中装置的倾斜角度是最大的！所以可以直观地归纳出这样一个结论：摩擦问题中，物体倾斜角度越大越容易被卡住。这个结论的合理性后面会分析，现在利用这图6理论力学习题一结论，可以很容易解释前面试验中铁丝会向上升解答：在摩擦问题中，临界情况下全反力RA和的现象。RB分别沿摩擦角m的边缘。套钩在RA，RB和主设开始时装置水平，当手掌抓住绳子逆时针转动力P三力作用下处于平衡，三力必汇交，其交点动时，左边绳子AB段下降，右边绳子CD段上升C就是临界的安全位置（图7)。由三角形△AEC有(图5)。AE=ECtan0m(b+dtanom)= +lmin)tanom(1)66Imin=22tan0m2μ绳子绳子下降上升文RA0..图5逆时针转动时的状况由于铁丝与绳子之间有摩擦，装置跟随绳子作o逆时针转动（A点下降D点上升，此阶段装置中心DRe基本不动)。当装置转动至A、B两圆环接近垂直位d置时，等价于左边AB绳子穿过一个比较细的圆筒中，右边CD绳子穿过一个比较粗的圆筒中。注意，图7套钩受力图(C)1994-2023ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrights reserved.http://www.cnki.net
第 3 期 高云峰：理论力学教具动手制作系列 (一) 小熊爬绳——摩擦自锁与解锁 345 第二次做一些改变，把较短的圆筒套在竖杆上， 一松手圆筒仍会落下。 第三次把配重加在长圆筒上，改变重心位置看 看，但一松手还是落下。 当然学生可能会怀疑：长短圆筒内径相同，都 比杆子粗，能成功吗？这时可以提醒学生：历史上 很多科学家做了大量的科学探究试验，经历过无数 次的失败后，才从中找出或发现了有价值的结论来 为人类造福。所以科学探究试验，不能保证一定成 功，但是每一次失败都排除了一种可能性，从而使 后面的试验更接近成功。 例如，爱迪生成功发明电灯之前做了两千多次 试验，有个年轻记者曾经问他为什么遭遇这么多次 失败？爱迪生回答：“我一次都没有失败，我发明了 电灯。这只是一段经历了两千步的历程。” 第四次把配重加在短圆筒上，松手后，发现圆 筒真的可以停留在竖杆上了！ 前三次试验圆筒都落下，而第四次没有，有理 由认为第四次试验是“与众不同”的。那第四次试验 与前几次有什么明显不同的地方呢？ 通过观察可以很快看出：第四次试验中装置的 倾斜角度是最大的！所以可以直观地归纳出这样一 个结论：摩擦问题中，物体倾斜角度越大越容易被 卡住。这个结论的合理性后面会分析，现在利用这 一结论，可以很容易解释前面试验中铁丝会向上升 的现象。 设开始时装置水平，当手掌抓住绳子逆时针转 动时，左边绳子AB 段下降，右边绳子CD 段上升 (图5)。 A A B B C C D D ߕ፤ ʽӤ ߕ፤ ʾᬌ 图 5 逆时针转动时的状况 由于铁丝与绳子之间有摩擦，装置跟随绳子作 逆时针转动(A点下降D 点上升，此阶段装置中心 基本不动)。当装置转动至A、B 两圆环接近垂直位 置时，等价于左边AB 绳子穿过一个比较细的圆筒 中，右边CD 绳子穿过一个比较粗的圆筒中。注意， 只有圆环与梯形垂直时，才有这种等价关系。如果 圆环与梯形平行，就不能等价于圆筒了。 根据前面的结论：物体倾斜角度越大越容易被 卡住，CD 绳子与铁丝容易卡住，AB 绳子不容易卡 住。所以CD 段绳子上升带动铁丝上升，而AB 段 绳子下降不妨碍铁丝上升。 当手掌抓住绳子顺时针转动时，情况正好相反， AB 段绳子与铁丝卡住了，AB 段绳子的上升带着铁 丝上升。当然，如果铁丝弯的形状不合适，装置是 不会上升的；如果绳子没有适当绷紧，装置也不会 上升。 3 结合习题进一步分析 前面是定性的分析，下面结合一道理论力学习 题，来做定量分析。 习题: 图6为工人攀登电杆时脚上所带的套钩。 已知套钩的尺寸b、电杆直径d，摩擦系数µ。求套 钩不致下滑时脚踏力P 距电杆中心线的距离l。 A B P b l d 图 6 理论力学习题 解答：在摩擦问题中，临界情况下全反力RA 和 RB 分别沿摩擦角θm 的边缘。套钩在RA，RB 和主 动力P 三力作用下处于平衡，三力必汇交，其交点 C 就是临界的安全位置(图7)。由三角形△AEC 有 AE = EC tan θm 1 2 (b + d tan θm) = (d 2 + lmin) tan θm lmin = b 2 tan θm = b 2µ (1) lmin A B C D P d b E RA RB θm θm 图 7 套钩受力图
346力学与实践2020年第42卷为什么说求出的尺寸是最小值而不是最大值呢（即C点的左边是危险区域，右边是安全区域）？这可以直观看出：如果P点向左移动，在满足三力汇安全区b危险区交的条件下，A和B一定有某一处全反力会超出摩擦角的范围（图8）。如果P点向右移动，在满足三力汇交的条件下，A和B两处的全反力均不会超出摩擦角的范围（图9)。所以说C点的左边危险，右图10利用摩擦角验证前面的结论边安全。4装置改进RA在清楚了其原理后，可以把简单的铁丝改进为全自动装置，用小熊代替铁丝，用电动机带动曲柄连杆机构模拟手的来回摆动。装置做好后，一按开关，小熊会自动慢慢地向上爬升(图11)。图8危险区域受力图aRADRBd图11自动爬升的小熊图9安全区域受力图改进的装置更有趣味性，也更为复杂，涉及到利用习题的结论，可以证明前面探究试验的结静力学、运动学和动力学，是一个综合的理论力学论“物体倾斜角度越大越容易被卡住”是合理的。演示道具。从图10可以看出，当圆筒较长时，物体倾斜角首先，小熊爬升的核心原理是绳子角度的变化度小，摩擦角的边界交点C距离竖杆远，重力导致的摩擦自锁和解锁，在前面已经解释了，属于P的作用点落在危险区间，装置会落下：而当圆筒静力学问题。其次，曲柄连杆机构要适当设计，各部较短时，物体倾斜角度大，摩擦角的边界交点C件既不能冲突，又要能模拟手的来回摆动，属于运距离竖杆近，重力P的作用点落在安全区间，装置动学问题。最后，电动机要带动装置的运动，小电可以停留在竖杆上。动机的扭矩可能不够大，要适当通过减速增加扭矩，本问题的核心是摩擦角的交点与重力的位置关而绳子绷紧的程度也很有讲究，太松了小熊上不去，系，虽然“物体倾斜角度越大越容易被卡住”只是一个表面现象，但是可以帮助我们快速理解一些复杂太紧了电动机带不动，这些又属于动力学问题。总之，通过这个教学道具，可以很好地演示神的问题，也符合人们的认识是不断深入的规律，也是有价值的。奇的摩擦现象，激发学生深入学习的热情和兴趣。(责任编辑：胡漫）(C)1994-2023ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrights reserved.http://www.cnki.net
346 力 学 与 实 践 2020 年 第 42 卷 为什么说求出的尺寸是最小值而不是最大值呢 (即C 点的左边是危险区域，右边是安全区域)？这 可以直观看出：如果P 点向左移动，在满足三力汇 交的条件下，A和B 一定有某一处全反力会超出摩 擦角的范围(图8)。如果P 点向右移动，在满足三 力汇交的条件下，A和B 两处的全反力均不会超出 摩擦角的范围(图9)。所以说C 点的左边危险，右 边安全。 lmin A B C D P d b RA RB θm θm 图 8 危险区域受力图 lmin A B C D P d b RA RB θm θm 图 9 安全区域受力图 利用习题的结论，可以证明前面探究试验的结 论“物体倾斜角度越大越容易被卡住”是合理的。 从图10可以看出，当圆筒较长时，物体倾斜角 度小，摩擦角θm 的边界交点C 距离竖杆远，重力 P 的作用点落在危险区间，装置会落下；而当圆筒 较短时，物体倾斜角度大，摩擦角θm 的边界交点C 距离竖杆近，重力P 的作用点落在安全区间，装置 可以停留在竖杆上。 本问题的核心是摩擦角的交点与重力的位置关 系，虽然“物体倾斜角度越大越容易被卡住”只是一 个表面现象，但是可以帮助我们快速理解一些复杂 的问题，也符合人们的认识是不断深入的规律，也 是有价值的。 A B C P A B C P Ԁᬗӝ ߷Лӝ 图 10 利用摩擦角验证前面的结论 4 装置改进 在清楚了其原理后，可以把简单的铁丝改进为 全自动装置，用小熊代替铁丝，用电动机带动曲柄 连杆机构模拟手的来回摆动。装置做好后，一按开 关，小熊会自动慢慢地向上爬升(图11)。 图 11 自动爬升的小熊 改进的装置更有趣味性，也更为复杂，涉及到 静力学、运动学和动力学，是一个综合的理论力学 演示道具。 首先，小熊爬升的核心原理是绳子角度的变化 导致的摩擦自锁和解锁，在前面已经解释了，属于 静力学问题。其次，曲柄连杆机构要适当设计，各部 件既不能冲突，又要能模拟手的来回摆动，属于运 动学问题。最后，电动机要带动装置的运动，小电 动机的扭矩可能不够大，要适当通过减速增加扭矩， 而绳子绷紧的程度也很有讲究，太松了小熊上不去， 太紧了电动机带不动，这些又属于动力学问题。 总之，通过这个教学道具，可以很好地演示神 奇的摩擦现象，激发学生深入学习的热情和兴趣。 (责任编辑: 胡 漫)